0 Считается положительным числом

Содержание
  1. Содержание
  2. Ноль в математике [ править | править код ]
  3. Принадлежность к натуральным числам [ править | править код ]
  4. Ноль как цифра [ править | править код ]
  5. Основные свойства нуля [ править | править код ]
  6. Деление на ноль [ править | править код ]
  7. Значения отдельных функций [ править | править код ]
  8. Ноль в геометрии [ править | править код ]
  9. Ноль в математическом анализе [ править | править код ]
  10. Обобщения (ноль в общей алгебре) [ править | править код ]
  11. История использования нуля [ править | править код ]
  12. История цифры 0 [ править | править код ]
  13. Древний Восток [ править | править код ]
  14. Майя и инки [ править | править код ]
  15. Индия [ править | править код ]
  16. Европа [ править | править код ]
  17. Россия [ править | править код ]
  18. История числа 0 [ править | править код ]
  19. См. также [ править | править код ]
  20. Примечания [ править | править код ]
  21. Содержание
  22. Знак числа
  23. Положительные и отрицательные числа
  24. Функция знака sgn(x)
  25. Модуль (абсолютная величина) числа
  26. Знак у нечисловых объектов
  27. Знак угла
  28. Знак направления
  29. Знак в вычислительной технике
  30. Дискретная математика
  31. Другие применения знака
  32. 2 ответа

Ноль (, нуль от лат. nullus — никакой [2] ) — целое число, которое при сложении с любым числом или вычитании из него не меняет последнее [3] , то есть даёт результат, равный этому последнему; умножение любого числа на ноль даёт ноль [4] .

Большой толковый словарь Кузнецова (2009) [5] приводит обе формы слова: ноль, нуль — как равнозначные, хотя имеется некоторое различие в употреблении. В частности, форма нуль чаще используется в терминологии, особенно в косвенных падежах, она же берётся как основа для образования прилагательного нулевой — соответственно, форма ноль чаще употребляется в именительном падеже (см. врезку).

Ноль играет исключительно важную роль в математике и физике [6] .

Содержание

Ноль в математике [ править | править код ]

Принадлежность к натуральным числам [ править | править код ]

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — одни авторы причисляют ноль к натуральным числам [7] , другие этого не делают. В российских школьных программах по математике не принято причислять ноль к натуральным числам, хотя это затрудняет некоторые формулировки (например, приходится различать деление с остатком и деление нацело). В качестве компромисса в источниках иногда рассматривают «расширенный натуральный ряд», включающий нуль [8] .

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом N <displaystyle mathbb > . Международные стандарты ISO 31-11 (1992 год) и ISO 80000-2 (2009 год) устанавливают следующие обозначения [9] :

В русских источниках этот стандарт пока не соблюдается — в них символ N <displaystyle mathbb > обозначает натуральные числа без нуля, а расширенный натуральный ряд обозначается, например, N 0 , Z + , Z ⩾ 0 <displaystyle mathbb _<0>,mathbb _<+>,mathbb _<geqslant 0>> и т. д. [8]

Ноль как цифра [ править | править код ]

Понятие нуля исторически появилось как особый цифровой символ, необходимый при записи чисел в позиционной системе счисления. Этот символ указывал на отсутствие значения в соответствующем разряде, что позволяло не путать, например, записи 4 , 40 , 400. <displaystyle 4,40,400.> Придание нулю статуса полноценного числа происходит постепенно в начале Нового времени.

Основные свойства нуля [ править | править код ]

  • 0 — целое число.
  • На числовой прямой 0 разделяет положительные и отрицательные числа.

  • Ноль является чётным числом, поскольку при делении его на 2 получается целое число: 0 / 2 = 0 <displaystyle 0/2=0>.
  • Ноль не имеет знака. Могут использоваться условные обозначения отрицательной и положительной бесконечно малой величины: − 0 <displaystyle -0>, + 0 <displaystyle +0>, однако это не числа в обычном смысле.
  • Любое число при сложении с нулём не меняется: a + 0 = 0 + a = a . <displaystyle a+0=0+a=a.>При вычитании нуля из любого числа получается то же число [10] : a − 0 = a <displaystyle a-0=a>.
  • Умножение любого числа на ноль даёт ноль [10] :

a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0. <displaystyle acdot 0=0cdot a=0.>

  • При делении нуля на любое ненулевое число получается ноль:

0 / a = 0 <displaystyle 0/a=0>при a ≠ 0. <displaystyle a
eq 0.>

Деление на ноль [ править | править код ]

  • Деление на ноль невозможно ни в каком поле или кольце, включая поля действительных и комплексных чисел.

В самом деле, если обозначить a 0 = b <displaystyle <frac <0>>=b>, то по определению деления формально должно быть b ⋅ 0 = a <displaystyle bcdot 0=a>, в то время как выражение b ⋅ 0 <displaystyle bcdot 0>, при любом b <displaystyle b>, равно нулю. Другими словами, для нуля не существует обратного элемента ни в каком поле.

  • Деление на ноль ненулевого комплексного числа возможно на расширенной комплексной плоскости, его результат — бесконечно удалённая точка.

Значения отдельных функций [ править | править код ]

  • Результат возведения любого числа (кроме нуля) в нулевую степень равен единице: a 0 = 1 <displaystyle a^<0>=1>.
  • Выражение 0 0 <displaystyle 0^<0>>(ноль в нулевой степени) принято считать лишённым смысла [11][12][13] , то есть неопределённым.

Связано это с тем, что функция двух переменных x y <displaystyle x^>в точке < 0 , 0 ><displaystyle <0,0>>имеет неустранимый разрыв. В самом деле, вдоль положительного направления оси X , <displaystyle X,>где y = 0 , <displaystyle y=0,>она равна единице, а вдоль положительного направления оси Y , <displaystyle Y,>где x = 0 , <displaystyle x=0,>она равна нулю. См. подробнее статью Ноль в нулевой степени.

  • Факториал нуля, по соглашению, принят равным единице: 0 ! = 1 <displaystyle 0!=1>.

Ноль в геометрии [ править | править код ]

  • Точку можно рассматривать как нульмерный объект.
  • Точка плоскости с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной оси. Обе нулевые координаты задают точку, именуемую началом координат.
  • Точка трёхмерного пространства с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной плоскости. Точка трёхмерного пространства вновь именуется началом координат, если все её координаты нулевые.
  • Аналогичные утверждения верны для пространства любой размерности.
  • На окружности расположения 0° и 360° совпадают.
Читайте также:  Тормозит фифа 18 на компьютере что делать

Ноль в математическом анализе [ править | править код ]

  • При вычислении предела отношения ( a / b ) <displaystyle (a/b)>, где a → 0 <displaystyle a
    ightarrow 0>и b → 0 <displaystyle b
    ightarrow 0>, возникает ситуация, когда непосредственная подстановка даёт выражение ( 0 / 0 ) <displaystyle (0/0)>, значение которого не определено. В процессе раскрытия неопределённостей возможны семь таких ситуаций, и в четырёх из них формально присутствует ноль: ( 0 0 ) <displaystyle left(<frac <0><0>>
    ight)>, ( 0 0 ) <displaystyle (0^<0>)>, ( ∞ 0 ) <displaystyle (infty ^<0>)>, ( 0 ⋅ ∞ ) <displaystyle (0cdot infty )>.
  • Также возможна вполне определённая ситуация, когда рассматривается односторонний (правый или левый) предел бесконечно малой величины:
  • Правый предел: lim x → + 0 1 x = ( 1 0 ) = + ∞ <displaystyle lim _<frac <1>>=left(<frac <1><0>>
    ight)=+infty >_ или _ ( 1 x ) → x → + 0 + ∞ <displaystyle left(<frac <1>
    >
    ight)<xrightarrow[>+0>]<>>+infty >.
  • Левый предел: lim x → − 0 1 x = ( 1 0 ) = − ∞ <displaystyle lim _<frac <1>>=left(<frac <1><0>>
    ight)=-infty >_ или _ ( 1 x ) → x → − 0 − ∞ <displaystyle left(<frac <1>
    >
    ight)<xrightarrow[>-0>]<>>-infty >.

Обобщения (ноль в общей алгебре) [ править | править код ]

Аналог нуля может существовать в любом множестве, на котором определена операция сложения; в общей алгебре такой элемент иногда называется нейтральным элементом, иногда — аддитивным нулём, чаще всего — нулём относительно сложения. Примеры такого элемента — нулевой вектор и нулевая матрица. (Если же на множестве определена операция умножения, в качестве аналога нуля можно рассматривать мультипликативную единицу, или единицу относительно умножения — при наличии таковой.)

Алгебраические структуры, снабженные и сложением, и умножением, также могут содержать аналог нуля. Нулевой элемент содержит любое кольцо и его частные случаи — тело и поле. Например, квадратная нулевая матрица размера n × n <displaystyle n imes n> является нулевым элементом кольца квадратных матриц M n ( R ) <displaystyle M_(R)> . Кольцо многочленов также имеет нулевой элемент — многочлен с нулевыми коэффициентами, или нулевой многочлен, p ( x ) ≡ 0 <displaystyle p(x)equiv 0> .

История использования нуля [ править | править код ]

История цифры 0 [ править | править код ]

Цифра 0 появилась одновременно с появлением позиционной (поместной) нумерации — десятичной в Индии и шестидесятиричной в Вавилоне.

Древний Восток [ править | править код ]

Вавилонские математики использовали особый клинописный значок для шестидесятеричного нуля, начиная примерно с 300 г. до н. э., а их учителя-шумеры, вероятно, сделали это ещё раньше. Однако символ «двойной клин» вавилонских мудрецов никогда не означал «число 0» [14] .

Цифра 0 отсутствовала в римской, греческой и китайской системах обозначения чисел. Без этой цифры обходились, назначая некоторым символам значения крупных чисел. Например, число 100 в греческой системе счисления обозначалось буквой Ρ, в Римской — буквой C, в китайской — иероглифом 百.

Майя и инки [ править | править код ]

Майя использовали ноль в своей двадцатеричной системе счисления почти на тысячелетие раньше индийцев. Первая сохранившаяся стела с датой календаря майя датируется 7.16.3.2.13, 6 Бен 16 Шуль 8 декабря 36 года до н. э..

Любопытно, что тем же самым знаком математики майя обозначали и бесконечность, так как этот знак означал не ноль в европейском понимании слова, а «начало», «причину» [15] . Счёт дней месяца в календаре майя начинался с нулевого дня, который назывался Ахау.

В империи инков Тауантинсуйу для записи числовой информации использовалась узелковая система кипу, основанная на позиционной десятеричной системе счисления. Цифры от 1 до 9 обозначались узелками определённого вида, ноль — пропуском узелка в нужной позиции. В современном кечуа ноль обозначается словом кечуа ch’usaq (букв. «отсутствующий», «пустой»), однако то, какое слово использовалось инками для обозначения нуля при чтении кипу, пока неясно, поскольку, например, в одних из первых кечуа-испанских (Диего Гонсалес Ольгин, 1608) словарях и первом аймара-испанском (Лудовико Бертонио, 1612) не было соответствия для испанского «cero» — «ноль».

Индия [ править | править код ]

Впервые цифра «ноль» появилась в Индии, где именовалась санскритским словом «сунья» («пустота»; «отсутствие»), и широко использовался в поэзии и священных текстах. Исследования показали, что манускрипт Бакхшали содержит, вероятно, самое древнее упоминание ноля [16] [17] . Без нуля была бы невозможна изобретённая в Индии десятичная позиционная запись чисел. Первый код нуля обнаружен в индийской записи от 876 г. н. э., он имеет вид привычного нам кружочка.

От индийцев через арабов, называвших цифру 0 «сифр» (отсюда слова «цифра» и лат. zero , ноль), она попала в Западную Европу. [18]

Европа [ править | править код ]

В Вене хранится рукописная арифметика XV века, приобретённая в Константинополе (Стамбуле), в которой употребляются греческие числовые знаки вместе с обозначением нуля точкой [19] . В латинских переводах арабских трактатов XII века знак нуля — 0 называется кружком — circulus. В оказавшем очень большое влияние на преподавание арифметики в западных странах руководстве Сакробоско (Holywood, умер в 1256 году), написанном в 1250 году и перепечатывавшемся в очень многих странах, ноль называется «thêta vel theca vel circulus vel cifra vel figura nihili» — тэта, или тека, или кружок, или цифра, или знак ничего. Термин nulla figura — никакой знак — появляется в рукописных латинских переводах и обработках арабских трудов в XII века. Термин nulla имеется в рукописи Никола Шюке 1484 года и в первой печатной так называемой (по месту издания) Тревизской арифметике (1478) [20] .

Читайте также:  Эдди рознер биография личная жизнь

С начала XVI века слово «ноль» входит в повсеместное употребление в Германии и в других странах, сначала как слово чужое и в латинской грамматической форме, но постепенно оно принимает форму, свойственную данному национальному языку.

Россия [ править | править код ]

Леонтий Магницкий в своей «Арифметике» называет знак 0 «цифрой или ничем» (первая страница текста); на второй странице в таблице, в которой каждой цифре даётся название, 0 называется «низачто». В конце XVIII века во втором русском издании «Сокращения первых оснований математики» X. Вольфа (1791) нуль ещё называется цифрой. В математических рукописях XVII века, употребляющих индийские цифры, 0 называется «оном» вследствие сходства с буквой о [21] .

История числа 0 [ править | править код ]

Хотя в египетской системе счисления цифра 0 отсутствует, египетские математики уже со Среднего царства (начало II тысячелетия до н. э.) использовали для обозначения числа «нуль» иероглиф нфр («прекрасный»), также означавший начало отсчёта в схемах храмов, пирамид и гробниц [22] .

Своеобразные коды нуля использовали ещё до нашей эры древние майя и их соседи в Центральной Америке (древние майя обозначали ноль стилизованным изображением ракушки).

Хотя в китайских записях чисел цифра «нуль» отсутствует, для обозначения числа «нуль» пользуются знаком 〇 — одним из иероглифов императрицы У Цзэтянь.

В Древней Греции число 0 известно не было. В астрономических таблицах Клавдия Птолемея пустые клетки обозначались символом ο (буква омикрон, от др.-греч. οὐδέν — ничего); не исключено, что это обозначение повлияло на появление цифры «нуль», однако большинство историков признаёт, что десятичный нуль изобрели индийские математики.

В Европе долгое время 0 считался условным символом и не признавался числом; даже в XVII веке Валлис писал: «Нуль не есть число». В арифметических трудах отрицательное число истолковывалось как долг, а ноль — как ситуация полного разорения. Полному уравниванию его в правах с другими числами особенно способствовали труды Леонарда Эйлера.

См. также [ править | править код ]

  • −0 и +0 — понятия в математическом анализе.
  • Беззнаковое число
  • Делитель нуля
  • Машинный ноль
  • Ноль (цифра)
  • Чётность нуля

Примечания [ править | править код ]

  1. 12Д. Э. Розенталь. Справочник по правописанию, произношению, литературному редактированию. Глава X. Правописание имен числительных. М.: ЧеРо, 1999.
  2. ↑Энциклопедический словарь юного математика, 1985.
  3. ↑ Нуль // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 1082.
  4. ↑НУЛЬ // Большой Энциклопедический словарь. 2000.
  5. ↑ Большой толковый словарь русского языка. Гл. ред. С. А. Кузнецов. Первое издание: СПб.: Норинт, 1998.

Самая важная цифра есть нуль. Это была гениальная идея — сделать нечто из ничего, дать этому нечто имя и изобрести для него символ.

Знак вещественного числа в арифметике позволяет отличить отрицательные числа от положительных; традиционно знак обозначается символом плюса (положительные числа) или минуса (отрицательные) перед записью числа. Если ни плюс, ни минус не указаны, число считается положительным. Ноль как особое число не имеет знака.

Примеры записи чисел: + 36 , 6 ; − 273 ; 142. <displaystyle +36<,>6; <->273; 142.> Последнее число не имеет знака и поэтому положительно.

Следует отметить, что плюс и минус указывают знак для чисел, но не для буквенных переменных или алгебраических выражений. Например, в формулах − t ; a + b ; − ( a 2 + b 2 ) <displaystyle -t; a+b; -(a^<2>+b^<2>)> символы плюса и минуса задают не знак выражения, перед которым они стоят, а знак арифметической операции, так что знак результата может быть любым, он определяется только после вычисления выражения.

Кроме арифметики, понятие знака используется в других разделах математики, в том числе для нечисловых математических объектов (см. ниже). Понятие знака важно также в тех разделах физики, где физические величины делятся на два класса, условно названные положительными и отрицательными — например, электрические заряды, положительная и отрицательная обратная связь, разнообразные силы притяжения и отталкивания.

Содержание

Знак числа

Положительные и отрицательные числа

Вещественное число называется положительным, если оно больше нуля, и отрицательным, если меньше. Положительные числа записываются со знаком плюс или вообще без знака, отрицательные — со знаком минус [1] .

Нулю не присвоен никакой знак, то есть + 0 <displaystyle +0> и − 0 <displaystyle -0> — это в арифметике одно и то же число [1] . В математическом анализе смысл символов + 0 <displaystyle +0> и − 0 <displaystyle -0> может различаться, см. об этом Отрицательный и положительный ноль; в информатике компьютерная кодировка двух нулей (целого типа) может отличаться, см. Прямой код.

В связи со сказанным вводятся ещё несколько полезных терминов:

  • Число неотрицательно, если оно больше или равно нулю.
  • Число неположительно, если оно меньше или равно нулю.
  • Положительные числа без нуля и отрицательные числа без нуля иногда (чтобы подчеркнуть, что они ненулевые) называют "’строго положительными" и "строго отрицательными" соответственно.
Читайте также:  Что помогает от фингала

Та же терминология иногда используется для вещественных функций. Например, функция называется положительной, если все её значения положительны, неотрицательной, если все её значения неотрицательны и т. д. Говорят также, что функция положительна/отрицательна на заданном интервале её определения..

Для комплексных чисел понятия знака числа не существует, потому что для них не определено, как сравнивать числа на больше/меньше.

Функция знака sgn(x)

Функция знака y = sgn ⁡ ( x ) <displaystyle y=operatorname (x)> (произносится: сигнум от x) часто бывает полезна как индикатор знака числа. Эта функция определяется следующим образом:

0).end>>"> sgn ⁡ ( x ) = < − 1 ( x 0 ) , 0 ( x = 0 ) , 1 ( x >0 ) . <displaystyle operatorname (x)=<egin-1quad (x 0).end>> 0).end>>"/>

Другими словами, функция равна 1 <displaystyle 1> для положительного аргумента, − 1 <displaystyle -1> для отрицательного и нулю для нулевого аргумента. Функция предусмотрена и в ряде языков программирования.

Пример использования функции см. в статье Квадратный корень#Комплексные числа.

Модуль (абсолютная величина) числа

Если у числа x <displaystyle x> отбросить знак, полученное значение называется модулем или абсолютной величиной числа x <displaystyle x> , оно обозначается | x | . <displaystyle |x|.> Примеры: | 3 | = 3 ; | − 3 | = 3. <displaystyle |3|=3; |<-3>|=3.>

Для любых вещественных чисел a , b <displaystyle a,b> имеют место следующие свойства.

  • Формула разложения числа на знак и модуль: a = sgn ⁡ ( a ) ⋅ | a | <displaystyle a=operatorname (a)cdot |a|>
  • Модуль любого числа всегда неотрицателен, причём | a | = 0 <displaystyle |a|=0>тогда и только тогда, когда a = 0. <displaystyle a=0.>
  • Модули противоположных чисел совпадают: | − a | = | a | . <displaystyle |<-a>|=|a|.>
  • − | a | ⩽ a ⩽ | a | . <displaystyle -|a|leqslant aleqslant |a|.>
  • | a + b | ⩽ | a | + | b | <displaystyle |a+b|leqslant |a|+|b|>(неравенство треугольника).

Знак у нечисловых объектов

Знак угла

Величина угла на плоскости считается положительной, если она измеряется против часовой стрелки, иначе — отрицательной. Аналогично классифицируются два случая вращения:

  • вращение на плоскости — например, вращение на (–90°) происходит по часовой стрелке;
  • поворот в пространстве вокруг ориентированной оси, как правило, считается положительным, если выполнено «правило буравчика», иначе он считается отрицательным.

Знак направления

В аналитической геометрии и физике нередко продвижения вдоль заданной прямой или кривой условно делятся на положительные и отрицательные. Такое деление может зависеть от постановки задачи или от выбранной системы координат. Например, при подсчёте длины дуги кривой часто удобно приписать этой длине на одном из двух возможных направлений знак минус.

Знак в вычислительной технике

старший бит
1 1 1 1 127
1 1 1 126
2
1 1
1 1 1 1 −1
1 1 1 −2
1 −127
−128
Для представления знака целого числа большинство компьютеров используют дополнительный код.

Целое число, хранящееся в памяти компьютера, может быть знаковым или беззнаковым (в последнем случае оно рассматривается как положительное). Знаковые числа используют один из битов как код знака (обычно 0 кодирует положительное число, 1 — отрицательное), у беззнаковых все биты равноправны. Для представления знака и значения целых чисел большинство компьютеров используют дополнительный код, хотя встречается и прямой код.

Вещественные числа хранятся и обрабатываются как числа с плавающей запятой, то есть содержат мантиссу и порядок числа, причём каждая из этих частей снабжена битом своего знака.

Дискретная математика

В комбинаторике определяется знак перестановки — положительный, если перестановка чётная, и отрицательный, если перестановка нечётная.

В теории графов рассматриваются ориентированные и знаковые графы [en] , в которых каждому ребру соответствует направление или знак (положительный или отрицательный).

Другие применения знака

Существует знако-разрядная система счисления [en] , в ней каждая цифра числа может иметь положительный или отрицательный знак..

В теории меры определено понятие обобщённой меры со знаком («заряда»), которая может иметь положительные или отрицательные значения.

Знак может быть присвоен бесконечно удалённой точке расширенной числовой оси.

В физике, любой электрический заряд обладает знаком, положительным или отрицательным. По соглашению, положительным считается заряд с тем же знаком, что у протона, а отрицательный заряд — это заряд с тем же знаком, что у электрона.

Пожалуйста, проверьте следующий код.

Как мы можем объяснить это противоречие? Насколько я могу думать о

1) Предполагается как некоторое положительное небольшое число (например, double.Epsilon ), когда оно делитель. Но это противоречит statement (3) поскольку zero2 равен нулю (и его также следует считать положительным малым числом).

2) Это всегда предполагается как некоторое положительное небольшое число. Это противоречит утверждению (1) (если zero1 положительный, то zero2 должен быть отрицательным)

3) Или, возможно, разделение не безопасно. Иногда 3/0 может дать мне отрицательную бесконечность.

Какой правильный подход, объяснение?

2 ответа

Тип Double имеет различные значения для положительного нуля и отрицательного нуля.

Когда вы сравниваете положительный ноль с отрицательным нолем, они равны. Ноль равен нулю независимо от знака.

Ноль – это точно ноль, это не очень маленькое значение. Положительный ноль и отрицательный ноль имеют одинаковое точное значение, хотя они имеют разные знаки. Если вы сравните очень маленькое положительное значение с очень маленьким отрицательным значением, они не равны.

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock
detector