Частное решение методом неопределенных коэффициентов

Данная статья раскрывает вопрос о решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Будет рассмотрена теория вместе с примерами приведенных задач. Для расшифровки непонятных терминов необходимо обращаться к теме об основных определениях и понятиях теории дифференциальных уравнений.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами вида y ” + p · y ‘ + q · y = f ( x ) , где произвольными числами являются p и q , а имеющаяся функция f ( х ) непрерывная на интервале интегрирования x .

Перейдем к формулировке теоремы общего решения ЛНДУ.

Теорема общего решения ЛДНУ

Общим решением, находящимся на интервале х , неоднородного дифференциального уравнения вида y ( n ) + f n – 1 ( x ) · y ( n – 1 ) + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) с непрерывными коэффициентами интегрирования на x интервале f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n – 1 ( x ) и непрерывной функцией f ( x ) равняется сумме общего решения y 0 , которое соответствует ЛОДУ и каким-нибудь частным решением y

, где исходным неоднородным уравнением является y = y 0 + y

Отсюда видно, что решение такого уравнения второго порядка имеет вид y = y 0 + y

. Алгоритм нахождения y 0 рассмотрен в статье о линейных однородных дифференциальных уравнениях второго порядка с постоянными коэффициентами. После чего следует переходить к определению y

Выбор частного решения ЛНДУ зависит от вида имеющейся функции f ( x ) , располагающейся в правой части уравнения. Для этого необходимо рассмотреть отдельно решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка при постоянных коэффициентах.

Когда f ( x ) считается за многочлен n -ой степени f ( x ) = P n ( x ) , отсюда следует, что частное решение ЛНДУ находим по формуле вида y

= Q n ( x ) · x γ , где Q n ( x ) является многочленом степени n , r – это количество нулевых корней характеристического уравнения. Значение y

является частным решением y

= f ( x ) , тогда имеющиеся коэффициенты, которые определены многочленом
Q n ( x ) , отыскиваем при помощи метода неопределенных коэффициентов из равенства y

Вычислить по теореме Коши y ” – 2 y ‘ = x 2 + 1 , y ( 0 ) = 2 , y ‘ ( 0 ) = 1 4 .

Решение

Иначе говоря, необходимо перейти к частному решению линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y ” – 2 y ‘ = x 2 + 1 , которое будет удовлетворять заданным условиям y ( 0 ) = 2 , y ‘ ( 0 ) = 1 4 .

Общим решением линейного неоднородного уравнения является сумма общего решения, которое соответствует уравнению y 0 или частному решению неоднородного уравнения y

, то есть y = y 0 + y

Для начала найдем общее решение для ЛНДУ, а после чего – частное.

Перейдем к нахождению y 0 . Запись характеристического уравнения поможет найти корни. Получаем, что

k 2 – 2 k = 0 k ( k – 2 ) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

Получили, что корни различные и действительные. Поэтому запишем

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x .

. Видно, что правая часть заданного уравнения является многочленом второй степени, тогда один из корней равняется нулю. Отсюда получим, что частным решением для y

= Q 2 ( x ) · x γ = ( A x 2 + B x + C ) · x = A x 3 + B x 2 + C x , где значения А , В , С принимают неопределенные коэффициенты.

Найдем их из равенства вида y

Тогда получим, что:

‘ = x 2 + 1 ( A x 3 + B x 2 + C x ) ” – 2 ( A x 3 + B x 2 + C x ) ‘ = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C ‘ – 6 A x 2 – 4 B x – 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B – 6 A x 2 – 4 B x – 2 C = x 2 + 1 – 6 A x 2 + x ( 6 A – 4 B ) + 2 B – 2 C = x 2 + 1

Приравняв коэффициенты с одинаковыми показателями степеней x , получим систему линейных выражений – 6 A = 1 6 A – 4 B = 0 2 B – 2 C = 1 . При решении любым из способов найдем коэффициенты и запишем: A = – 1 6 , B = – 1 4 , C = – 3 4 и y

= A x 3 + B x 2 + C x = – 1 6 x 3 – 1 4 x 2 – 3 4 x .

Эта запись называется общим решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для нахождения частного решения, которое удовлетворяет условиям y ( 0 ) = 2 , y ‘ ( 0 ) = 1 4 , требуется определить значения C 1 и C 2 , исходя из равенства вида y = C 1 + C 2 e 2 x – 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

y ( 0 ) = C 1 + C 2 e 2 x – 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y ‘ ( 0 ) = C 1 + C 2 e 2 x – 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x ‘ x = 0 = = 2 C 2 e 2 x – 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 – 3 4

Работаем с полученной системой уравнений вида C 1 + C 2 = 2 2 C 2 – 3 4 = 1 4 , где C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .

Применив теорему Коши, имеем, что

y = C 1 + C 2 e 2 x – 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x – 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Ответ: 3 2 + 1 2 e 2 x – 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Когда функция f ( x ) представляется в виде произведения многочлена со степенью n и экспоненты f ( x ) = P n ( x ) · e a x , тогда отсюда получаем, что частным решением ЛНДУ второго порядка будет уравнение вида y

= e a x · Q n ( x ) · x γ , где Q n ( x ) является многочленом n -ой степени, а r – количеством корней характеристического уравнения, равняющиеся α .

Коэффициенты, принадлежащие Q n ( x ) находятся по равенству y

Найти общее решение дифференциального уравнения вида y ” – 2 y ‘ = ( x 2 + 1 ) · e x .

Решение

Уравнение общего вида y = y 0 + y

. Указанное уравнение соответствует ЛОДУ y ” – 2 y ‘ = 0 . По предыдущему примеру видно, что его корни равняются k 1 = 0 и k 2 = 2 и y 0 = C 1 + C 2 e 2 x по характеристическому уравнению.

Видно, что правой частью уравнения является x 2 + 1 · e x . Отсюда ЛНДУ находится через y

= e a x · Q n ( x ) · x γ , где Q n ( x ) , являющимся многочленом второй степени, где α = 1 и r = 0 , потому как у характеристического уравнения отсутствует корень, равный 1 . Отсюда получаем, что

= e a x · Q n ( x ) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

А , В , С являются неизвестными коэффициентами, которые можно найти по равенству y

‘ = e x · A x 2 + B x + C ‘ = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y

‘ ‘ = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C ‘ = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x · A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

‘ = ( x 2 + 1 ) · e x ⇔ e x · A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C – – 2 e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · – A x 2 – B x + 2 A – C = ( x 2 + 1 ) · e x ⇔ – A x 2 – B x + 2 A – C = x 2 + 1 ⇔ – A x 2 – B x + 2 A – C = 1 · x 2 + 0 · x + 1

Показатели при одинаковых коэффициентах приравниваем и получаем систему линейных уравнений. Отсюда и находим А , В , С :

– A = 1 – B = 0 2 A – C = 1 ⇔ A = – 1 B = 0 C = – 3

Ответ: видно, что y

Читайте также:  Что отвечает за интернет в ноутбуке

= e x · ( A x 2 + B x + C ) = e x · – x 2 + 0 · x – 3 = – e x · x 2 + 3 является частным решением ЛНДУ, а y = y 0 + y = C 1 e 2 x – e x · x 2 + 3 – общим решением для неоднородного дифуравнения второго порядка.

Когда функция записывается как f ( x ) = A 1 cos ( β x ) + B 1 sin β x , а А 1 и В 1 являются числами, тогда частным решением ЛНДУ считается уравнение вида y

= A cos β x + B sin β x · x γ , где А и В считаются неопределенными коэффициентами, а r числом комплексно сопряженных корней, относящихся к характеристическому уравнению, равняющимся ± i β . В этом случае поиск коэффициентов проводится по равенству y

Найти общее решение дифференциального уравнения вида y ” + 4 y = cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) .

Решение

Перед написанием характеристического уравнения находим y 0 . Тогда

k 2 + 4 = 0 k 2 = – 4 k 1 = 2 i , k 2 = – 2 i

Имеем пару комплексно сопряженных корней. Преобразуем и получим:

y 0 = e 0 · ( C 1 cos ( 2 x ) + C 2 sin ( 2 x ) ) = C 1 cos 2 x + C 2 sin ( 2 x )

Корни из характеристического уравнения считаются сопряженной парой ± 2 i , тогда f ( x ) = cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) . Отсюда видно, что поиск y

будет производиться из y

= ( A cos ( β x ) + B sin ( β x ) · x γ = ( A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) ) · x . Неизвестные коэффициенты А и В будем искать из равенства вида y

= cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) .

‘ = ( ( A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) · x ) ‘ = = ( – 2 A sin ( 2 x ) + 2 B cos ( 2 x ) ) · x + A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) y

” = ( ( – 2 A sin ( 2 x ) + 2 B cos ( 2 x ) ) · x + A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) ) ‘ = = ( – 4 A cos ( 2 x ) – 4 B sin ( 2 x ) ) · x – 2 A sin ( 2 x ) + 2 B cos ( 2 x ) – – 2 A sin ( 2 x ) + 2 B cos ( 2 x ) = = ( – 4 A cos ( 2 x ) – 4 B sin ( 2 x ) ) · x – 4 A sin ( 2 x ) + 4 B cos ( 2 x )

Тогда видно, что

= cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) ⇔ ( – 4 A cos ( 2 x ) – 4 B sin ( 2 x ) ) · x – 4 A sin ( 2 x ) + 4 B cos ( 2 x ) + + 4 ( A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) ) · x = cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) ⇔ – 4 A sin ( 2 x ) + 4 B cos ( 2 x ) = cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x )

Необходимо приравнять коэффициенты синусов и косинусов. Получаем систему вида:

– 4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = – 3 4 B = 1 4

= ( A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) · x = – 3 4 cos ( 2 x ) + 1 4 sin ( 2 x ) · x .

Ответ: общим решением исходного ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами считается

= = C 1 cos ( 2 x ) + C 2 sin ( 2 x ) + – 3 4 cos ( 2 x ) + 1 4 sin ( 2 x ) · x

Когда f ( x ) = e a x · P n ( x ) sin ( β x ) + Q k ( x ) cos ( β x ) , тогда y

= e a x · ( L m ( x ) sin ( β x ) + N m ( x ) cos ( β x ) · x γ . Имеем, что r – это число комплексно сопряженных пар корней, относящихся к характеристическому уравнению, равняются α ± i β , где P n ( x ) , Q k ( x ) , L m ( x ) и N m ( x ) являются многочленами степени n , k , т , m , где m = m a x ( n , k ) . Нахождение коэффициентов L m ( x ) и N m ( x ) производится, исходя из равенства y

Найти общее решение y ” + 3 y ‘ + 2 y = – e 3 x · ( ( 38 x + 45 ) sin ( 5 x ) + ( 8 x – 5 ) cos ( 5 x ) ) .

Решение

По условию видно, что

α = 3 , β = 5 , P n ( x ) = – 38 x – 45 , Q k ( x ) = – 8 x + 5 , n = 1 , k = 1

Тогда m = m a x ( n , k ) = 1 . Производим нахождение y 0 , предварительно записав характеристическое уравнение вида:

k 2 – 3 k + 2 = 0 D = 3 2 – 4 · 1 · 2 = 1 k 1 = 3 – 1 2 = 1 , k 2 = 3 + 1 2 = 2

Получили, что корни являются действительными и различными. Отсюда y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . Далее необходимо искать общее решение, исходя из неоднородного уравнения y

= e α x · ( L m ( x ) sin ( β x ) + N m ( x ) cos ( β x ) · x γ = = e 3 x · ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) · x 0 = = e 3 x · ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) )

Известно, что А , В , С являются коэффициентами, r = 0 , потому как отсутствует пара сопряженных корней, относящихся к характеристическому уравнению с α ± i β = 3 ± 5 · i . Данные коэффициенты находим из полученного равенства:

= – e 3 x ( ( 38 x + 45 ) sin ( 5 x ) + ( 8 x – 5 ) cos ( 5 x ) ) ⇔ ( e 3 x ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) ) ” – – 3 ( e 3 x ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) ) = – e 3 x ( ( 38 x + 45 ) sin ( 5 x ) + ( 8 x – 5 ) cos ( 5 x ) )

Нахождение производной и подобных слагаемых дает

– e 3 x · ( ( 15 A + 23 C ) · x · sin ( 5 x ) + + ( 10 A + 15 B – 3 C + 23 D ) · sin ( 5 x ) + + ( 23 A – 15 C ) · x · cos ( 5 x ) + ( – 3 A + 23 B – 10 C – 15 D ) · cos ( 5 x ) ) = = – e 3 x · ( 38 · x · sin ( 5 x ) + 45 · sin ( 5 x ) + + 8 · x · cos ( 5 x ) – 5 · cos ( 5 x ) )

После приравнивания коэффициентов получаем систему вида

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B – 3 C + 23 D = 45 23 A – 15 C = 8 – 3 A + 23 B – 10 C – 15 D = – 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Из всего следует, что

= e 3 x · ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) = = e 3 x · ( ( x + 1 ) cos ( 5 x ) + ( x + 1 ) sin ( 5 x ) )

Ответ: теперь получено общее решение заданного линейного уравнения:

= = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x · ( ( x + 1 ) cos ( 5 x ) + ( x + 1 ) sin ( 5 x ) )

Алгоритм решения ЛДНУ

Любой другой вид функции f ( x ) для решения предусматривает соблюдение алгоритма решения:

  • нахождение общего решения соответствующего линейного однородного уравнения, где y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , где y 1 и y 2 являются линейно независимыми частными решениями ЛОДУ, С 1 и С 2 считаются произвольными постоянными;
  • принятие в качестве общего решения ЛНДУ y = C 1 ( x ) ⋅ y 1 + C 2 ( x ) ⋅ y 2 ;
  • определение производных функции через систему вида C 1 ‘ ( x ) + y 1 ( x ) + C 2 ‘ ( x ) · y 2 ( x ) = 0 C 1 ‘ ( x ) + y 1 ‘ ( x ) + C 2 ‘ ( x ) · y 2 ‘ ( x ) = f ( x ) , а нахождение функций C 1 ( x ) и C 2 ( x ) посредствам интегрирования.

Найти общее решение для y ” + 36 y = 24 sin ( 6 x ) – 12 cos ( 6 x ) + 36 e 6 x .

Решение

Переходим к написанию характеристического уравнения, предварительно записав y 0 , y ” + 36 y = 0 . Запишем и решим:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = – 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos ( 6 x ) + C 2 sin ( 6 x ) ⇒ y 1 ( x ) = cos ( 6 x ) , y 2 ( x ) = sin ( 6 x )

Имеем, что запись общего решения заданного уравнения получит вид y = C 1 ( x ) · cos ( 6 x ) + C 2 ( x ) · sin ( 6 x ) . Необходимо перейти к определению производных функций C 1 ( x ) и C 2 ( x ) по системе с уравнениями:

C 1 ‘ ( x ) · cos ( 6 x ) + C 2 ‘ ( x ) · sin ( 6 x ) = 0 C 1 ‘ ( x ) · ( cos ( 6 x ) ) ‘ + C 2 ‘ ( x ) · ( sin ( 6 x ) ) ‘ = 0 ⇔ C 1 ‘ ( x ) · cos ( 6 x ) + C 2 ‘ ( x ) · sin ( 6 x ) = 0 C 1 ‘ ( x ) ( – 6 sin ( 6 x ) + C 2 ‘ ( x ) ( 6 cos ( 6 x ) ) = = 24 sin ( 6 x ) – 12 cos ( 6 x ) + 36 e 6 x

Читайте также:  Троянские утилиты удаленного администрирования

Необходимо произвести решение относительно C 1 ‘ ( x ) и C 2 ‘ ( x ) при помощи любого способа. Тогда запишем:

C 1 ‘ ( x ) = – 4 sin 2 ( 6 x ) + 2 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) – 6 e 6 x sin ( 6 x ) C 2 ‘ ( x ) = 4 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) – 2 cos 2 ( 6 x ) + 6 e 6 x cos ( 6 x )

Каждое из уравнений следует проинтегрировать . Тогда запишем получившиеся уравнения:

C 1 ( x ) = 1 3 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) – 2 x – 1 6 cos 2 ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x cos ( 6 x ) – 1 2 e 6 x sin ( 6 x ) + C 3 C 2 ( x ) = – 1 6 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) – x – 1 3 cos 2 ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x cos ( 6 x ) + 1 2 e 6 x sin ( 6 x ) + C 4

Отсюда следует, что общее решение будет иметь вид:

y = 1 3 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) – 2 x – 1 6 cos 2 ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x cos ( 6 x ) – 1 2 e 6 x sin ( 6 x ) + C 3 · cos ( 6 x ) + + – 1 6 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) – x – 1 3 cos 2 ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x cos ( 6 x ) + 1 2 e 6 x sin ( 6 x ) + C 4 · sin ( 6 x ) = = – 2 x · cos ( 6 x ) – x · sin ( 6 x ) – 1 6 cos ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x + C 3 · cos ( 6 x ) + C 4 · sin ( 6 x )

Ответ: y = y 0 + y

= – 2 x · cos ( 6 x ) – x · sin ( 6 x ) – 1 6 cos ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x + C 3 · cos ( 6 x ) + C 4 · sin ( 6 x )

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Дифференциальные уравнения

Пример 2. y’’ -2y’ + y = x-1
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r 2 -2 r + 1 = 0
D = (-2) 2 – 4 • 1 • 1 = 0


Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r1 = 1 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e x
y2 = xe x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = x-1
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = e αx (P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) – некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = x k e αx (R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k – кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) – полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = x-1, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 0 + 0i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y * = Ax + B
Вычисляем производные:
y’ = A
y” = 0
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y” -2y’ + y = -2A + (Ax + B) = x-1
или
A•x-2A+B = x-1
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
A = 1
-2A + B = -1
Откуда: A = 1;B = 1;
Частное решение имеет вид:
y * = x + 1
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример 3. y’’ +6y’ + 9y = 9x 2 +12x-43

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r 2 +6 r + 9 = 0
D = 6 2 – 4 • 1 • 9 = 0


Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r1 = -3 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e -3x
y2 = xe -3x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = 9•x 2 +12•x-43
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = e αx (P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) – некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = x k e αx (R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k – кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) – полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 9•x 2 +12•x-43, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 0 + 0i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y * = Ax 2 + Bx + C
Вычисляем производные:
y’ = 2•A•x+B
y” = 2•A
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y” + 6y’ + 9y = 2•A + 6(2•A•x+B) + 9(Ax 2 + Bx + C) = 9•x 2 +12•x-43
или
9•A•x 2 +12•A•x+2•A+9•B•x+6•B+9•C = 9•x 2 +12•x-43
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
9A = 9
12A + 9B = 12
2A + 6B + 9C = -43
Решая ее методом Гаусса, находим:
A = 1;B = 0;C = -5;
Частное решение имеет вид:
y * = x 2 -5
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = C1 e -3 x + C2 xe -3 x + x 2 -5

Если общее решение () ассоциированного однородного уравнения известно, то общее решение неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации постоянных .

Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид: [left( x
ight) = left( x
ight) + left( x
ight).] Вместо постоянных (
) и () будем рассматривать вспомогательные функции (left( x
ight)) и (left( x
ight).) Будем искать эти функции такими, чтобы решение [y =
left( x
ight)left( x
ight) + left( x
ight)left( x
ight)] удовлетворяло неоднородному уравнению с правой частью (fleft( x
ight).)

Неизвестные функции (left( x
ight)) и (left( x
ight)) определяются из системы двух уравнений: [left< egin left( x
ight)left( x
ight) = 0\ left( x
ight) + left( x
ight) = fleft( x
ight) end

ight..]

Правая часть (fleft( x
ight)) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций. В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов .

Читайте также:  Я не люблю фотографироваться

Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как

(fleft( x
ight) = left[ <left( x
ight)cosleft( <eta x>
ight) + left( x
ight)sinleft( <eta x>
ight)>
ight]>,) где (<
left( x
ight)>) и (<left( x
ight)>) − многочлены степени (n) и (m,) соответственно.

В обоих случаях выбор частного решения должен соответствовать структуре правой части неоднородного дифференциального уравнения.

В случае (1,) если число (alpha) в экспоненциальной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение будет содержать дополнительный множитель (,) где (s) − кратность корня (alpha) в характеристическом уравнении.

В случае (2,) если число (alpha + eta i) совпадает с корнем характеристического уравнения, то выражение для частного решения будет содержать дополнительный множитель (x.)

Неизвестные коэффициенты можно определить подстановкой найденного выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

Если правая часть неоднородного уравнения представляет собой сумму нескольких функций вида [ <left( x
ight)>;; ext<и/или>>;; <left[ <
left( x
ight)cosleft( <eta x>
ight) + left( x
ight)sinleft( <eta x>
ight)>
ight]>,> ] то частное решение дифференциального уравнения также будет являться суммой частных решений, построенных отдельно для каждого слагаемого в правой части.

Сначала мы решим соответствующее однородное уравнение (y” + y = 0.) В данном случае корни характеристического уравнения являтся чисто мнимыми: [ <+ 1 = 0,>;; <Rightarrow = – 1,>;; <Rightarrow > = pm i.> ] Следовательно, общее решение однородного уравнения определяется выражением [left( x
ight) = cos x + sin x.] Вернемся снова к неоднородному уравнению. Будем искать его решение в виде [yleft( x
ight) =
left( x
ight)cos x + left( x
ight)sin x,] используя метод вариации постояных.

Функции (left( x
ight)) и (left( x
ight)) можно найти из следующей системы уравнений: [left< egin left( x
ight)sin x = 0\ left( x
ight) <left( <sin x>
ight)^prime > = sin 2x end

ight..] Тогда [left< egin
left( x
ight)sin x = 0\ left( x
ight)cos x = sin 2x end

ight..] Выразим производную (left( x
ight) = – left( x
ight):) [ <left( < – left( x
ight)cos x = sin 2x,>;; <Rightarrow left( x
ight)frac<<<<sin >^2>x + <<cos >^2>x>><<cos x>> = sin 2x,>;; <Rightarrow <1>left( x
ight) = sin 2xcos x.> ] Отсюда следует, что [ <left( x
ight)) и (
– 5k + 4 = 0,>;; <Rightarrow D = 25 – 4 cdot 4 = 9,>;; <Rightarrow > = frac<<5 pm sqrt 9 >> <2>> = <frac<<5 pm 3>> <2>= 4,1.> ] Следовательно, общее решение однородного уравнения записывается как [left( x
ight) =
<4x>> + ,] где (,) () − постоянные числа.

Найдем теперь частное решение неоднородного дифференциального уравнения. Заметим, что показатель экспоненциальной функции в правой части совпадает с корнем ( = 4) характеристического уравнения. Поэтому будем искать частное решение в виде [ = Ax<4x>>.] Производные равны: [ <<4x>– 7k + 12 = 0,>;; <Rightarrow D = 49 – 4 cdot 12 = 1,>;; <Rightarrow > = frac<<7 pm 1>> <2>= 4,3.> ] Следовательно, общее решение однородного уравнения определяется выражением: [left( x
ight) =
<4x>> + <3x>>.] Видно, что правая часть представляет собой сумму двух функций. Согласно принципу суперпозиции , частное решение можно представить в виде: [
left( x
ight) = left( x
ight) + left( x
ight),] где (
left( x
ight)) − частное решение дифференциального уравнения (y” – 7y’ + 12y = 8sin x,) а (left( x
ight)) − частное решение дифференциального уравнения (y” – 7y’ + 12y = <3x>>.)

Сначала определим функцию (left( x
ight).) В данном случае мы будем искать решение в форме [
left( x
ight) = Acos x + Bsin x.] Подставим функцию (
left( x
ight)) и ее производные [ <;; <Rightarrow – Acos x – Bsin x >- <7left( < – Asin x + Bcos x>
ight) > + <12left(
ight) > = <8sin x,>;; <Rightarrow – color – color + color <7Asin x>- color <7Bcos x>> + <color <12Acos x>+ color <12Bsin x>> = <8sin x,>;; <Rightarrow left( <11A – 7B>
ight)cos x + left( <11B + 7A>
ight)sin x = 8sin x.> ] Следовательно, [left< egin 11A – 7B = 0\ 11B + 7A = 8 end
ight.,;; Rightarrow left< egin
A = frac<<28>><<85>>\ B = frac<<44>><<85>> end
ight..] Тогда получаем: (
left( x
ight) = <largefrac<<28>><<85>>
ormalsize>cos x + <largefrac<<44>><<85>>
ormalsize>sin x.)

Аналогично можно сконструировать частное решение (left( x
ight)) для уравнения (y” – 7y’ + 12y = <3x>>.) Заметим, что здесь показатель степени в экспоненциальной функции совпадает с корнем ( = 3) характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения. Поэтому, мы будем искать частное решение в форме [
left( x
ight) = Ax<3x>>.] Производные имеют вид: [ <<3x>

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock
detector