Чему равен арктангенс тангенса

Содержание
  1. Синус арксинуса, косинус арккосинуса и т.п.
  2. Арксинус синуса, арккосинус косинуса и т.п.
  3. Связи между arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел
  4. Сумма арксинуса и арккосинуса числа, сумма арктангенса и арккотангенса числа
  5. Синус от арккосинуса, тангенс от арксинуса и иже с ними
  6. arcsin через arccos, arctg и arcctg; arccos через arcsin, arctg и arcctg и т.п.
  7. Некоторые другие формулы
  8. Формулы с обратными тригонометрическими функциями: arcsin, arccos, arctg и arcctg
  9. Формулы котангенса арккотангенса, тангенса арктангенса, синуса арксинуса и косинуса арккосинуса
  10. Формулы арккотангенса котангенса, арктангенса тангенса и арксинуса синуса и арккосинуса косинуса
  11. Как соотносятся между собой арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы противоположных чисел
  12. Формулы суммы: арксинус + арккосинус, арктангенс + арккотангенс
  13. Формулы связи между прямыми и обратными тригонометрическими функциями
  14. Доказательства формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса
  15. Доказательства формул тангенсов арксинуса, арккосинуса и арккотангенса
  16. Как выразить арксинус через арккосинус, арктангенс и арккотангенс и так далее
  17. Прочие формулы с обратными функциями
  18. Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса
  19. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположных чисел
  20. Сумма арксинуса и арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
  21. Арксинус синуса, арккосинус косинуса, арктангенс тангенса и арккотангенс котангенса

Для успешной работы с арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами чисел нужно знать существующие между ними связи. Эти связи удобно записывать в виде формул.

В этой статье мы разберем основные формулы с arcsin, arccos, arctg и arcctg, для удобства работы и запоминания разобьем эти формулы по группам, дадим их вывод и доказательство, а также покажем примеры использования.

Навигация по странице.

Первые четыре блока формул представляют собой основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа, в указанной статье сайта www.cleverstudents.ru Вы найдете и доказательство этих формул, и примеры их применения. Здесь мы не будем повторяться, а лишь приведем сами формулы, чтобы они все были в одном месте.

Синус арксинуса, косинус арккосинуса и т.п.

Эти формулы очевидны и напрямую следуют из определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Они показывают, чему равен синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса.

Арксинус синуса, арккосинус косинуса и т.п.

Эти формулы также очевидны и следуют из определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Они определяют, чему равен арксинус синуса, арктангенс тангенса, арккосинус косинуса и арккотангенс котангенса. Заметим, что стоит быть очень внимательными к указанным условиям, так как если угол (число) α выходит за указанные пределы, то эти формулы использовать нельзя, ибо они дадут неверный результат.

Связи между arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел

Формулы этого блока показывают, как арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс отрицательного числа выражаются через arcsin , arccos , arctg и arcctg противоположного ему положительного числа. Эти формулы позволяют избавиться от работы с арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами отрицательных чисел, и перейти к работе с этими аркфункциями от положительных чисел.

Сумма арксинуса и арккосинуса числа, сумма арктангенса и арккотангенса числа

Записанные формулы позволяют выразить арксинус числа через арккосинус этого же числа, арккосинус через арксинус, арктангенс через арккотангенс и арккотангенс через тангенс того же числа.

Синус от арккосинуса, тангенс от арксинуса и иже с ними

На практике очень полезными оказываются формулы, устанавливающие отношения между тригонометрическими функциями и аркфункциями. К примеру, может потребоваться вычислить синус арккосинуса некоторого числа, или тангенс арксинуса. Запишем список формул, позволяющих решать подобные задачи, дальше покажем примеры их применения и приведем доказательства этих формул.

Приведем несколько примеров использования записанных формул. Например, вычислим косинус арктангенса корня из пяти. Соответствующая формула имеет вид , таким образом .

Другой пример: используя формулу синуса арккосинуса вида , мы можем вычислить, к примеру, синус арккосинуса одной второй, имеем . Заметим, что в этом примере вычисления можно провести и непосредственно, они приводят к тому же результату: (при необходимости смотрите статьи вычисление значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса и вычисление значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса).

Осталось показать вывод записанных формул.

Формулы, находящиеся в ячейках таблицы на диагонали, есть формулы синуса арксинуса, косинуса арккосинуса и т.д. Они были получены ранее, поэтому не нуждаются в доказательстве, и их мы будем использовать для доказательства остальных формул. Более того, для вывода формул нам еще потребуются основные тригонометрические тождества.

Выведем сначала формулу синуса арккосинуса, синуса арктангенса и синуса арккотангенса. Из основных тригонометрических тождеств и , а также учитывая, что , легко получить следующие формулы , и , выражающие синус через косинус, синус через тангенс и синус через котангенс при указанных условиях. Подставляя arccos a вместо альфа в первую формулу, получаем формулу синуса арккосинуса; подставляя arctg a вместо альфа во вторую формулу, получаем формулу синуса арктангенса; подставляя arcctg a вместо альфа в третью формулу, получаем формулу синуса арктангенса.

Вот краткая запись вышеперечисленных выкладок:

  • так как , то ;
  • так как , то ;
  • так как , то .

По аналогии легко вывести формулы косинуса арксинуса, косинуса арктангенса и косинуса арккотангенса:

  • так как , то ;
  • так как , то ;
  • так как , то .

Теперь покажем вывод формул тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арккотангенса:

  • так как , то при ;
  • так как , то при ;
  • так как , то при .

Формулы котангенса арксинуса, котангенса арккосинуса и котангенса арктангенса легко получить из формул тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арктангенса, поменяв в них числитель и знаменатель, так как .

arcsin через arccos, arctg и arcctg; arccos через arcsin, arctg и arcctg и т.п.

Из формул связи тригонометрических и обратных тригонометрических функций, разобранных в предыдущем пункте, можно получить формулы, выражающие одну из аркфункций через другие аркфункции, например, выражающие арксинус одного числа, через арккосинус, арктангенс и арккотангенс другого числа. Перечислим их.

По этим формулам можно заменить арксинус на арккосинус, арктангенс и арккотангенс соответственно:

Вот формулы, выражающие арккосинус через арксинус, арктангенс и арккотангенс:

Формулы арктангенса через арксинус, арккосинус и арккотангенс имеют следующий вид:

Наконец, вот ряд формул с арккотангенсом:

Доказать все записанные формулы можно, отталкиваясь от определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа, а также формул из предыдущего пункта.

Для примера, докажем, что . Известно, что при указанных a представляет собой угол (число) от минус пи пополам до пи пополам. Более того, по формуле синуса арктангенса имеем . Следовательно, при −1 является арксинусом числа a по определению, то есть, .

По аналогии можно доказать и остальные формулы, представленные в данном пункте статьи.

В заключение этого пункта покажем пример использования полученных формул. Для примера вычислим с их помощью, чему равен синус арккотангенса минус корня из трех. Обратившись к формуле вида , выражающей арккотангенс через арксинус, при имеем .

В данном примере мы могли вычислить требуемое значение и непосредственно: . Очевидно, что мы получили тот же результат.

Понятно, что для вычисления требуемого значения мы могли поступить и иначе, воспользовавшись формулой, выражающей синус через котангенс вида . Тогда решение выглядело бы так: . А можно было и сразу применить формулу синуса арккотангенса вида : .

Читайте также:  Чем можно заменить маленькую отвертку крестовую

Некоторые другие формулы

Основные формулы тригонометрии и формулы синуса арксинуса, косинуса арккосинуса, тангенса арктангенса и котангенса арккотангенса позволяют вывести ряд формул с arcsin , arccos , arctg и arcctg , еще не упомянутых в данной статье. Но заметим, что они уже достаточно специфичны, и приходится их использовать далеко не часто. Более того, такие формулы удобнее каждый раз выводить, нежели запоминать.

Для примера возьмем формулу половинного угла . Если добавить условие, что величина угла альфа принадлежит отрезку от нуля до пи, то будет справедливо равенство . При указанном условии угол альфа можно заменить на арккосинус числа a , что нам даст формулу вида , откуда можно получить следующую формулу, выражающую арккосинус через арксинус: .

Используя другие тригонометрические формулы, можно обнаружить ряд других связей между arcsin , arccos , arctg и arcctg .

В заключение этого пункта хочется сказать, что практическую пользу представляют даже не столько сами эти специфические формулы, связывающие arcsin , arccos , arctg и arcctg , сколько умения выполнять преобразования, используемых при выводе этих формул. Продолжением темы служит раздел теории преобразование выражений с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом.

Формулы с обратными тригонометрическими функциями: arcsin, arccos, arctg и arcctg

Ранее мы рассматривали обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Как и в случае с другими функциями, между ними существуют связи и зависимости, реализуемые в виде формул, которые можно использовать для решения задач.

Сейчас мы будем рассматривать основные формулы с использованием этих функций: какие они бывают, на какие группы их можно разделить, как их доказать и как решать задачи с их помощью.

Формулы котангенса арккотангенса, тангенса арктангенса, синуса арксинуса и косинуса арккосинуса

Для начала сгруппируем формулы, в которых содержатся основные свойства обратных тригонометрических функций. Мы уже обсуждали и доказывали их ранее, а здесь приведем, чтобы логика объяснения была более понятной и все формулы были в одной статье.

д л я α ∈ – 1 , 1 sin ( a r c c i s α ) = α , cos ( a r c cos α ) = α , д л я α ∈ ( – ∞ , ∞ ) t g ( a r c t g α ) = α , c t g ( a r c c t g α ) = α

Указанное в них легко сформулировать из самих определений обратных тригонометрических функций числа. Если вы забыли, как найти, например, тангенс арктангенса, все можно посмотреть в этой формуле.

Формулы арккотангенса котангенса, арктангенса тангенса и арксинуса синуса и арккосинуса косинуса

д л я – π 2 ≤ α ≤ π 2 a r c sin ( sin α ) = α , д л я 0 ≤ α ≤ π arccos ( cos α ) = α , д л я – π 2 α π 2 arctg ( tg α ) = α , д л я 0 α π arcctg ( ctg α ) = α

Здесь все также более-менее очевидно, как и в предыдущем пункте: эти формулы можно вывести из определений арксинуса, арккосинуса и др. Единственное, на что нужно обратить пристальное внимание: они будут верны только в том случае, если a (число или угол) будут входить в указанный предел. В противном случае расчет по формуле будет ошибочен, и применять ее нельзя.

Как соотносятся между собой арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы противоположных чисел

В этом блоке мы сформулируем важное утверждение:

Обратные тригонометрические функции отрицательного числа можно выразить через арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположного ему положительного числа.

д л я α ∈ – 1 , 1 a r c c i s ( – α ) = – a r c sin α , a r c cos ( – α ) = π – a r c cos α , д л я α ∈ ( – ∞ , ∞ ) a r c t g ( – α ) = – a r c t g α , a r c c t g ( – α ) = π – arcctg α

Таким образом, если в расчетах нам встречаются эти функции для отрицательных чисел, мы можем от них избавиться, преобразовав их в аркфункции положительных чисел, с которыми иметь дело проще.

Формулы суммы: арксинус + арккосинус, арктангенс + арккотангенс

Они выглядят следующим образом:

д л я α ∈ – 1 , 1 a r c c i s α + a r c cos α = π 2 , д л я α ∈ ( – ∞ , ∞ ) a r c t g α + a r c c t g α = π 2

Из написанного видно, что арксинус некоторого числа можно вывести с помощью его арккосинуса, и наоборот. С арктангенсом и арккотангенсом аналогично – они соотносятся между собой аналогичным образом.

Формулы связи между прямыми и обратными тригонометрическими функциями

Знать связи между прямыми функциями и их аркфункциями очень важно для решения многих практических задач. Как же быть, если у нас есть необходимость вычислить, к примеру, тангенс арксинуса? Ниже приведен список основных формул для этого, которые полезно выписать себе.

– 1 ≤ α ≤ 1 , sin ( a r c sin α ) = α – 1 ≤ α ≤ 1 , sin ( a r c cos α ) = 1 – α 2 – ∞ ≤ α ≤ + ∞ , sin ( a r c t g α ) = α 1 + α 2 – ∞ ≤ α ≤ + ∞ , sin ( a r c c t g α ) = 1 1 + α 2
– 1 ≤ α ≤ 1 , cos ( a r c sin α ) = 1 – α 2 – 1 ≤ α ≤ 1 , cos ( a r c cos α ) = α – ∞ ≤ α ≤ + ∞ , cos ( a r c t g α ) = 1 1 + α 2 – ∞ ≤ α ≤ + ∞ , cos ( a r c c t g α ) = 1 1 + α 2
– 1 α 1 , t g ( a r c sin α ) = α 1 – α 2 α ∈ ( – 1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ) , t g ( a r c cos α ) = 1 – α 2 α – ∞ ≤ α ≤ + ∞ , t g ( a r c t g α ) = α α ≠ 0 , t g ( a r c c t g α ) = 1 α
α ∈ ( – 1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ) , c t g ( a r c sin α ) = 1 – α 2 α – 1 α 1 , c t g ( a r c cos α ) = α 1 – α 2 α ≠ 0 , c t g ( a r c t g α ) = 1 α – ∞ ≤ α ≤ + ∞ , c t g ( a r c c t g α ) = α

Теперь разберем примеры, как они применяются в задачах.

Вычислите косинус арктангенса из 5 .

Решение

У нас для этого есть подходящая формула следующего вида: cos ( a r c t g α ) = 1 1 + α 2

Подставляем нужное значение: cos ( a r c t g 5 ) = 1 1 + ( 5 ) 2 = 2 6

Вычислить синус арккосинуса 1 2 .

Решение

Для этого нам понадобится формула: sin ( a r c cos α ) = 1 – a 2

Подставляем в нее значения и получаем: sin ( a r c cos 1 2 ) = 1 – ( 1 2 ) 2 = 3 2

Обратите внимание, что непосредственные вычисления приводят к аналогичному ответу: sin ( a r c cos 1 2 ) = sin π 3 = 3 2

Если вы забыли, как правильно вычислять значения прямых и обратных функций, вы всегда можете вернуться к нашим предыдущим материалам, где мы разбирали это.

Доказательства формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса

Для того, чтобы наглядно вывести полученные формулы, нам понадобятся основные тригонометрические тождества и собственно формулы основных обратных функций – косинуса арккосинуса и др. Мы их уже выводили ранее, поэтому тратить время на их доказательства не будем. Начнем сразу с формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса. Используя тождество, получим:

sin 2 α + cos 2 α = 1 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α

Вспомним, что t g α · c t g α = 1 . Из этого можно получить:

sin α = 1 – cos 2 α , 0 ≤ α ≤ π sin α = t g α 1 + t g 2 α , – π 2 α π 2 sin α = 1 1 + c t g 2 α , 0 α π

У нас получилось, что мы выразили синус через необходимые аркфункции при заданном условии.

Теперь в первой формуле вместо a мы добавим arccos a. Итог – формула синуса арккосинуса.

Читайте также:  Что означают символы в смс сообщениях

Далее во вторую вместо a ставим arctg a. Это формула синуса арктангенса.

Аналогично с третьей – если мы добавим в нее arcctg a, будет формула синуса арктангенса.

Все наши расчеты можно сформулировать более емко:

  1. sin α = 1 – cos 2 α , 0 ≤ α ≤ π

Следовательно, sin ( a r c cos α ) = 1 – cos 2 ( a r c cos α ) = 1 – a 2

  1. sin α = t g α 1 + t g α , – π 2 α π 2 ,

Следовательно, sin ( a r c t g α ) = t g ( a r c t g α ) 1 + t g 2 ( a r c t g α ) = α 1 + α 2

  1. sin α = 1 1 + c t g 2 α , 0 α π

Следовательно, sin ( a r c t g α ) = 1 1 + t g 2 ( a r c t g α ) = 1 1 + α 2

Выводим формулы косинуса арксинуса, косинуса арктангенса и косинуса арккотангенса.

Их мы выведем по имеющемуся шаблону:

  1. Из cos α = 1 – sin 2 α , – π 2 ≤ α ≤ π 2 следует, что

cos ( a r c sin α ) = 1 – sin 2 ( a r c sin α ) = 1 – a 2

  1. Из cos α = 1 1 + t g 2 α , – π 2 α π 2 следует, что
  2. Из cos α = c t g α 1 + c t g 2 α , 0 α π cos ( a r c t g α ) = 1 1 + t g 2 ( a r c t g α ) = 1 1 + α 2

следует, что cos ( a r c t g α ) = c t g ( a r c c t g α ) 1 + c t g 2 ( a r c c t g α ) = α 1 + α 2

Доказательства формул тангенсов арксинуса, арккосинуса и арккотангенса

  1. Исходим из t g α = sin α 1 – sin 2 α , – π 2 α π 2 . Получаем t g ( a r c sin α ) = sin ( a r c sin α ) 1 – sin 2 ( a r c sin α ) = α 1 – α 2 при условии, что – 1 α 1 .
  2. Исходим из t g α = 1 – cos 2 α cos α , α ∈ [ 0 , π 2 ) ∪ ( π 2 , π ] , получаем

t g ( a r c cos α ) = 1 – cos 2 ( a r c cos α ) cos ( a r c c os α ) = 1 – α 2 α при условии α ∈ ( – 1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ) .

  1. Исходим из t g α = 1 c t g α , α ∈ ( 0 , π 2 ) ∪ ( π 2 , π ) , получаем t g ( a r c c t g α ) = 1 c t g ( a r c c t g α ) = 1 α при условии, что α ≠ 0 .

Теперь нам нужны формулы котангенсов арксинуса, арккосинуса и арктангенса. Вспомним одно из тригонометрических равенств:

c t g α = 1 t g α

Используя его, мы можем сами вывести необходимые формулы, используя формулы тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арктангенса. Для этого понадобится поменять в них местами числитель и знаменатель.

Как выразить арксинус через арккосинус, арктангенс и арккотангенс и так далее

Мы связали между собой прямые и обратные тригонометрические функции. Полученные формулы дадут нам возможность связать и одни обратные функции с другими, то есть выразить одни аркфункции через другие аркфункции. Разберем примеры.

Здесь мы можем заменить арксинус на арккосинус, арктангенс и арккотангенс соответственно, и получить искомую формулу:

a r c sin α = a r c cos 1 – α 2 , 0 ≤ α ≤ 1 – a r c cos 1 – a 2 , – 1 ≤ α 0 a r c sin α = a r c t g α 1 – α 2 , – 1 α 1 a r c sin α = a r c c t g 1 – α 2 α , 0 α ≤ 1 a r c c t g 1 – α 2 α – π , – 1 ≤ α ≤ 0

А так мы выразим арккосинус через остальные обратные функции:

a r c cos α = a r c sin 1 – α 2 , 0 ≤ α ≤ 1 π – arcsin 1 – α 2 , – 1 ≤ α 0 a r c cos α = a r c t g 1 – α 2 α , 0 α ≤ 1 π + arctg 1 – α 2 α , – 1 α 0 arccosα = arcctg α 1 – α 2 , – 1 α 1

Формула выражения арктангенса:

a r c t g α = a r c sin α 1 + α 2 , – ∞ α + ∞ a r c t g α = a r c cos 1 1 + α 2 , α ≥ 0 – a r c cos 1 1 + α 2 , α 0 a r c t g α = a r c c t g 1 α , α ≠ 0

Последняя часть – выражение арккотангенса через другие обратные функции:

a r c c t g α = a r c sin 1 1 + α 2 , α ≥ 0 π – a r c sin 1 1 + α 2 , α 0 a r c c t g α = a r c cos α 1 + α 2 , – ∞ α + ∞ a r c c t g α = a r c t g 1 α , α ≠ 0

Теперь попробуем доказать их, опираясь на основные определения обратных функций и ранее выведенных формул.

Возьмём a r c sin α = a r c t g α 1 – α 2 , – 1 α 1 и постараемся вывести доказательство.

Мы знаем, что a r c t g α 1 – α 2 – это число, величина которого составляет от минус половины пи до плюс половины пи. Из формулы синуса арктангенса получим:

sin ( a r c t g α 1 – α 2 ) = α 1 – α 2 1 + ( α 1 – α 2 ) 2 = α 1 – α 2 1 + α 2 1 – α 2 = α 1 – α 2 1 + α 2 1 – α 2 = α 1 – α 2 1 1 – α 2 = α

Получается, что a r c t g α 1 – α 2 при условии 1 a 1 – это и есть арксинус числа a .

Вывод: a r c sin a = a r c t g a 1 – a 2 , – 1 a 1

Прочие формулы доказываются по аналогии.

В завершение разберем один пример применения формул на практике.

Условие Вычислить синус арккотангенса минус корня из 3 .

Решение

Нам понадобится формула выражения арккотангенса через арксинус: a r c c t g α = a r c sin 1 1 + a 2 , α ≥ 0 π – arcsin 1 1 + a 2 , α 0
Подставим в нее α = – 3 и получим ответ – 1 2 . Непосредственное вычисление дало бы нам те же результаты: sin ( a r c c t g ( – 3 ) ) = sin 5 π 6 = 1 2 Для решения задачи можно взять и другую формулу, выражающую синус через котангенс: sin α = 1 1 + c t g 2 α , 0 α π

В итоге у нас бы вышло: sin ( a r c c t g ( – 3 ) ) = 1 1 + c t g 2 ( a r c c t g ( – 3 ) ) = 1 1 + ( – 3 ) 2 = 1 2

Или возьмем формулу синуса арккотангенса и получим тот же ответ: sin ( a r c c t g α ) = 1 1 + α 2 sin ( a r c c t g ( – 3 ) ) = 1 1 + ( – 3 ) 2 = 1 2

Прочие формулы с обратными функциями

Мы рассмотрели самые основные формулы, которые понадобятся вам при решении задач. Однако это не все формулы с аркфункциями: есть и ряд других, специфичных, которые употребляются нечасто, но все же их знание может быть полезно. Запоминать их особого смысла нет: проще вывести их тогда, когда они нужны.

Разберем одну из них, называемую формулой половинного угла. Она выглядит следующим образом:

sin 2 α 2 = 1 – cos α 2

Если угол альфа при этом больше нуля, но меньше числа пи, то у нас выходит:

sin α 2 = 1 – cos α 2

Учитывая данное условие, заменяем упомянутый угол на arccos. В итоге наша предварительная формула выглядит так:

sin a r c cos α 2 = 1 – cos ( a r c cos α ) 2 ⇔ sin a r c cos α 2 = 1 – α 2

Отсюда мы выводим итоговую формулу, в которой арксинус выведен через арккосинус:

a r c cos α 2 = a r c sin 1 – α 2

Мы перечислили не все связи, которые имеются между обратными тригонометрическими функциями, а лишь наиболее употребляемые из них. Важно подчеркнуть, что ценность имеют не столько сами сложные формулы, что мы привели в статье: заучивать их наизусть не нужно. Гораздо важнее уметь самому делать нужные преобразования, и тогда сложные вычисления не потребуется хранить в голове.

В продолжение темы в следующей статье мы рассмотрим преобразование выражений с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом.

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс – обратные тригонометрические функции. Они обладают рядом свойств, которые мы рассмотрим в этой статье. Помимо словесных и математических формулировок основных свойств арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, будут приведены доказательства этих свойств.

Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса

Это свойство используется чаще всего, поэтому логичнее всего начать рассмотрение всех основных свойств именно с него. Рассмотрим, чему равны синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа.

Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа

  • sin a r c sin a = a , a ∈ 1 ; – 1 ;
  • cos a r c cos a = a , a ∈ 1 ; – 1 ;
  • t g ( a r c t g a ) = a , a ∈ – ∞ ; + ∞ ;
  • c t g ( a r c c t g a ) = a , a ∈ – ∞ ; + ∞ .

Данное свойство следует напрямую из определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Рассмотрим доказательство на примере арксинуса. Согласно определению, арксинус числа – это такой угол или число, синус которого равен числу a . При этом число a лежит в пределах от – 1 до + 1 включительно. В виде формулы определение запишется так:

Читайте также:  Ховог пружинный матрас отзывы

sin ( a r c sin a ) = a

Доказательство для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса строится аналогично, на базе определений этих функций. Вот несколько примеров использования данного свойства.

Пример 1. Свойства обратных тригонометрических функций

sin ( a r c sin ( 0 , 3 ) = 0 , 3 cos a r c cos – 3 2 = – 3 2 t g ( a r c t g ( 8 ) ) = 8 c t g ( a r c c t g ( 15 8 9 ) ) = 15 8 9

Важно отметить, что для обратных функций синуса и косинуса имеет место ограничение для значений числа a . Так, при a , лежащем вне пределов отрезка – 1 , 1 , арксинус и арккосинус не определены и записи a r c sin a и a r c cos a попросту не имеют смысла. Это связано с тем, что область значений синуса и косинуса – от минус единицы до плюс единицы. Например, нельзя записать cos ( a r c cos ( 9 ) ) , так как 9 больше 1 и данное выражение не имеет смысла. Делать подобные записи – ошибочно!

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположных чисел

Существует связь между арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами противоположных чисел. Запишем соотношения, выражающие ее.

arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел

  • a r c sin – a = – a r c sin a , a ∈ – 1 , 1 ;
  • a r c cos – a = π – a r c cos a , a ∈ – 1 , 1 ;
  • a r c t g – a = – a r c t g a , a ∈ – ∞ , + ∞ ;
  • a r c c t g – a = π – a r c c t g a , a ∈ – ∞ , + ∞ .

Докажем записанное. Начнем, как всегда, с доказательства для арксинусов. При – 1 ≤ a ≤ 1 имеет место равенство a r c sin – a = – a r c sin a . Согласно дефиниции, a r c sin ( – a ) – это угол (число) в пределах от – π 2 до π 2 , синус которого равен – a . Для доказательства справедливости первого равенства необходимо доказать, что – a r c sin a лежит в тех же пределах от – π 2 до π 2 , что и a r c sin ( – a ) . Также необходимо обосновать, что sin ( – a r c sin a ) = – a .

Для арксинуса, по определению, справедливо двойное неравенство – π 2 ≤ a r c sin a ≤ π 2 . Умножим каждую часть неравенства на – 1 и получим эквивалентное неравенство π 2 ≥ – a r c sin a ≥ – π 2 . Переписав его, получим – π 2 ≤ – a r c sin a ≤ π 2 .

Переходим ко второй части доказательства. Теперь осталось показать, что sin ( – a r c sin a ) = – a . Для этого воспользуемся свойством синусов противоположных углов и запишем: sin – a r c sin a = – sin a r c sin a . С учетом свойства арксинуса, рассмотренного в предыдущем пункте, закончим доказательство.

sin – a r c sin a = – sin a r c sin a = – a

Доказательство свойства арксинусов противоположных чисел завершено.

Теперь рассмотрим доказательство свойства арккосинусов противоположных чисел.

Для того, чтобы доказать, что a r c cos – a = π – a r c cos a при a ∈ – 1 , 1 необходимо во-первых показать, что число undefined.

Для арккосинуса, по определению, справедливо двойное неравенство 0 ≤ a r c cos a ≤ π . Умножив каждую часть неравенства на – 1 и поменяв знаки, получим эквивалентное неравенство 0 ≥ – a r c cos a ≥ – π . Перепишем его в другом виде. По свойствам неравенств, можно добавить к каждой части слагаемое, не меняя знаков. Добавим в каждую часть неравенства слагаемое π . Получим π ≥ π – a r c cos a ≥ 0 , или 0 ≤ π – a r c cos a ≤ π .

Теперь покажем, что cos π – arccos a = – a . Для этого воспользуемся формулами приведения, согласно которым можно записать cos π – arccos a = – cos ( a r c cos a ) . Обратившись к свойству арккосинуса, разобранному ранее (см. 1 пункт), заканчиваем доказательство.

cos π – arccos a = – cos ( a r c cos a ) = – a .

Доказательства для арктангенса и арккотангенса проводится по аналогичному принципу.

Основная польза данного свойства – возможность избавиться от операций с отрицательными числами при работе с арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами. Например, справедливы записи:

a r c sin – 1 2 = – a r c sin 1 2 a r c cos – 5 5 7 = π – arccos 5 5 7 arctg – 1 = – arctg 1 arcctg ( – 3 ) = π – arcctg 3

Сумма арксинуса и арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Данное свойство устанавливает связь соответственно между арксинусом и арккосинусам, арктангенсом и арккотангенсом. Запишем формулы для арксинуса и арккосинуса.

Сумма arcsin и arccos

a r c sin a + a r c cos a = π 2 , a ∈ – 1 , 1

Соответственно, для арктангенса и арккотангенса

Сумма arctg и arcctg

a r c t g a + a r c c t g a = π 2 , a ∈ – ∞ , + ∞

Приведем доказательство для арксинуса и арккосинуса. Формулу для суммы arcsin и arccos можно переписать в виде a r c sin a = π 2 – a r c cos a . Теперь обратимся к определению, согласно которому арксинус – это число (угол), лежащее в пределах от – π 2 до π 2 , синус которого равен a .

Запишем неравенство, вытекающее из определения арккосинуса: 0 ≤ a r c cos a ≤ π . Умножим все его части на – 1 , а затем прибавим к каждой части π 2 . Получим:

0 ≤ a r c cos a ≤ π 0 ≥ – arccos a ≥ – π π 2 ≥ π 2 – arccos a ≥ – π 2 – π 2 ≤ π 2 – arccos a ≤ π 2

Завершая доказательство, покажем, что sin π 2 – a r c cos a = a . Для этого используем формулу приведения и свойство косинуса от арккосинуса.

sin π 2 – a r c cos a = cos a r c cos a = a

Таким образом, доказано, что сумма арксинуса и арккосинуса равна π 2 . По такому же принципу проводится доказательство для суммы арктангенса и арккотангенса.

Пользуясь разобранными свойствами, можно выряжать арксинус через арккосинус, арккосинус через арксинус, арктангенс через арккотангенс и наоборот.

Пример 2. Сумма арксинуса и арккосинуса

Известно, что a r c sin 6 – 2 2 = π 12 . Найдем арккосинус этого числа.

a r c sin 6 – 2 2 + a r c cos 6 – 2 2 = π 2 a r c cos 6 – 2 2 = π 2 – a r c sin 6 – 2 2 a r c cos 6 – 2 2 = π 2 – π 12 = 5 π 12

Арксинус синуса, арккосинус косинуса, арктангенс тангенса и арккотангенс котангенса

Запишем соотношения, иллюстрирующие свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.

Свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса

  • a r c sin ( sin α ) = α , – π 2 ≤ α ≤ π 2 ;
  • a r c cos ( cos α ) = α , 0 ≤ α ≤ π ;
  • a r c t g ( t g α ) = α , – π 2 ≤ α ≤ π 2 ;
  • a r c c t g ( c t g α ) = α , 0 ≤ α ≤ π .

Данные равенства и неравенства являются прямым следствием определений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Покажем это, доказав, что a r c sin ( sin α ) = α при – π 2 ≤ α ≤ π 2 .

Обозначим sin α через a . a – число, лежащее в интервале от – 1 до + 1 . Тогда равенство a r c sin ( sin α ) = α можно переписать в виде a r c sin a = α . Данное равенство, при заданных условиях, аналогично определению синуса. Таким образом, мы доказали, что a r c sin ( sin α ) = α при – π 2 ≤ α ≤ π 2 .

Выражение a r c sin ( sin α ) имеет смысл не только при α , лежащем в пределах от – π 2 до π 2 . Однако, равенство a r c sin ( sin α ) = α выполняется только при соблюдении условия – π 2 ≤ α ≤ π 2 .

Аналогично, соблюдение условий обязательно для арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.

К примеру, запись a r c sin ( sin 8 π 3 ) = 8 π 3 будет ошибочной, так как число 8 π 3 не удовлетворяет условиям неравенства.

Описанные в этой статье свойства позволяют получить ряд полезных формул, определяющих связи между основными и обратными тригонометрическими функциями. Соотношениям, связывающим sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg и arcctg будет посвящена отдельная статья.

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock
detector