Чему равна вероятность невозможного события

Невозмо́жным собы́тием в теории вероятностей называется событие, которое не может произойти в результате эксперимента. То есть событие, не содержащее ни одного элементарного исхода (что соответствует «пустому множеству» Ø в пространстве элементарных исходов) [1] .

Легко доказать, что вероятность невозможного события равна нулю. Важно заметить, что обратное неверно, то есть из нулевого значения вероятности не следует, что данное событие является невозможным.

Пример 1. Событие, состоящее в том, что нормальнораспределённая случайная величина примет некоторое конкретное значение. Для любой непрерывной случайной величины верно утверждение: вероятность того, что случайная величина примет определённое, наперёд заданное значение равна нулю ( P < ξ = x 0 >= 0 <displaystyle P<xi =x_<0>>=0> ).

Пример 2. Эксперимент состоит в том, что монета подбрасывается бесконечное число раз. Событие «Монета бесконечное число раз упадёт цифрой вверх» имеет нулевую вероятность, но оно может произойти.

При применении вероятностных методов так же вводят определение практически невозможного события.

Практически невозможным событием называют событие, вероятность которого не выше определённой наперёд заданной величины.

Событие, противоположное невозможному, называется достоверным событием.

Вероятность случайного события заключена

Вероятность невозможного события равна 0;

Вероятность достоверного события равна 1;

Формула полной вероятности и формула Байеса

ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

ЛЕКЦИЯ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ

1.1. Понятие случайного события.

Вероятность случайного события.

1.2. Алгебра событий.

1.3. Зависимые и независимые события.

Условные и безусловные вероятности.

1.4. Основные формулы теории вероятностей.

1.6. Частная теорема о повторении опытов.

1.1. Понятие случайного события.

Вероятность случайного события.

Как и во всякой науке, развивающей теорию какого-либо круга явлений, в теории вероятностей содержится ряд основных понятий, на которых она базируется. В качестве первого понятия введем термин «случайное событие».

Под случайным событием в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Со6ытия будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита. Например, событие А- извлечение из ящика единственной дефектной детали среди 100 годных деталей. Событие В – появление герба при бросании монеты. Событие, которое в результате опыта обязательно произойдет– достоверноесобытие. Событие, которое в результате опыта наверняка не произойдет невозможноесобытие. Случайные события могут быть равновозможным и несовместными. Равновозможные события-события с одинаковыми возможностями. Несовместные события– события взаимоисключающие друг друга. Пример равновозможного события – появление герба или цифры. Несовместные события – появление герба исключает появление цифры и наоборот.Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно произойдет одно из них.

Основной теоретической числовой характеристикой случайного события является вероятность его появления. Согласно классическому определению вероятностью случайного события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу равновозможных и несовместных исходов.

(Благоприятными исходами называются такие, при которых событие А обязательно произойдет). Математически данное определение можно записать так:

Р(А)= m/n,

где P(А)– классическая вероятность рассматриваемого события А, m – число исходов, благоприятствующих событию

n- общее число равновозможных и несовместимых исходов.

Из определения легко можно вывести основные свойства вероятности:

Основы классической теории вероятностей были заложены в середине XYII века в переписке между учеными Блезом Паскалем и Пьером Ферма.. Они рассмотрели решение ряда задач, связанных с азартными играми, которые предложил кавалер де Мэре. Вот один из парадоксов, который поставил де Мэре перед Паскалем. Какова вероятность получения в сумме 11 и 12 очков при бросании 3-х игральных костей? Рассуждение де Мэре было примерно следующим: 11 очков можно получить 6-ю различными способами: 641-632-551-542-533-443. 12 очков также можно получить 6-ю способами 651-642-633-552-543-444.Тем не менее, де Мэре заметил, что тот, кто ставил на 11 очков, выигрывал чаще, чем на 12. Паскаль довольно быстро нашел ошибку в рассуждениях де Мэре. Ошибка в том, что исходы, которые рассматривал де Мэре, не являются равновозможными. Например, комбинация 641 может быть получена

6-ю способами, а 444 – одним. Если говорить современным языком, де Мэре неправильно определил поле событий. Нетрудно подсчитать, что при бросании трех игральных костей возможны 216 (666) несовместных равновозможных исходов. Появление события А (11 очков) имеет 27 исходов. Появление события В (12 очков)- 25 исходов. Р(А)=27/216 > P(B) = =25/216.

Пользуясь классическим определением понятия вероятности, можно вычислить вероятность какого-либо случайного события теоретически, не прибегая к опыту. Однако это не всегда выполнимо, ибо на практике не всегда можно соблюдать такое условие, как равновозможность, лежащее в основе классического определения. По этой причине наравне с классическим определением пользуются также статистическим определением вероятности. При изучении массовых явлений какое-либо случайное событие может появиться несколько раз в процессе испытаний. Например, пусть при N испытаниях событие A появилось f раз. Число f носит название частоты появления события.

Читайте также:  Улучшитель звука для windows

Отношение частоты f события A к общему числу испытаний Nносит название частости события A или относительной частоты, которую будем обозначать через W(A)= f/N. Например, на станке обработано 100 деталей. При измерении деталей оказалось, что 85 из них имеют размеры в пределах допуска, а 15 – вышли за пределы допуска. Следовательно, частость события А, заключающегося в появлении годных деталей при 100 испытаниях, составляет W(A)= 85/100. Частость события B, заключающегося в появлении брака, W(B)= 15/100. Если случайное событие имеет устойчивую частость в серии массовых испытаний, т.е. в каждой серии испытаний частость этого события изменяется незначительно и колеблется вблизи некоторого положительного числа, то это число и принимается за вероятность данного события. Вычисленную таким способом вероятность называют статистической. Примером статистической вероятности в демографии может явиться число 0,514 – это вероятность рождения мальчиков. Или число 0,013 – вероятность того, что 10 летний ребенок доживет до 90 лет. Вернемся к классическому определению вероятности. Это определение позволяет нам заранее вычислить вероятность какого-либо события, не прибегая к опыту. Разберем ряд примеров.

Пример 1. В урне находится 2 белых и 3 черных шара. Из урны наугад вынимается один шар. Требуется найти вероятность того, что шар белый.

Решение. Событие А- взять белый шар. Общее число случаев (n)=5, благоприятно(m)=2.Следовательно, Р(А)=2/5

Пример 2. Из партии изготовленных деталей, среди которых 20 годных и 5 бракованных, для контроля наудачу взято 8 штук. При контроле оказалось, что первые 3 оказались годными. Определить вероятность того, что следующая деталь будет годная.

Решение. n= 22 (25-3),m= 17 (20-3). Р(А)= 17/22.

Пример 3. В партии из N деталей M бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу n деталей m- бракованные.

Решение. Число возможных способов взять из N деталей n:

Благоприятствующими являются случаи, когда из общего числа M бракованных деталей взято m деталей. (Это можно сделать способами), а остальные n-m взяты из N-M деталей ( количество способов ) . Поэтому число благоприятствующих случаев

1.2. Алгебра событий.

Во многих областях точных наук применяются символические операции над различными объектами, которые получают свои названия по аналогии с арифметическими действиями, рядом свойств которых они обладают. Таковы, например, операции сложения и умножения векторов в механике, операции сложения матриц в алгебре и т.д. Эти операции, подчиненные известным правилам, позволяют не только упростить форму записей, но и в ряде случаев существенно облегчают логическое построение научных выводов. Введение таких символических операций над событиями оказывается плодотворным и в теории вероятностей.

Познакомимся с такими понятиями как сумма событий и произведение событий.

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении события А или события В или обоих вместе.

С= А+В

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

С=А+В+D+…

Произведением двух событий A и В называется событие С, состоящее в совместном выполнении и события А и события В. С= АВ.

Произведением нескольких событий называется событие,

состоящее в совместном появлении всех этих событий.

В= СDEF…

В алгебре событий рассматривается еще одно понятие – противоположные события. Два единственно возможных и несовместных события называются противоположными. Обозначаются противоположные события- и .

Действия над событиями становятся более наглядными, если придать им геометрическую интерпретацию. Изображать события в виде диаграмм предложил математик Вьенн, именем которого они и названы. Все возможные элементарные исходы представим в виде совокупности точек некоторого квадрата. Обе совокупности А и В изобразим в виде кругов, причем если события несовместные, круги не имеют общих точек, а если события совместные, то круги будут пересекаться.

Геометрически сумму событий А и В будет выражать область, включающая в себя все точки, принадлежащие или кругу А, или кругу В, или одновременно и А, и В. Аналогичным образом интерпретируется и произведение двух событий А и В – это область, включающая в себя точки, принадлежащие одновременно и кругу А, и кругу В.

1.3. Зависимые и независимые события.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10236 – | 7597 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Достоверное событие — в теории вероятности называется событие , которое в результате опыта или наблюдения непременно должно произойти.

Для достоверного события

Т.е. вероятность события равна единице.

Но, не всякое событие, вероятность которого равна 1, является достоверным

Невозмо́жным собы́тием в теории вероятности называется событие , которое в результате опытапроизойти не может.

Читайте также:  Соковыжималки для чего нужен режим реверс

Очевидно, что вероятность невозможного события равна нулю.

Однако, не всякое событие, вероятность которого равна нулю, является невозможным событием. Пример: событие, состоящее в том, что нормальнораспределенная случайная величина примет некоторое конкретное значение. Для любой непрерывной случайной величины верно утверждение: вероятность того, что случайная величина примет определенное, наперед заданое значение равна нулю. Другой пример события с нулевой вероятностью: эксперимент состоит в том, что монета подбрасывается бесконечное число раз. Событие "Монета бесконечное число раз упадет цифрой вверх" имеет нулевую вероятность, но оно может произойти.

Если оговорена некоторая допустимая погрешность (например, 10^(-50) ), то событие, вероятность которого не больше значения этой погрешности, называют практически невозможным.

Случа́йное собы́тие — подмножество множества исходов случайного эксперимента; при многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.

2) Пространство элементарных событий

Пространство элементарных событий — множество всех взаимно или попарно исключающих друг друга исходов случайного эксперимента, которые вместе образуют полную группу событий.

Элемент этого множества называется элементарным событием или исходом. Пространство элементарных событий называется дискретным, если число его элементов конечно или счётно. Любое пространство элементарных событий не являющееся дискретным, называется недискретным, и при этом, если наблюдаемыми результатами (нельзя произносить случайными событиями) являются точки того или иного числового арифметического или координатного пространства, то пространство называетсянепрерывным (континуум). Пространство элементарных событий вместе с алгеброй событий ивероятностью образует тройку , которая называется вероятностным пространством.

3)События.Операции над событиями

Событие-любой набор элементарных исходов или, иными словами, произвольное подмножиство пространства элементарных исходов, называют событием.

Операции над событиями.1)Пересечением(произведением) двух событий А и В называют событие С тогда, когда одновременно происходят оба события А и В. С=АВ 2)События А и В называются несовместными или, непересикающимися если их пересечения являются невозможным событием т.е. АΩВ=ø 3) Обьединением, суммой двух событий А и В называют событие С происходящее только тогда когда происходят хотябы одно из событий А или Вт.е. событие С, состоящее из тех элементарных исходов которые принадлежат хотя бы одному из подмножеств А или В. С=АUВ 4) Разностью 2х событий А и В называют событие С происходящее тогда и только тогда когда происходит событие А но не происходит событие В т.е. событие С состоящее из тех элементарных исходов, которое принадлежит А но не пренадлежит В. С=АВ 5)Дополнением события А(А) Называт событие происходящее тогда когда не происходит событие А. Событие А называют противоположным событию А. А=ΩА.

Суммой событий А и В называется событие С = А + В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В. Пример 1. Испытание: стрельба двух стрелков (каждый делает по одному выстрелу). Событие А — попадает в мишень первый стрелок, событие В — попадает в мишень второй стрелок. Суммой событий А и В является событие С = А + В — попадает в мишень по крайней мере один стрелок. Аналогично, суммой конечного числа событий называется событие , состоящее в наступлении хотя бы одного из событий .

Из определения суммы событий непосредственно следует, что

А + В = В + А. Справедливо также и сочетательное свойство. Однако

А + А = А (а не 2А, как в алгебре). Произведением событий А и В называется событие С = А В, состоящее в том, что в результате испытания произошли и событие А, и событие В. Аналогично, произведением конечного числа событий называется событие , состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события. В Примере 1 произведением событий А и В является событие С = А В, состоящее в попадании в мишень двумя стрелками.

Из определения произведения событий непосредственно следует, что

5) Аксиометрическое опред.вероятностей свойства вероятности.

Вероятностью называется числовая функция, определенная на поле событий S и обладающая следующими свойствами: Аксиома 1. Для любого события A прин. S Р(А)>=0. Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице Р (омега)=1. Аксиома 3. Вероятность объединения двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: А прин. S, В прин. S, А*В=0, Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Док-во: Событие А является подмножеством омега, так как А=,то, согласно конечной схеме, Р(А)=сумме по l от 1 до m рil, 0 =0, т.е. условие аксиомы 1 выполняется. Условие аксиомы 2 выполняется, поскольку омега=и на основании того, что Р(А)=сумме по l от 1 до m рil, то Р(омега)=сумма по i от 1 до n pi=1. Условие аксиомы 3 также выполняется, так как оно представляет собой содержание теоремы сложения для конечной схемы. Итак, конечная схема является примером объекта, для которого выполняется система аксиом теории вероятностей. Основные свойства вероятности. Пусть задано пространство элементарных событий Е , а вероятности Р определены на событиях из Е . Тогда:

6) Теорема сложения произвольных событий. Вероятность суммы двух произвольных событий равна разности суммы и произведения вероятностей этих событий:

Читайте также:  Температура испарения ртути по цельсию

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).

Следствие. Вероятность суммы произвольных событий никогда не превосходит суммы вероятностей этих событий:

7)Элементы комбинаторики:правило суммы произведения и размещения

Правило суммы. Если некоторый объект можно выбрать способами, а другой объект можно выбрать способами, то выбор "либо , либо " можно осуществить способами.

Правило произведения. Если объект можно выбрать способами, а после каждого такого выбора другой объект можно выбрать (независимо от выбора объекта способами, то пары объектов и можно выбрать способами.

Размещениями из элементов по называются такие выборки, которые, имея по элементов, выбранных из числа данных элементов, отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Число размещений из элементов по обозначим Используя основное правило комбинаторики, получаем

Если , то – число таких размещений, которые отличаются только порядком расположения элементов. Такие размещения называются перестановками. Их число находится по формуле

Выборки из элементов, взятых из данных , отличающихся только составом элементов, называются сочетаниями из элементов по . Число таких сочетаний находится

вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (классическое определение вероятности). Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Итак, вероятность события А определяется формулой:

(1)

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А; n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

10) геометрические вероятности — вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.) Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества Ω точек на прямой или плоскости — это отношение площади фигуры A к площади всего множества Ω:

11) Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события А определяется формулой

где m – число появлений события, n – общее число испытаний.

если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах, относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Статистическая вероятность. При статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.

где m – число испытаний, в которых событие A наступило, n – общее число произведённых испытаний.

12) Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло

Теорема умножения. Вероятность совмещения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие осуществилось, т. е.

Доказательство. Докажем справедливость соотношения (4), опираясь на классическое определение вероятности. Пусть возможные исходы Е1, Е2, . ЕN данного опыта образуют полную группу равновероятных попарно несовместных событий, из которых событию A благоприятствуют M исходов, и пусть из этих M исходов L исходов благоприятствуют событию B. Очевидно, что совмещению событий A и B благоприятствуют L из N возможных результатов испытания. Это дает

; ;

13)Независимые события.События в совокупн. Попарная независимость

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события А, В, С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С.

Несколько событий называют независимыми в совокупности (или простонезависимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, если события A1, A2, А3, независимы в совокупности, то независимы события A1 и А2, А1 и А3, А2 и A3; А1 и A2A3, A2 и A1A3, А3 и A1A2.

14) Вероятность появления хотя бы одного из событий А1 , А2 , . Аn , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Ч а с т н ы й с л у ч а й. Если события А1 , А2 , . Аn имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях)

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock detector