Числа мерсенна исследовательская работа

Цель: исследование совершенных чисел.

Задачи: Выяснить, что такое совершенные числа; н аучиться находить совершенные числа;

познакомиться с историей открытия совершенных чисел;

изучить свойства совершенных чисел.

Актуальность : До сих пор люди ищут и не могут пока найти ответы на многие вопросы, связанные с совершенными числами. И в наши дни люди ищут эти числа.

Гипотеза: совершенные числа — одна из интересных и до конца не изученных страниц истории математики.

Скачать:

Вложение Размер
sovershennye_chisla.doc 458.5 КБ
sovershennye_chisla.ppt 1.33 МБ

Предварительный просмотр:

Дистанционный конкурс творческих и исследовательских работ младщих школьников «Страна чудес — страна исследований»

Полное наименование работы

В чем красота совершенных чисел

В царстве точных наук

Фамилия имя,отчество автора

Храмова Дарья Александровна

Территория, населенный пункт

д. Тинская Саянского района Красноярского края

Наименование образовательного учреждения

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение Тинская основная общеобразовательная школа

Место выполнения работы

Руководитель (ФИО, должность

Рулькевич Галина Ивановна, МКОУ Тинская ООШ, учитель

E-mail, контактный телефон

Цель: исследование совершенных чисел.

Задачи: Выяснить, что такое совершенные числа; Научиться находить совершенные числа;

Познакомиться с историей открытия совершенных чисел;

Изучить свойства совершенных чисел.

Актуальность : До сих пор люди ищут и не могут пока найти ответы на многие вопросы, связанные с совершенными числами. И в наши дни люди ищут эти числа.

Гипотеза: совершенные числа — одна из интересных и до конца не изученных страниц истории математики.

Мой любимый школьный предмет – математика. Мне интересно решать задачи, я с большим удовольствием участвую в различных олимпиадах по этому предмету. Но когда мы изучали тему «наибольший общий делитель», мне показалось, что это скучноватое и однообразное занятие – работать все время по одному и тому же алглритму. Но когда я сказала об этом нашему учителю матаматики, она ответила, что делители – это одно из самых интересных и даже загадочных понятий в математике, нужно лишь почитать кое-что за границами учебника. Я решила последовать ее совету и очень скоро убедилась в том, что это действительно так. Я узнала очень много нового и интересного, открыла для себя загадочный мир совершенных чисел, решила много интересных задач. И эта тема перестала быть для меня скучной, так как за сухими цифрами и числами я увидела гармонию, красоту и совершенство. Так родилась моя исследовательская работа.

ГЛАВА I. ЧТО ТАКОЕ СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА

С древних времен люди, изучая натуральные числа, придавали некоторым из них особые, порой магические свойства. Кроме этого, античные математики считали важным вместе с каждым числом рассматривать все его делители, отличные от самого этого числа. Такие делители называют собственными. При этом если сумма всех собственных делителей оказывалась меньше числа, его назвали недостаточным, а если больше, то избыточным. Так, для числа 10 сумма делителей 1 + 2 + 5 = 8 12, значит, 12 – «избыточное» число. А у числа 6 сумма собственных делителей равна самому числу: 1 + 2 + 3 = 6. Такие числа древние ученые особенно ценили и назвали их совершенными.

ГЛАВА II. ПОИСК СОВЕРШЕННЫХ ЧИСЕЛ

В поиске совершенных чисел я сначала решила пойти по пути античных математиков и проверила первые 100 натуральных чисел. Вот что у меня получилось (рис.1):

Из таблицы видно:

1.Больше всего среди них недостаточных чисел.
2.Среди первых 100 чисел совершенными оказались только числа 6 и 28.

Очень долгое время были известны только эти два числа, и никто не знал, существуют ли еще совершенные числа и сколько их вообще может быть. И только спустя несколько столетий Евклид доказал, что всякое число, которое может быть представлено в виде выражения 2 p–1 * (2 p – 1), где (2 p – 1) – простое число, является совершенным числом, – эта теорема теперь носит его имя.

Попробуем,​ воспользовавшись этой формулой, повторить путь первооткрывателей совершенных чисел (табл 1).

В исследовательской работе "Особенные числа и их свойства" рассматриваются различные виды простых чисел, обладающих особенными свойствами.

Просмотр содержимого документа
«Исследовательская работа "Особенные числа и их свойства"»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Лицей №1»

Исследовательская работа по теме

«Особенные числа и их свойства»

Выполнил: Попоа Егор ученик 6В класса

Руководитель: учитель математики

Казьменко Елена Александровна

Введение Предметом моего исследования являются особенные числа и их свойства. Цель данной работы: изучение истории простых чисел и исследование некоторых свойств и видов простых чисел. Основными методами исследования видов простых чисел являются сбор, изучение, анализ, обобщение исследовательского и теоретического материала, систематизация данных, обработка литературных источников. Задачи исследования: 1. Собрать и изучить материал по этой теме. 2. Рассмотреть этапы исследования простых чисел. 3. Изучить метод «Решето Эратосфена» для нахождения простых чисел. 4. Выделить интересные виды простых чисел: числа – близнецы, числа Мерсенна и др. 5. Установить целый ряд свойств, законов и закономерностей этих чисел.

Простые числа с давних времен привлекают внимание математиков. Они числа следуют одно за другим по закону, который еще не найден. Но простые числа в математике играют важную роль. Из них с помощью умножения получаются все остальные числа. Хорошо было бы, если все простые числа можно было сосчитать! Но эта проблема до сих пор остается нерешенной. Как сказал Евклид: самого большого простого числа не существует.

Впервые о простых числах я узнал в 6 классе на уроке математики, когда мы изучали тему «Простые и составные числа». Меня заинтересовало понятие «простые числа», и я решил изучить их более подробно.

Актуальность выбора темы

Простые числа образуют одно из наиболее интересных подмножеств множества натуральных чисел. Они обладают необычной историей, удивительными свойствами.

Множество простых чисел является бесконечным. Среди простых чисел встречается ряд особенных чисел.

1. История возникновения простых чисел.

Сложно, на самом деле сказать, когда люди впервые задумались о простых числах, некоторые ученые предполагают, что это произошло более двадцати тысяч лет назад. На папирусах древних египтян также были найдены ряды простых чисел. Древние греки тоже внесли свой большой вклад в историю возникновения простых чисел. Эрастофен придумал способ нахождения простых чисел, этот метод назвали «Решето Эрастофена». Евклид нашел и доказал различные свойства простых чисел, которые сейчас мы воспринимаем как само собой разумеющееся. Когда римляне завоевали Грецию, они сохранили все их математические исследования и перевели их на латинский язык. Арабские математики, изучив исследования греков, также внесли свой вклад в историю возникновения простых чисел.

Ко времени появления работы Евклида «Начала» в 300 в. до н.э. , уже было доказано несколько важных фактов касательно простых чисел. В своей книге Эвклид доказал, что простых чисел бесконечное количество. Это, кстати, один из первых примеров использования доказательства от противного.

Читайте также:  Фокус затемнения что это

Мы помним определение простого числа: Простым называется число, которое делится только само на себя и на единицу.

Евклид определял простые числа так: “Простое число есть измеряемое только единицей”. Иными словами, простые числа не имеют других делителей, кроме единицы и самого себя. Если p – простое число, то его можно представить в виде произведения двух натуральных чисел только следующим образом: p = p*1. Числа, не являющиеся простыми, называются составными. Понятно, что всякое составное число имеет не меньше двух делителей отличных от 1.

Таким образом, простые числа – это как бы “материалы” для строительства всех натуральных чисел.

2. Решето Эратосфена.

В 3 в. до н.э. греческий ученый Эратосфен Киренский, хранитель знаменитой Александрийской библиотеки, создал довольно легкий способ поиска простых чисел. Для этого он записывал нужное количество цифр по порядку, а потом начинал вычеркивать – сначала все числа, которые можно делить на два, потом – на три. В результате получался список цифр, которые ни на что не делятся, кроме единицы и себя самого. Этот метод был назван «решето Эратосфена» из-за того, что греки не вычеркивали, а выкалывали ненужные числа на табличках, покрытых воском.

Рассмотрев числовой ряд простых чисел, я обратил внимание, что:

единица, имеющая только один делитель, к простым числам не относится. Не относится она и к составным числам. Единица занимает особое положение в числовом ряду. Пифагорейцы учили, что единица — матерь всех чисел, дух, из которого происходит весь видимый мир, она есть разум, добро, гармония. Единица и в самом деле — число уникальное по свой­ствам: она делится только сама на себя, но любое другое число на нее делится без остатка, любая ее степень рав­на тому, же самому числу — единице! После деления на нее ни одно число не изменяется, а если и поделить любое число на самое себя, получится опять же единица! Не удивительно ли это? Поразмыслив над этим, Эйлер заявил: «Нужно исключить единицу из последовательности простых чисел, она не является ни простым, ни составным».

Единственное чётное простое число 2. Все остальные простые числа нечётные. Любое другое четное число сюда попасть попросту не может, так как уже по определению, кроме себя и единицы, делится еще и на два.

Как и множество натуральных чисел, множество простых чисел бесконечно.

3. Числа – близнецы.

Внимательно проанализировав ряд простых чисел, можно сразу заметить несколько особенностей, наиболее любопытные из которых связаны с так называемыми числами-«близнецами». Называют их так потому, что они оказались по соседству друг с другом, разделенные только четным разграничителем.

Числа – близнецы до 500: 3-5; 5-7; 11-13; 17-19; 29-31; 41-43; 59-61; 71-73; 101-103; 107-109; 137-139; 149-151; 179-181; 191-193; 197-199; 227-229; 239-241; 269-271; 281-283; 311-313; 347-349; 419-421; 431-433; 461-463. (24 пары.)

Числа – близнецы от 500 до 1000: 521-523; 569-571; 599-601; 617-619; 641-643; 659-661; 809-811; 821-823; 827-829; 857-859; 881-883. (11 пар.)

Ну а сколько всего существует близнецов – современной науке неизвестно. По мере удаления от нуля близнецы встречаются всё реже и реже.

2 996 863 034 895 х 2

Наибольшими известными простыми – близнецами являются числа <displaystyle 2996863034895cdot 2^<1290000>pm 1>

Я не могу назвать эти числа, но знаю что в них содержится 388 342 цифры. Они были найдены в сентябре 2016 года в рамках проекта распределенных вычислений PrimeGrid.

4. Простые числа-триплеты.

Это тройка различных простых чисел, разность между наибольшим и наименьшим из которых минимальна. Наименьшими простыми числами, отвечающими заданному условию, являются — (2, 3, 5) и (3, 5, 7). Данная пара триплетов исключительна, так как во всех остальных случаях разность между первым и третьим членом равна шести. (p, p+2, p+6) или (p, p+4, p+6)

11,13,17 разница между 17 и 11 равна 6

193, 197, 199 разница между 193 и 199 равна 6

Первые простые числа-триплеты:

(5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41, 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193, 197), (193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233), (277, 281, 283), (307, 311, 313), (311, 313, 317), (347, 349, 353), (457, 461, 463), (461, 463, 467), (613, 617, 619), (641, 643, 647), (821, 823, 827), (823, 827, 829), (853, 857, 859), (857, 859, 863), (877, 881, 883), (881, 883, 887)

На данный момент, наибольшими известными простыми – триплетами являются числа:

(p, p+4, p+6), где p = 6521953289619 × 2 55555 − 5 (16737 цифр, апрель, 2013, Peter Kaiser, Srsieve, LLR, OpenPFGW)

5. Квадруплеты простых чисел.

Четвёрки простых чисел вида (p, p+2, p+6, p+8) или сдвоенные близнецы или квадруплеты:

(5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (821, 823, 827, 829), (1481, 1483, 1487, 1489), (1871, 1873, 1877, 1879), (2081, 2083, 2087, 2089), (3251, 3253, 3257, 3259), (3461, 3463, 3467, 3469), (5651, 5653, 5657, 5659), (9431, 9433, 9437, 9439), (13001, 13003, 13007, 13009), (15641, 15643, 15647, 15649), (15731, 15733, 15737, 15739), (16061, 16063, 16067, 16069), (18041, 18043, 18047, 18049), (18911, 18913, 18917, 18919), (19421, 19423, 19427, 19429), (21011, 21013, 21017, 21019), (22271, 22273, 22277, 22279), (25301, 25303, 25307, 25309), …

6. Секступлеты простых чисел.

Шестёрки простых чисел вида (p, p+4, p+6, p+10, p+12, p+16):

(7, 11, 13, 17, 19, 23), (97, 101, 103, 107, 109, 113), (16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073), (19417, 19421, 19423, 19427, 19429, 19433), (43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793) …

7. Простые числа Мерсенна.

Над поиском максимально больших простых чисел в своё время бились Катальди, Декарт, Ферма, Мерсенн, Лейбниц, Эйлер и многие другие математики. В математике широко известен термин простые числа Мерсенна.

Марен Мерсенн родился в крестьянской семье 8 сентября 1588 год, в посёлке Уазе. Учился в коллеже в Ла-Флеш, вместе с Декартом.В 1611 году он продолжил обучение в Париже. Через два года был рукоположен в священники, но не прекратил обучения, занявшись математикой, музыкой и философией. Совершил несколько путешествий по Европе, побывал в Италии, Германии, Голландии и других странах. Во время поездок приобретал новые знакомства, завязывал переписку, слушал лекции в местных университетах. Затем Мерсенн вернулся в Париж, поселился в монастыре и последующие десятилетия отдал науке и преподаванию философии.

Читайте также:  Телефон zte пропадают контакты

Во время пребывания в Париже у него еженедельно по четвергам происходили собрания математиков и физиков, где ученые обменивались идеями и мыслями, и результатами исследований. Позднее из этого кружка образовалась Парижская Академия наук (1666).

На протяжении первой половины XVII века Марен Мерсенн был по существу координатором научной жизни Европы, ведя активную переписку практически со всеми видными учёными того времени. Эта переписка имеет огромную научную и историческую ценность. По мимо работ в области математики, известны его работы в акустике и теории музыки. Мерсенн издал перевод на французский язык «Механики» Галилея (1634), редактировал издания Евклида, Архимеда и других античных классиков.

Особенно важным общение с Мерсенном было для Декарта и Ферма. Мерсенн не только сообщал Декарту о новейших научных идеях и достижениях, но также защищал его от нападок и помогал в издании работ. Об открытиях Ферма мы знаем в основном из его переписки с Мерсенном, изданной посмертно.

Мерсенн вёл чрезвычайно оживлённую переписку с известными учеными и философами того времени. В числе его корреспондентов, кроме Декарта и Ферма, были Галилей, Кавальери, Паскаль, Роберваль, Торричелли и многие другие. Деятельность Мерсенна значительно способствовала быстрому прогрессу физико-математических наук. Умер Марен Мерсенн 1 сентября 1648 года, не дожив до 60-летия семи дней.

Простые числа Мерсена являются простыми числами специального вида Mp = 2 p – 1

где р — другое простое число.

До 1750 года было найдено всего 8 простых чисел Мерсенна: М2, М3, М5, М7, М13, М17, М19, М31. То, что М31 – простое число, доказал в 1750 году Л. Эйлер. В 1876 году французский математик Эдуард Люка установил, что число М127=170141183460469231731687303715884105727- простое. В 1883 г. сельский священник Пермской губернии И.М.Первушин доказал, что число М61=2305843009213693951 является простым. Позднее было установлено, что числа М89 и М107 простые. 12 простых чисел Мерсена были вычислены с помощью только карандаша и бумаги, а для вычисления следующих уже использова­лись механические настольные счетные машины.

Распределённый проект по поиску простых чисел GIMPS был запущен в 1997 году, и ныне считается самым длительным непрерывным процессом распределённых вычислений в истории человечества: он продолжается уже почти 20 лет. Сейчас в пиковые моменты в GIMPS участвует 360.000 процессоров с суммарной производительностью 150 трлн операций в секунду. За время работы GIMPS участники этого проекта нашли 14 простых чисел Мерсенна. Последнее из них 2 74 207 281 -1 было обнаружено 07 января 2016 года. Всего на данный момент известно 49 простых чисел Мерсена. В списке самых больших простых чисел, известных на сегодняшний день, десять первых мест занимают числа Мерсенна.

8. Открытие П.Л. Чебышева

Как же распределены простые числа в натуральном ряду, в котором не будет ни одного простого числа? Есть ли какой-нибудь закон в их распреде­лении или нет?

Большой шаг в раз­решении этого вопроса сделал великий русский ученый Панфутий Львович Чебышев. В 1850 г. он доказал, что меж­ду любым натуральным числом (не рав­ным 1) и числом, в два раза больше его (т. е. между n и 2n), находится хотя бы одно простое число.

9. Скатерть (спираль) С. Улама.

Скатерть Улама была открыта случайно — однажды математику довелось присутствовать на очень длинном и скучном докладе. Чтобы развлечься, он начертил на листке бумаги вертикальные и горизонтальные линии, чтобы заняться составлением шахматных этюдов, но потом передумал и начал нумеровать пересечения, поставив в центре 1, и, двигаясь по спирали против часовой стрелки, записывал все натуральные числа до 100. Без всякой мысли Улам обводил все простые числа кружками. Каково было его удивление, когда он увидел, что простые числа стали выстраиваться вдоль диагональных прямых линий!

Улама заинтересовало, как же будет выглядеть его спираль, если её продолжить до нескольких тысяч простых чисел. Разработав программу, Улам получил рисунок для чисел от 1 до 65 000 (иногда его называют “скатерть Улама”), из которого видно, что даже у края картины простые числа продолжают послушно укладываться на прямые.

1. Изучив метод Эратосфена, я захотел определить ряд простых чисел до 1000.

Простые числа от 1 до 100: 25 чисел

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,71, 73, 79, 83, 89, 97

Простые числа от 101 до 200: 21 число

101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199

Простые числа от 201 до 300: 16 чисел

211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293

Простые числа от 301 до 400: 16 чисел

307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397

Простые числа от 401 до 500: 17 чисел

401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499

Простые числа от 501 до 600: 14 чисел

503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599

Простые числа от 601 до 700: 16 чисел

601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691

Простые числа от 700 до 800: 14 чисел

701,709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797

Простые числа от 800 до 900: 15 чисел

809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887

Простые числа от 900 до 1000: 14 чисел

907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

2. Рассмотрим числа близнецы. В пределах первой сотни близнецы – это следующие пары чисел: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71,73).. В натуральном ряду имеется даже "тройня" – это числа 3, 5, 7.

Если внимательно к ним присмотреться, то можно заметить, что сумма этих чисел всегда кратна трем.

(71 + 73) : 3 = 48 и т. д.

Более того ( за исключением первой пары), при делении на тройку левого собрата в остатке всегда остается двойка, а правого – единица.

Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕЙ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНО ШКОЛЫ С УГЛУБЛЕНННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ ОТДЕЛЬНЫХ ПРЕДМЕТОВ С. ТЕРБУНЫ

Исследовательская работа по математике

ученик 6 «Б» класса

Волков Владимир Викторович

Болгова Нелля Васильевна

2. Основная часть

Читайте также:  Устройство с логическим именем а называется

1) Теоретические сведения…………………………………..

9) Простые числа-близнецы…………………………………

11) Работа с таблицей простых чисел…………………….

4) Скатерть (спираль) Улама……………………………….

6) Этапы развития теории простых чисел в средние века.

7)Повелитель простых чисел……………………………….

8) Современные исследования…………………………….

5. Список использованных источников…………………………….

«Простые числа не так просты,

как это кажется с первого взгляда!»

Фома Евграфович Топорищев,

исследование множества простых чисел.

выяснить, существует ли математическая формула для их отыскания.

выяснить, существует ли самое большое простое число?

исследовать современное состояние изучаемого вопроса.

Гипотеза: если простые числа так просты, как это кажется, то математики давно их изучили, и тогда про них должно быть все известно.

работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.

метод «решето Эратосфена».

наблюдение, сравнение, анализ

Объект исследования: простые числа.

Обоснование выбора темы

Простые числа с давних времен привлекают внимание математиков. Простые числа следует одно за другим по закону, который еще не найден. Но простые числа в математике играют важную роль. Из них с помощью умножения получаются все остальные числа. Хорошо было бы, если все простые числа можно было сосчитать! Но эта проблема до сих пор остается нерешенной. Как сказал Евклид: самого большого простого числа не существует.

Впервые о простых числах я узнал в 6 классе на уроке математики, когда мы изучали тему «Простые и составные числа». Меня заинтересовало понятие «простые числа», и я решил изучить историю возникновения простых чисел.

Из школьного учебника математики 6 класса я узнал следующие определения:

Простое число – это натуральное число, которое имеет только два делителя (единицу и само это число).

Примеры: 3 – делители 3 и 1

5 – делители 5 и 1

Составное число – это натуральное число, которое имеет более двух делителей.

Примеры: 21 – делители 1, 3, 7 и 21

24– делители 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому его не относят ни к составным числам, ни к простым.

Всякое составное число можно разложить на простые множители. При любом способе получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка записи множителей.

Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, т.е. простые числа – это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.

Древнегреческий математик Эратосфен, живший более чем за 200 лет до н.э., составил первую таблицу простых чисел. Эратосфен родился в городе Кирене, получил образование в Александрии под руководством

Каллимаха и Лисания, в Афинах слушал философов Аристона Хиосского и Аркесилая, тесно сблизился со школой Платона. В 246г. до.н.э., после смерти Каллимаха, царь Птолемей Эвергет вызвал Эратосфена из Афин и поручил ему заведовать Александрийской библиотекой. Эратосфен работал во многих областях науки: филология, грамматика, история, литература, математика, хронология, астрономия, география и музыка.

Небольшую "коллекцию" простых чисел можно составить старинным способом, который придумал именно Эратосфен.

Выпишем несколько подряд идущих чисел, начиная с 2. Двойку отберём в свою коллекцию, а остальные числа, кратные 2, зачеркнем (красным цветом – см. рис.1). Ближайшим не зачёркнутым числом будет 3. Возьмём в коллекцию и его, а все остальные числа, кратные 3, зачеркнем (зеленым цветом – см. рис.1). При этом окажется, что некоторые числа уже были вычеркнуты раньше, как, например, 6, 12 и др. Следующее наименьшее не зачёркнутое число – это 5. Берем пятерку, а остальные числа, кратные 5,зачеркиваем (желтым цветом – см. рис.1). Теперь берем семерку, а остальные числа, кратные 7,зачеркиваем (синим цветом – см. рис.1). Повторяя эту процедуру снова и снова, и, в конце концов, добьемся того, что не зачеркнутыми останутся одни лишь простые числа (на рис. 1 они обведены в кружок) – они словно просеялись сквозь решето. Поэтому такой способ и получил название "решето Эратосфена".

Во времена Эратосфена писали на восковых дощечках, а вместо того, чтобы числа вычеркивать, дощечку в нужном месте прокалывали. Отсюда и название способа – “решето Эратосфена”. Анализируя решето Эратосфена видно, что все простые числа либо на 1 меньше, либо на 1 больше чисел, кратных 6.

Следующий заинтересовавший математиков вопрос был о количестве простых чисел.

Простыми числами занимался и древнегреческий математик Евклид ( III в. до н.э.). В своей книге «Начала», бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, он доказал, что простых чисел бесконечно много, т.е. за каждым простым числом есть ещё большее простое число.

Теорема Евклида: «Первых простых чисел существует больше любого указанного числа их».

Вот доказательство этой теоремы:

Предположим, что существует некое наибольшее простое число p . Тогда перемножим все простые числа, начиная с числа 2 и заканчивая числом p , и увеличим полученное произведение на единицу. Результат этих действий обозначим M .

2*3*5*…* P + 1= M

Если число M составное, то оно должно иметь по крайне мере один простой делитель, кроме самого себя и единицы. Но этим делителем не может быть ни одно из простых чисел 2, 3, 5, 7, … p . Поскольку при делении M на каждое из них получаем в остатке один. Следовательно, число M либо само простое, либо делится на простое число большее p . Значит предположение, что существует наибольшее простое число p , неверно и множество простых чисел бесконечно.

Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много. Можно сказать также, что среди простых чисел нет самого большого числа.

Так две с лишним тысячи лет назад Евклид лишил математиков надежды получить когда-нибудь полный список простых чисел.

Много ученых пытались найти общую формулу для записи простых чисел, но все их попытки не увенчались успехом.

Простые числа-близнецы – это пара простых чисел, отличающихся на 2.

Самые большие известные числа-близнецы

1 000 000 009 649 и 1 000 000 009 651.

Нет пока ответа на вопрос о том, существует ли самая большая пара чисел-близнецов.

Простые числа-триплеты – это тройка различных простых чисел, разность между наибольшим и наименьшим из которых минимальна. Наименьшими простыми числами, отвечающими заданному условию, являются — (2, 3, 5) и (3, 5, 7). Данная пара триплетов исключительна, так как во всех остальных случаях разность между первым и третьим членом равна шести.

11,13,17 разница между 17 и 11 равна 6

193, 197, 199 разница между 193 и 199 равна 6

Работа с таблицей простых чисел.

Мы с ребятами в классе работали с простыми числами. Мы разбились на группы, и каждая группа считала свои числа. Кто-то считал простые числа от 1 до 100, кто-то от 101 до 200 и т.д.

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock
detector