Числа палиндромы в математике

Числовой палиндром — это натуральное число, которое читается слева направо и справа налево одинаково. Иначе говоря, отличается симметрией записи (расположения цифр), причём число знаков может быть как чётным, так и нечётным. Палиндромы встречаются в некоторых множествах чисел, удостоенных собственных названий: среди чисел Фибоначчи — 8, 55 (6-й и 10-й члены одноимённой последовательности); фигурных чисел — 676, 1001 (квадратное и пятиугольное соответственно); чисел Смита — 45454, 983389. Указанным свойством обладает также всякий репдиджит, например 2222222 и, в частности, репьюнит*.

Палиндром можно получить как результат операций над другими числами. Так, в книге «Есть идея!» известного популяризатора науки Мартина Гарднера в связи с этой задачей упоминается «гипотеза о палиндромах». Возьмём любое натуральное число и сложим его с обращённым числом, то есть записанным теми же цифрами, но в обратном порядке. Проделаем то же действие с получившейся суммой и будем повторять его до тех пор, пока не образуется палиндром. Иногда достаточно сделать всего один шаг (например, 312 + 213 = 525), но, как правило, требуется не менее двух. Скажем, число 96 порождает палиндром 4884 только на четвёртом шаге. В самом деле:

1353 + 3531 = 4884.

А суть гипотезы в том, что, взяв любое число, после конечного числа действий мы обязательно получим палиндром.

Можно рассматривать не только сложение, но и другие операции, включая возведение в степень и извлечение корней. Вот несколько примеров того, как при их помощи из одних палиндромов получаются другие:

До сих пор мы рассматривали в основном составные числа. Теперь обратимся к числам простым. В их бесконечном множестве имеются немало любопытных экземпляров и даже целые семейства палиндромов. Только среди первых ста миллионов натуральных чисел насчитывается 781 простой палиндром, причём двадцать приходятся на первую тысячу, из них четыре числа однозначные — 2, 3, 5, 7 и всего одно двузначное — 11. С такими числами связано немало интересных фактов и красивых закономерностей.

Во-первых, существует единственный простой палиндром с чётным числом цифр — 11. Другими словами, произвольный палиндром с чётным числом цифр, бóльшим двух, число составное, что нетрудно доказать на основе признака делимости на 11.

Во-вторых, первой и последней цифрами любого простого палиндрома могут быть только 1, 3, 7 или 9. Это следует из известных признаков делимости на 2 и на 5. Любопытно, что все простые двузначные числа, записанные с помощью перечисленных цифр (за исключением 19), можно разбить на пары чисел-«перевёртышей» (взаимно обращённых чисел) вида и , где цифры a и b различны. Каждая из них, независимо от того, какое число стоит на первом месте, читается одинаково слева направо и справа налево:

13 и 31, 17 и 71,

37 и 73, 79 и 97.

Заглянув в таблицу простых чисел, мы обнаружим аналогичные пары, в записи которых присутствуют и другие цифры, в частности, среди трёхзначных чисел подобных пар наберётся четырнадцать.

Кроме того, среди простых трёхзначных палиндромов встречаются пары чисел, у которых средняя цифра отличается всего на 1:

Аналогичная картина наблюдается и у бо`льших простых чисел, например:

Простые числа-палиндромы могут «задаваться» разными симметричными формулами, которые отражают особенности их записи. Это хорошо видно на примере пятизначных чисел:

Кстати, простые многозначные числа вида встречаются, очевидно, только среди репьюнитов. Таких чисел известно пять. Примечательно, что у каждого из них количество цифр выражается простым числом: 2, 19, 23, 317, 1031. А вот среди простых чисел, у которых все цифры, кроме центральной, единицы, был обнаружен палиндром весьма внушительной длины — в нём 1749 цифр:

Вообще среди простых чисел-палиндромов встречаются удивительные экземпляры. Вот лишь один пример — числовой гигант

А интересен он тем, что содержит 11 811 цифр, которые можно разбить на три палидромические группы, причём в каждой группе количество цифр выражается простым числом (5903 или 5).

Любопытные палиндромические закономерности просматриваются и в группах простых чисел, в записи которых присутствуют определённые цифры. Скажем, только цифры 1 и 3, причём в каждом числе. Так, двузначные простые числа составляют упорядоченные пары 13 — 31 и 31 — 13, из шести трёхзначных простые сразу пять чисел, среди которых есть два палиндрома: 131 и 313, а ещё два числа образуют пары «перевёртышей» 311 — 113 и 113 — 311. Во всех этих случаях составленные пары наглядно представляются в виде числовых квадратов (рис. 1).

Своими свойствами они напоминают магический и латинский квадраты. Например, у среднего квадрата сумма чисел, стоящих в каждой строке и в каждом столбце, равна 444, на диагоналях — 262 и 626. Сложив числа из всех клеток, получим 888. И что характерно, каждая сумма — палиндром. Даже просто выписывая без пробела несколько чисел из одной таблицы, получим новые палиндромы: 3113, 131313131 и т. д. Какое наибольшее число можно составить таким способом? Будет ли оно палиндромом?

Если в каждую из пар 311 — 113 и 113 — 311 добавить 131 или 313, образуются четыре палиндромические тройки. Запишем одну из них в столбик:

Как видим, и сами числа, и нужная их комбинация дают о себе знать при прочтении в разных направлениях. Кроме того, расположение цифр симметрично, а их сумма в каждой строке, каждом столбце и на одной из диагоналей выражается простым числом − 5.

Надо сказать, рассмотренные числа интересны и сами по себе. Например, палиндром 131 — простое циклическое число: при любых последовательных перестановках первой цифры на последнее место он порождает простые числа 311 и 113. Можете ли вы указать другие простые палиндромы, обладающие таким же свойством?

А вот пары чисел-«перевёртышей» 13 — 31 и 113 — 311 при возведении в квадрат дают также пары «перевёртышей»: 169 — 961 и 12769 — 96721. Любопытно, что даже суммы их цифр оказались связаны хитрым образом:

(1 + 3) 2 = 1 + 6 + 9,

(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Добавим, что среди натуральных чисел имеются и другие пары «перевёртышей» с подобным свойством: 103 — 301, 1102 — 2011, 11113 — 31111 и др. Чем объясняется подмеченная закономерность? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно понять, что особенного в записи указанных чисел, какие цифры и в каком количестве могут в ней присутствовать.

Читайте также:  25Q32bvsig как прошить без программатора

Из простых чисел-палиндромов, располагая их определённым образом, скажем построчно, можно составить симметричные фигуры, отличающиеся оригинальным рисунком из повторяющихся цифр.

Вот, например, красивая комбинация из простых палиндромов, записанных с помощью 1 и 3 (кроме первого, рис. 2). Особенность этого числового треугольника в том, что один и тот же фрагмент повторяется трижды, не нарушая симметрию рисунка.

Легко видеть, что общее количество строк и столбцов — число простое (17). К тому же простые числа и суммы цифр: выделенных красным фрагментов (17); каждой строки, за исключением первой (5, 11, 17, 19, 23); третьего, пятого, седьмого и девятого столбцов (7, 11) и «лесенки» из единиц, образующей боковые стороны треугольника (11). Наконец, если двигаться параллельно указанным «сторонам» и складывать по отдельности цифры третьего и пятого рядов (рис. 3), получим ещё два простых числа (17, 5).

Продолжая построение, можно сконструировать на основе данного треугольника более сложные фигуры. Так, ещё один треугольник с аналогичными свойствами нетрудно получить, двигаясь с конца, то есть начать с последнего числа, вычёркивая на каждом шаге две одинаковые симметрично расположенные цифры и переставляя или заменяя другие — 3 на 1 и наоборот. При этом сами цифры следует выбирать с таким расчётом, чтобы образующееся в итоге число оказалось простым. Объединив обе фигуры, получим ромб с характерным узором из цифр, скрывающим в себе немало простых чисел (рис. 4). В частности, сумма выделенных красным цветом цифр равна 37.

Другой пример — треугольник, полученный из исходного после добавления к нему шести простых палиндромов (рис. 5). Фигура сразу привлекает внимание своим изящным обрамлением из единиц. Её окаймляют два простых репьюнита одинаковой длины: 23 единицы составляют «основание» и ещё столько же — «боковые стороны» треугольника.

Ещё несколько фигур

Можно составить также многоугольные фигуры из чисел, обладающие определёнными свойствами. Пусть требуется построить фигуру из простых палиндромов, записанных с помощью 1 и 3, у каждого из которых крайние цифры — единицы, а сумма всех цифр и общее количество единиц в строке — простые числа (исключение — однозначный палиндром). Кроме того, простым числом должно выражаться общее количество строк, а также цифр 1 либо 3, встречающихся в записи.

На рис. 6 приведено одно из решений задачи — «домик», сконструированный из 11 различных палиндромов.

Конечно, не обязательно ограничиваться двумя цифрами и требовать наличия в записи каждого используемого числа всех указанных цифр. Скорее, наоборот: ведь именно их необычные сочетания придают своеобразие узору фигуры. В подтверждение этому приведём несколько примеров красивых палиндромических зависимостей (рис. 7−9).

Теперь, вооружившись таблицей простых чисел, вы и сами сконструируете фигуры вроде предложенных нами.

А напоследок ещё одна диковинка — треугольник, буквально пронизанный вдоль и поперёк палиндромами (рис. 10). В нём 11 строк из простых чисел, а столбцы образованы репдиджитами. И главное: ограничивающий фигуру с боков палиндром 193111111323111111391 — число простое!

Комментарии к статье

*Число Смита — составное число, сумма цифр которого равна сумме цифр его простых делителей.

Репдиджит — натуральное число, в записи которого все цифры одинаковые.

Репьюнит — натуральное число, записанное с помощью одних только единиц.

Палиндро́м (от др.-греч. πάλιν — «назад, снова» и др.-греч. δρóμος — «бег, движение»), пе́ревертень [1] — число, буквосочетание, слово или текст, одинаково читающееся в обоих направлениях. Например, число 101; слова «топот» в русском языке и фин. saippuakivikauppias (продавец мыла; торговец щёлоком) — самое длинное слово-палиндром в мире; текст «а роза упала на лапу Азора» и пр.

Другое название — палиндро́мон (от др.-греч. πᾰλίν-δρομος — движущийся обратно, возвращающийся [2] [3] ).

Иногда палиндромом называют любой симметричный относительно своей середины набор символов [4] [5] .

Содержание

История [ править | править код ]

Отдельные палиндромические словосочетания и фразы известны с глубокой древности (древнейшим из известных является SATOR из Геркуланума I века н. э.), когда им зачастую придавался магически-сакральный смысл (не лишена этого оттенка фраза На в лоб, болван, использовавшаяся русскими скоморохами в качестве перформативного высказывания). Авторское творчество в области палиндрома начинается, по-видимому, в Средние века. В русской литературе достоверно известно об авторском палиндромном стихе Державина «Я и́ду съ ме́чемъ судия», затем об авторском палиндромном стихе Фета [6] «А роза упала на лапу Азора». Первую попытку многострочного (и довольно длинного) стихотворного произведения в форме палиндрома предпринял Велимир Хлебников в поэме «Разин». Однако расцвета русский литературный палиндром (преимущественно стихотворный) достиг только в 1970—1990-е года в творчестве Николая Ладыгина, а затем Владимира Гершуни, Елены Кацюбы и Дмитрия Авалиани. В 1990-х годах началось в России и детальное литературоведческое и лингвистическое изучение палиндромии — прежде всего Александром Бубновым и Германом Лукомниковым.

Разновидности [ править | править код ]

Теоретики и практики палиндрома выделили многочисленные пограничные с палиндромом формы: например, оборотень — текст, читающийся слева направо иначе, чем справа налево: «Мир удобен» (Сергей Федин). Среди более редких разновидностей палиндромических текстов следует назвать также слоговые, словесные и фразовые палиндромы, двуязычные палиндромы (в одну сторону текст читается на одном языке, в обратную — на другом) и т. п. .

Существуют разновидности, когда чтение производится не в обратном направлении, а в прямом, но с другого места в «размноженном» термине, например, кабанкабан, кольцокольцо, викивики. Такие «разночтения» могут встречаться и в ДНК. В структуре нуклеиновых кислот имеются относительно короткие взаимно комплементарные участки, имеющие «зеркальные» последовательности нуклеотидов, которые могут образовывать дуплексы. Общее число таких «перевертышей» в геноме человека оценено от 100 тыс. до 1 млн. При этом они распределены по ДНК неравномерно. Палиндромы способны обеспечить увеличение объёма информации без увеличения числа нуклеотидов. [7] .

Примеры палиндромов [ править | править код ]

  • А роза упала на лапу Азора. (Афанасий Фет)
  • Аргентина манит негра (авторство спорно [8] )
  • Я иду съ мечемъ судия (Гавриил Державин)
  • Я — арка края (Валерий Брюсов[9] )
  • О, лета тело! (Валерий Брюсов [9] )
Читайте также:  Табличка для проверки зрения у окулиста фото

Более сложным видом палиндрома (словесного, а не буквенного) является стихотворение по этому принципу, например [10] :

«Жестоко раздумье. Ночное молчанье
Качает виденья былого,
Мерцанье встречает улыбки сурово,
Страданье
Глубоко-глубоко!
Страданье сурово улыбки встречает.
Мерцанье былого виденья качает.
Молчанье. Ночное раздумье жестоко»

А результатом опытов поэта-модерниста Велимира Хлебникова с палиндромической поэзией стало его стихотворение «Перевертень»:

Кони, топот, инок,
Но не речь, а черен он.
Идем, молод, долом меди.
Чин зван мечем навзничь.
Голод, чем меч долог?
Пал, а норов худ и дух ворона лап.
А что? Я лав? Воля отча!
Яд, яд, дядя!
Иди, иди!
Мороз в узел, лезу взором.
Солов зов, воз волос.
Колесо. Жалко поклаж. Оселок.
Сани, плот и воз, зов и толп и нас.
Горд дох, ход дрог.
И лежу. — Ужели?
Зол, гол лог лоз.
И к вам и трем с смерти мавки.

  • « Madam, I’m Adam » («Мадам, я — Адам», — представился первый человек первой женщине)
    « Eve » («Ева», — скромно палиндромом ответила она).
  • В палиндромичном году (2002) Петер Норвиг (англ. Peter Norvig ) закончил пятилетнюю работу с применением компьютера по созданию самого длинного палиндрома на английском языке, состоящего из 17 259 слов. Написанная в традициях классического палиндрома A man, a plan, a canal. Panama («Человек, план, канал — Панама»), но в целом бессмысленная, эта фраза начинается A man, a plan, a cameo, Zena… и заканчивается …Ibanez, OEM, a canal, Panama [11] . Похожие рекорды, но в других «весовых категориях» были установлены Джеральдом Бернсом (англ. Gerald M. Berns , бессмысленный список из 31 358 слов) и Лоуренсом Левиным (англ. Lawrence Levine , связный роман Olson in Oslo из 31 594 слов, написанный с применением странных грамматических структур и архаичного языка и потому трудный для чтения) [11] .
  • Sum summus mus (Я — сильнейшая мышь)
  • Saippuakivikauppias (Торговец щёлоком; самое длинное в мире слово-палиндром) [12]

В математике [ править | править код ]

  • Числовые палиндромы [13][14]
  • 676 (наименьшее число-палиндром, являющееся квадратом непалиндрома — 26).
  • 121 (наименьшее число-палиндром, являющееся квадратом палиндрома — 11).
  • Проблема 196
  • Возвратное уравнение
  • В информатике [ править | править код ]

    Палиндромы используются в формулировках олимпиадных задач [15] , связанных с работой со строками. Также задачи, связанные с поиском палиндромов, любят давать на собеседованиях [16] . Для их решения может быть полезным алгоритм поиска самой длинной палиндромиальной подстроки.

    В биологии [ править | править код ]

    В структуре нуклеиновых кислот имеются относительно короткие взаимно комплементарные участки, имеющие «зеркальные» последовательности нуклеотидов, которые могут образовывать дуплексы. Общее число таких «перевертышей» в геноме человека оценено от 100 тыс. до 1 млн. При этом они распределены по ДНК неравномерно.

    Важную роль играют палиндромные последовательности в формировании некоторых типов нуклеиновых кислот, например, в случае транспортных РНК (см. рис).

    В музыке [ править | править код ]

    Пьесу играют «как обычно», но после того, как она заканчивается, ноты переворачивают и произведение играют заново, причем музыка не изменится. Итераций может быть сколько угодно и неизвестно, что является верхом, а что низом. Такие произведения можно играть вдвоем, читая ноты с разных сторон. Примерами таких музыкальных палиндромов могут являться произведения «Застольная мелодия для двоих» Моцарта и «Путь Мира» Мошелеса, а также Прелюдия и постлюдия из фортепианного цикла Пауля Хиндемита «Ludus tonalis».

    Существенно более сложный вид палиндрома реализован в сочинении «Прощание» Луиджи Даллапикколы.

    Практически все математические понятия, так или иначе, опираются на понятие числа, а конечный результат любой математической теории, как правило, выражается на языке чисел. Многие из них, особенно натуральные числа по тем или иным признакам и свойствам сгруппированы в отдельные структуры (совокупности) и имеют собственные имена. Таким образом, целью исследования является знакомство с числами палиндромами

    Скачать:

    Вложение Размер
    научно-исследовательская работа 138.5 КБ
    презентация 368.5 КБ

    Предварительный просмотр:

    Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

    «Средняя школа №7»

    Научно-исследовательская работа
    на школьную научно-практическую конференцию молодых исследователей

    Палиндромы в математике

    Яковлев Данил Юрьевич

    Муниципальное бюджетное общеобразовательное

    «Средняя школа № 7»

    Якоби Зинаида Фёдоровна,

    Муниципальное бюджетное общеобразовательное

    учреждение
    «Средняя школа 7»

    ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ. 5

    Гипотеза
    Простые числа – это часть чисел, из которых состоят все натуральные числа.
    Исследуя множество простых чисел, можно получить удивительные числовые множества с их необыкновенными свойствами.

    Цель исследования
    Практически все математические понятия, так или иначе, опираются на понятие числа, а конечный результат любой математической теории, как правило, выражается на языке чисел. Многие из них, особенно натуральные числа по тем или иным признакам и свойствам сгруппированы в отдельные структуры (совокупности) и имеют собственные имена. Таким образом, целью исследования является знакомство с числами палиндромами .

    1.Изучить литературу по теме исследования.

    2.Рассмотреть свойства палиндромов.

    3..Выяснить, какую роль играют простые числа в изменении свойств заинтересовавших нас чисел.

    Предмет исследования – множество простых чисел.

    Объект исследования – числа палиндромы..

    Однажды, играя в боулинг я заметил необычные числа: 44, 77, 99, 101 и мне стало интересно, что это за числа? Заглянув в интернет я узнал что это числа палиндромы.

    Палиндро́м ( от греч. πάλιν —« назад , снова » и греч. δρóμος — « бег »), иногда также палиндромон , от гр . palindromos бегущий обратно ).

    Говоря о том, что такое палиндром, следует сказать, что известны «перевертыши» с самой глубокой древности. Зачастую им придавался магический сакральный смысл. Появились палиндромы, примеры которых можно встретить в самых разных языках, предположительно в средние века.

    Палиндром можно получить как результат операций над другими числами. Так, в книге «Есть идея!» известного популяризатора науки Мартина Гарднера в связи с этой задачей упоминается «гипотеза о палиндромах». Если взять натуральное число (любое) и прибавить к нему обращенное (состоящее из тех же цифр, но в обратном порядке), затем повторить действие, но уже с полученной суммой, то на одном из шагов получится палиндром. В некоторых случаях достаточно осуществить сложение единожды: 213 + 312 = 525. Но обычно необходимо не меньше двух операций. Так, например, если взять число 96, то, совершив последовательное сложение, палиндром можно получить только на четвертом уровне: 96 + 69 = 165 165 + 561 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 Суть гипотезы состоит в том, что если брать любое число, после определенного количества действий будет обязательно получен палиндром.

    Читайте также:  Стиральный порошок вьюга отзывы

    Найти числа – палиндромы в математике не составило труда. Я попытался составить запись числа для этих чисел – палиндромов.

    – в двузначных числах – палиндромах число единиц совпадает с числом десятков.

    – в трехзначных числах – палиндромах число сотен всегда совпадает с числом единиц.

    – в четырехзначных числах – палиндромах число единиц тысяч совпадает с числом единиц, а число сотен с числом десятков и т.д.

    Палиндромные формулы вызвали у меня больший интерес. Под формулами – палиндромами, я понимаю, выражение (состоящее из суммы или разности чисел) результат которого не меняется в результате прочтения выражения справа налево.

    Если сложить числа – палиндромы, то сумма не меняется. Сложение двухзначных чисел довольно просто я решил записать сумму для трёхзначных чисел.

    В общем виде это можно записать так:

    (100х + 10х+ x) + (100у + 10y + у) = (100у + 10y + у) + (100х + 10x + х)

    100х + 10х+ x + 100у + 10у + y = 100у + 10у + y + 100x +10х + х

    111х + 111у = 111у + 111х

    111(х + у) = 111(у + х)

    От перестановки слагаемых сумма не изменяется (переместительное свойство сложения).

    Точно также доказывается для 4-х, 5-х и n – значных чисел.

    Рассмотрим все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их вычитания не менялся в результате прочтения разности справа налево.

    Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых:

    = 10х 1 + у 1 = 10х 2 + у 2

    – = (10х 1 + у 1 ) – (10х 2 + у 2 )

    – = (10у 2 + х 2 ) – (10у 1 + х 1 )

    (10х 1 + у 1 ) – (10х 2 + у 2 ) = (10у 2 + х 2 ) – (10у 1 + х 1 )

    10х 1 + у 1 – 10х 2 – у 2 = 10у 2 + х 2 – 10у 1 – х 1

    10х 1 + х 1 + у 1 + 10у 1 = 10у 2 + у 2 + 10х 2 + х 2

    11 х 1 + 11 у 1 = 11х 2 + 11у 2

    11(х 1 + у 1 ) = 11(х 2 + у 2 )

    х 1 + у 1 = х 2 + у 2

    У таких чисел равны суммы цифр.

    Теперь можно составлять такие разности:

    52 –16 = 61 – 25 и т.д.

    Палиндромы встречаются в некоторых множествах чисел, удостоенных собственных названий: число Фибоначчи, число Смита, Репдиджит, Репьюнит.

    Числами Фибоначчи называют элементы числовой последовательности. В ней каждое следующее число в ряду получается суммированием двух предыдущих чисел.

    Число Смита — составное число, сумма цифр которого равна сумме цифр его простых делителей.

    Репдиджит — натуральное число, в записи которого все цифры одинаковые.

    Репьюнит — натуральное число, записанное с помощью одних только единиц

    Из простых чисел-палиндромов, располагая их определённым образом, скажем построчно, можно составить симметричные фигуры, отличающиеся оригинальным рисунком из повторяющихся цифр.

    Вот, например, красивая комбинация из простых палиндромов, записанных с помощью 1 и 3 (рис. 1). Особенность этого числового треугольника в том, что один и тот же фрагмент повторяется трижды, не нарушая симметрию рисунка.

    Легко видеть, что общее количество строк и столбцов — число простое (17). К тому же простые числа и суммы цифр: выделенных красным фрагментов (17); каждой строки, за исключением первой (5, 11, 17, 19, 23); третьего, пятого, седьмого и девятого столбцов (7, 11) и «лесенки» из единиц, образующей боковые стороны треугольника (11). Наконец, если двигаться параллельно указанным «сторонам» и складывать по отдельности цифры третьего и пятого рядов (рис. 2), получим ещё два простых числа (17, 5).

    Продолжая построение, можно сконструировать на основе данного треугольника более сложные фигуры. Так, ещё один треугольник с аналогичными свойствами нетрудно получить, двигаясь с конца, то есть начать с последнего числа, вычёркивая на каждом шаге две одинаковые симметрично расположенные цифры и переставляя или заменяя другие — 3 на 1 и наоборот. При этом сами цифры следует выбирать с таким расчётом, чтобы образующееся в итоге число оказалось простым. Объединив обе фигуры, получим ромб с характерным узором из цифр, скрывающим в себе немало простых чисел (рис. 3). В частности, сумма выделенных красным цветом цифр равна 37.

    Можно составить также многоугольные фигуры из чисел, обладающие определёнными свойствами. Пусть требуется построить фигуру из простых палиндромов, записанных с помощью 1 и 3, у каждого из которых крайние цифры — единицы, а сумма всех цифр и общее количество единиц в строке — простые числа (исключение — однозначный палиндром). Кроме того, простым числом должно выражаться общее количество строк, а также цифр 1 либо 3, встречающихся в записи.

    На рис. 4 приведено одно из решений задачи — «домик», сконструированный из 11 различных палиндромов.

    Конечно, не обязательно ограничиваться двумя цифрами и требовать наличия в записи каждого используемого числа всех указанных цифр. Скорее, наоборот: ведь именно их необычные сочетания придают своеобразие узору фигуры. В подтверждение этому приведём несколько примеров красивых палиндромических зависимостей (рис. 5−7).

    В своей работе я рассмотрел числа – палиндромы, формулы – палиндромы для суммы трехзначных чисел и разности двузначных чисел и смог их доказать. Я познакомился с удивительными натуральными числами: палиндромами и репьюнитами. Все они обязаны своими свойствами простым числам .
    Интуитивно я составил формулы для суммы и разности n- значных чисел, произведения и частного двухзначных чисел.

    В случае умножения имеем:

    26 ∙ 31 = 62 ∙ 13 и т.д.

    Произведение первых цифр равно произведению их вторых цифр х 1 ∙ х 2 = у 1 ∙ у 2

    Для деления получаем такие примеры:

    96 : 32 = 69 : 23 и т.д.

    Данные утверждения я пока не смог доказать, но думаю, что мне удастся это сделать в дальнейшем.

    В литературе я смог найти формулы – палиндромы умножения многозначных чисел

    20646 ∙ 35211 = 11253 ∙ 64602 203313 ∙ 657624 = 426756 ∙ 313302

    726966306 = 726966306 133703508312 = 133703508312

    Цели своей работы я достиг. Рассмотрел числа – палиндромы и записал их в общем виде. Привел примеры и доказал формулы – палиндромы для сложения и вычитания двухзначных чисел. Определил ряд вопросов над которыми мне предстоит ещё работать и исследовать формулы – палиндромы. Значит, я подтвердил гипотезу о том, что простые числа – это часть чисел, из которых состоят все натуральные числа. Исследуя множество простых чисел, можно получить удивительные числовые множества с их необыкновенными свойствами.

    Оцените статью
    Добавить комментарий

    Adblock
    detector