Число е и его тайны

Скачать:

Вложение Размер
gayfetdinova_railya.docx 752.22 КБ

Предварительный просмотр:

Общая характеристика работы ………………………………………

Основное содержание работы…………………………………………

Экспериментальная часть работы………………………………….

Список использованной литературы………………………………..

Число е в реальной жизни.

Общая характеристика работы

«…Ею порождено многое из того,
Что достойно упоминания»

английский поэт Элмер Брил .

Актуальность Возникновение чисел в нашей жизни не случайность. Невозможно представить себе общение без использования чисел. История чисел увлекательна и загадочна. Человечеству удалось установить целый ряд законов и закономерностей мира чисел, разгадать кое-какие тайны и использовать свои открытия в повседневной жизни. Без замечательной науки о числах – математики – немыслимо сегодня ни прошлое, ни будущее. А сколько ещё не разгаданного!

Все знают геометрический смысл числа π — это длина окружности с единичным диаметром. А вот смысл другой важной константы, e , имеет свойство быстро забываться. Чем же так замечательно это число, равное 2,7182818284590.

Цель константа е – это фундаментальная константа, которая отражается в темпах роста .

Объект исследования: найти невидимую связь между математикой и жизнью!

Предмет исследования: Фундаментальный характер числа е появляется при изучении роста какой-нибудь величины.

Гипотеза в окружающей нас действительности всё построено по удивительно гармоничным законам с математической точностью.

Цель и гипотеза исследования определили его задачи:

  • Раскрыть понятия «число Эйлера», «экспонента», «экспоненциальность мира» и научиться «видеть» их в повседневной жизни .
  • Познакомиться с определением числа е.
  • Рассмотреть фундаментальный характер числа е при изучении роста какой-нибудь величины.

Методами исследовательской работы стали :

  • Теоретические (анализ, синтез, сравнение научной и учебной литературы, а также ресурсов сети Интернет)
  • Эмпирический (наблюдение, опрос учащихся и учителей МБОУ «Большекайбицкая СОШ»)
  • Качественный анализ полученных в ходе исследования результатов.

Исследование проводилось на базе МБОУ «Большекайбицкая средняя общеобразовательная школа» Кайбицкого муниципального района Республики Татарстан среди 40 учащихся 11-ых классов и 15 учителей.

I этап. Изучение теоретических аспектов «числа е», а также истории возникновения знаменитого числа;

II этап. Разработка вопросов для опросника, проведение опроса с учащимися и учителями. Анализ результатов опроса, выявление первичных результатов;

III этап. Практическая работа – сделать буклет по данной теме и выступить перед одноклассниками , подвести итоги исследовательской работы.

Основное содержание работы

В незапамятные времена, научившись считать, люди познали меру количества – число. Вглядываясь в сочетания чисел, они с изумлением увидели, что числа имеют какую-то самостоятельную жизнь, удивительную и полную тайны; тайны необъяснимой и поэтому загадочной и многозначительной. Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные.…
Как только их не называли! «Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некоторыми планетарными, а другими – магическими», – писал о них известный французский математик, один из создателей теории чисел Пьер де Ферма. Привлекающие естественной красотой, наполненные внутренней гармонией, доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажущейся простотой множества тайн.…

В своей жизни каждый из нас стакивается с числами. Курс школьной программы, да и дальнейшую жизнь, трудно представить без них.

Разговор об экспоненциальности нашего мира невозможно начать иначе, как с рассказа о так называемом «числе е ». Число е – это основание натуральных логарифмов и важнейшая математическая константа (обозначается строчной латинской буквой «e»), которая в высшей математике встречается буквально на каждом шагу, она играет особенно важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении. Иногда число e называют числом Эйлера . Леонард Эйлер (1707 – 1783 гг.) – это самый плодовитый в мире (на открытия) гениальный математик. Именно Эйлер первым ввел символ е (с этой буквы начинается его фамилия – Euler ) и сделал так много открытий, связанных с числом е , что, в конце концов, е стали называть числом Эйлера . Численное значение указанного числа следующее:

e = 2,7 1828 1828 459045235360287471352662497757…,

где 1828 – это… год рождения Л. Н. Толстого (гениального русского писателя и мыслителя), что позволяет легко запомнить 9 цифр после запятой в значении числа е .

Число е – трансцендентное число (доказал Ш. Эрмит в 1873 г.), то есть оно не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами, и не существует закона, по которому чередуются цифры после запятой в значении числа е (ещё в 1961 г. с помощью ЭВМ было получено 100265 десятичных знаков). Предполагается, что e – это нормальное число , то есть вероятность появления разных цифр в его (бесконечной!) записи одинакова.

Иногда число е малообоснованно называют неперовым числом , по имени изобретателя логарифмов Джона Непера (1550–1617).

Число e может быть определено несколькими способами .

  • Число е обозначает предел , к которому стремится выражение е * = (1 + 1/ N )^ N , когда целочисленный параметр N устремляется к бесконечности: N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,… [символ ^ («крышка») будет означать «возведение в степень», то есть выражение в круглой скобке (1+1/ N ) возводится в степень N ]. Короче говоря, выражение е * устремляется к числу е = 2,718281828459045… .

(1 + 1 / 1000) 1000

  • Число е – это сумма бесконечного ряда : е = 1/0! + 1/1! +1/2! +1/3! +1/4! + 1/5! + … (в знаменателе стоят натуральные числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, идущие до бесконечности).
  • Число е – это единственное число, для которого выполняется следующее условие: площадь области под графиком y = 1/ x на интервале от х = 1 до x = e равна 1.

Число е можно представить в виде бесконечной цепной дроби (её открыл Эйлер):

Как и число π, е- трансцендентное число, то есть оно не может быть корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. Подобно тому, как с помощью циркуля и линейки невозможно построить отрезок прямой, длина которого в соответствующих единицах в точности равна π, не существует и способа построения отрезка, длина которого выражалась бы числом е.

Имея огромное применения в математике, остается неотмеченным вопрос: как же его используют в реальной жизни, то есть каково практическое применение числа Эйлера .Число е встречается буквально на каждом шагу в высшей математике, в особенности в задачах теории вероятностей, в реальной жизни оно проявляет себя ярче всего при росте какой – либо величины, будь то рост клетки или банковского счета.

Предположим, что кто-то положил один доллар в банк, выплачивающий 4% годовых. Если проценты простые, то каждый год сумма вклада возрастет на 4% от первоначального капитала. Каждый доллар через двадцать пять лет «вырастет» и превратится в два доллара. Если же банк выплачивает сложный процент, то доллар будет расти быстрее, потому что после каждого начисления процентов капитал немного увеличивается и в следующий раз процент начисляется от большой суммы. Чем чаще производят перерасчет и прибавление прибыли к основному капиталу, тем быстрее растет вклад. При ежегодном начислении сложных процентов доллар за 25 лет превратится в (1+1/25) 25 , то есть в 2,66 долларов. При начислении сложных процентов каждые полгода [если банк выплачивает 4 (сложных) процента годовых, то прирост вклада за каждые шесть месяцев составляет 2%] доллар за 25 лет превратится в (1+1/50) 50 , или 2,69 доллара.

Читайте также:  Сн341а программатор как пользоваться

В рекламных проспектах банков их составители особо подчеркивают, сколько раз в год производится начисление прибыли. Непосвященному может показаться, что при достаточно частом начислении процентов (например, если производит пересчет миллион раз в год) за 25 лет доллар превратится в весьма ощутимую сумму. В действительности ничего подобного не произойдет. Через 25 лет один доллар вырос бы до величины (1+1/n) n , где n- число начисленной прибыли. При n, стремящемся к бесконечности, это выражение стремится к пределу, равному 2,718 , что всего на 3 цента больше той суммы, которая получилась бы, если бы прибыль начислялась лишь раз в полгода. Этот предел и называется числом е .

Предположим, что в банке, выплачивающем простой процент, один доллар через какой-то промежуток времени удваивается. При непрерывном начислении прибыли доллар за то же время превратился бы в е долларов независимо от того, сколько простых процентов прибыли выплачивает в действительности банк. Однако за очень большой промежуток времени даже очень маленькая ежегодная прибыль может увеличить первоначальный капитал до гигантской суммы. Если бы в первом году нашей эры кто-то положил один доллар в банк, выплачивающий 4% годовых, то к 2015 году на его счету было бы уже (1,04) 2015 долларов, то есть сумма вклада выражалась бы огромным числом!

Не все величины возрастают так, как растет капитал в рассмотренных нами примерах. Тип роста, о котором шла речь, обладает одной весьма важной особенностью: в каждый момент времени скорость роста пропорциональна величине того, что возрастет. Иначе говоря, отношение приращения изменяющейся величины к ее текущему значению всегда одно и то же. Величины такого типа изменяются подобно снежному кому, несущемуся с вершины горы: чем больше становится ком, тем быстрее налипает на него снег. Этот тип роста свойствен многим процессам в живой и неживой природе. Все они описываются формулами, в которые входит функция y=е х . Эта функция настолько важна, что она в отличие от других показательных функций, у=а х, где а ≠ е (например, у=2 х ), получила особое название. Её называют экспоненциальной функцией или кратко экспонентой. Экспонента с точностью совпадает со своей производной. Именно этим и объясняется причина столь частого появления экспоненты в формулах математического анализа. Инженеры чаще пользуются десятичными логарифмами, в математическом анализе встречаются исключительно натуральные логарифмы с основанием, равным числу е.

Если держать гибкую цепь за оба конца, то она провиснет по кривой, которая так и называется – цепная линия. В уравнение этой кривой, записанное в декартовых координатах, также входит число е. Висящая цепь образует цепную линию.

Тем же уравнением описывается сечение паруса, надутого ветром (рис 1): если вертикальная составляющая скорости ветра равна нулю, то она выгибает парус так же, как направленная по вертикали сила земного тяготения изгибает цепь. Маршалловы и Каролинские острова, а также острова Гильберта (рис 2)- это вершины потухших подводных вулканов. В сечении вертикальной плоскости они имеют форму цепной линии.

Рис1 рис2 рис3

Рис4 рис5

И самое интересное то, что во всем этом человек не принимает никакого участия! Человеку умному дается возможность переводить все закономерности природы на математические формулы, находить зависимости межды величинами. Поэтому верно изречение «числа управляют миром…»

Французский энтомолог Жан Анори Фарб в книге «Жизнь паука» дает описание цепной линии, непревзойденное по своему красноречию: «бессмысленное число е вновь предстает перед нами, начертанное на этот раз на паутине. Выйдя из дому в туманное утро, рассмотрим внимательно сплетенную за ночь паутину, усеянную крохотными капельками. Её липкие нити провисают под тяжестью груза, образуя цепные линии, и вся сеть становится похожей на множество ожерелий, как бы повторяющих очертания невидимого колокола. Стоит лишь лучу солнца проникнуть сквозь туман, как паутина начинает переливаться всеми цветами радуги, превращаясь в сверкающую гвоздь бриллиантов, и число е предстает перед нами во всем своем великолепии»(рис 3)

Из вышеизложенного следует вывод, что число е является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. Число е позволяет взять простой темп прироста (где разница видна только в конце года) и вычислить составляющие этого показателя, нормальный рост, при котором с каждой наносекундой (или даже быстрее) всё вырастает еще на немного. Число е участвует как в системах с экспоненциальным, так и постоянным ростом: население, радиоактивный распад (рис5), подсчет процентов. Число смертей от опухолевых заболеваний увеличивается с возрастом тоже по экспоненте. Высыхание почвы после дождя – закон изменения влажности, это спадающая экспонента (рис4). Нарастание численности особей биологического вида, размножение бацилл в теле происходит по нарастающей экспоненте. Так что число е – это не случайное, взятое наугад число. Все природные процессы экспоненциальны !

Экспериментальная часть работы.

Для разработки вопросов опросника мы использовали выше предложенные рисунки и фото. Основной идеей при разработке вопросов стали следующие вопросы: что может объединять предложенные рисунки?

Таким образом, опросник включал следующие вопросы:

  • Что вы можете сказать о «числе Эйлера», «экспоненте», «цепной линии»?
  • Знаком ли вам термин «"Все природные процессы экспоненциальны " »?
  • Можно ли “проверить изменение величин по экспоненте”? Каким образом?
  • При начислении сложных процентов даже через 25 лет один доллар вырос бы до величины (1+1/n) n , где n- число начисленной прибыли. При n, стремящемся к бесконечности, это выражение стремится к пределу, равному 2,718 ?

Анализ обработки результатов опроса позволил сделать следующие выводы. Многие участники эксперимента не смогли дать правильные ответы на заданные вопросы. Так, на первый вопрос ответили всего 32% участников. На вопрос 2 ответили положительно 41% участников. На третий вопрос ответили всего 15% респондентов. Четвертый вопрос носил практический характер и его результат формировался на основе наблюдения. Таким образом, мы можем сказать, что большинство участников эксперимента не знают о «числе Эйлера» и его законах.

Для того чтобы устранить данную проблему, мы решили устроить небольшой экскурс в мир «экспоненты» и показать на практическом опыте как начисляются сложные проценты и даже через 25 лет один доллар вырос бы до величины (1+1/n)n , где n- число начисленной прибыли. То есть при n, стремящемся к бесконечности, это выражение стремится к пределу, равному 2,718 . Для этого, нами было организовано внеклассное мероприятие в рамках клуба любителей математики на тему: «Замечательное число е », на котором мною было продемонстрировано соблюдение законов «экспоненты» в жизни людей и в природе.

После окончания практической работы нами был проведен вторичный опрос по вопросам того же опросника. Опрос показал, что 100% учащихся теперь стали понимать и разбираться в вопросах о «числе Эйлера». Таким образом, исследовательская работа дала свои плоды.

За кажущейся простотой и случайностью живого восприятия окружающей действительности скрывается математика. Когда мы слушаем музыку, наш мозг занимается алгеброй. Когда мы смотрим на что-либо, наш мозг занимается геометрией. У человека не может возникнуть отношение к предмету, чувство, эмоция, пока мозг не произвел «измерение», сравнение этого предмета с уже имеющимся в памяти чем-то подобным. Впереди идет математика, а только потом возникает чувство. Эту работу мозг производит мгновенно, потому мы ее не замечаем и не осознаем, и нам кажется, что чувство возникает сразу.

Читайте также:  Согласно результатов экзаменов он был лучшим

В этом году на уроках математики я узнала многое о «экспоненте, числе е » и стала интересоваться, читала много информации на сайте электронной энциклопедии «Википедия», анализировала теоретические работы и энциклопедии.

Не думаю, что эта работа раскрыла в полной мере все секреты, но я вместе с учителем для себя раскрыла новые горизонты. Я точно знаю, что я не стану великим математиком, но уверена, что полученные знания в данной области помогут мне стать гармоничной личностью.

Список использованной литературы

  • Я.И. Перельман. Живая математика. Математические рассказы и головоломки. М: Триада – литера 1994
  • Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса, М., 1990.
  • Гарднер М. Математические досуги, М., 1995.
  • Перельман Я.И. Занимательная алгебра, Екатеринбург, 1994.
  • Перельман Я.И. Занимательная физика, Екатеринбург, 1994.
  • Фельдблюм Б. О самом важном в математике. Л., 1969.
  • Internet ресурсы

Число e всегда волновало меня — не как буква, а как математическая константа. Что число е означает на самом деле?

Разные математические книги и даже моя горячо любимая Википедия описывает эту величественную константу совершенно бестолковым научным жаргоном:

Математическая константа е является основанием натурального логарифма.

Если заинтересуетесь, что такое натуральный логарифм, найдете такое определение:

Натуральный логарифм, ранее известный как гиперболический логарифм, является логарифмом с основанием е, где е – иррациональная константа, приблизительно равная 2.718281828459.

Определения, конечно, правильные. Но понять их крайне сложно. Конечно, Википедия в этом не виновата: обычно математические пояснения сухи и формальны, составляются по всей строгости науки. Из-за этого новичкам сложно осваивать предмет (а когда-то каждый был новичком).

С меня хватит! Сегодня я делюсь своими высокоинтеллектуальными соображениями о том, что такое число е, и чем оно так круто! Отложите свои толстые, наводящие страх математические книжки в сторону!

Число е – это не просто число

Описывать е как «константу, приблизительно равную 2,71828…» — это все равно, что называть число пи «иррациональным числом, приблизительно равным 3,1415…». Несомненно, так и есть, но суть по-прежнему ускользает от нас.

Число пи — это соотношение длины окружности к диаметру, одинаковое для всех окружностей. Это фундаментальная пропорция, свойственная всем окружностям, а следовательно, она участвует в вычислении длины окружности, площади, объема и площади поверхности для кругов, сфер, цилиндров и т.д. Пи показывает, что все окружности связаны, не говоря уже о тригонометрических функциях, выводимых из окружностей (синус, косинус, тангенс).

Число е является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. Число е позволяет взять простой темп прироста (где разница видна только в конце года) и вычислить составляющие этого показателя, нормальный рост, при котором с каждой наносекундой (или даже быстрее) всё вырастает еще на немного.

Число е участвует как в системах с экспоненциальным, так и постоянным ростом: население, радиоактивный распад, подсчет процентов, и много-много других. Даже ступенчатые системы, которые не растут равномерно, можно аппроксимировать с помощью числа е.

Также, как любое число можно рассматривать в виде «масштабированной» версии 1 (базовой единицы), любую окружность можно рассматривать в виде «масштабированной» версии единичной окружности (с радиусом 1). И любой коэффициент роста может быть рассмотрен в виде «масштабированной» версии е («единичного» коэффициента роста).

Так что число е – это не случайное, взятое наугад число. Число е воплощает в себе идею, что все непрерывно растущие системы являются масштабированными версиями одного и того же показателя.

Понятие экспоненциального роста

Давайте начнем с рассмотрения базовой системы, которая удваивается за определенный период времени. Например:

  • Бактерии делятся и «удваиваются» в количестве каждые 24 часа
  • Мы получаем вдвое больше лапшинок, если разламываем их пополам
  • Ваши деньги каждый год увеличиваются вдвое, если вы получаете 100% прибыли (везунчик!)

И выглядит это примерно так:

Деление на два или удваивание – это очень простая прогрессия. Конечно, мы можем утроить или учетверить, но удваивание более удобно для пояснения.

Математически, если у нас есть х разделений, мы получаем в 2^x раз больше добра, чем было вначале. Если сделано только 1 разбиение, получаем в 2^1 раза больше. Если разбиений 4, у нас получится 2^4=16 частей. Общая формула выглядит так:

Другими словами, удвоение – это 100% рост. Мы можем переписать эту формулу так:

Это то же равенство, мы только разделили «2» на составные части, которыми в сущности и является это число: начальное значение (1) плюс 100%. Умно, да?

Конечно, мы можем подставить и любое другое число (50%, 25%, 200%) вместо 100% и получить формулу роста для этого нового коэффициента. Общая формула для х периодов временного ряда будет иметь вид:

Это просто означает, что мы используем норму возврата, (1 + прирост), «х» раз подряд.

Приглядимся поближе

Наша формула предполагает, что прирост происходит дискретными шагами. Наши бактерии ждут, ждут, а потом бац!, и в последнюю минуту они удваиваются в количестве. Наша прибыль по процентам от депозита магическим образом появляется ровно через 1 год. На основе формулы, написанной выше, прибыль растет ступенчато. Зеленые точки появляются внезапно.

Но мир не всегда таков. Если мы увеличим картинку, мы увидим, что наши друзья-бактерии делятся постоянно:

Зеленый малый не возникает из ничего: он медленно вырастает из синего родителя. После 1 периода времени (24 часа в нашем случае), зеленый друг уже полностью созрел. Повзрослев, он стает полноценным синим членом стада и может создавать новые зеленые клеточки сам.

Эта информация как-то изменит наше уравнение?

Не-а. В случае с бактериями, полусформированные зеленые клетки все же не могут ничего делать, пока не вырастут и совсем не отделятся от своих синих родителей. Так что уравнение справедливо.

Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

e — основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Приблизительно равно 2,71828. Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера . Обозначается строчной латинской буквой «e».

Число e играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также во многих других разделах математики.

Поскольку функция экспоненты интегрируется и дифференцируется «в саму себя», логарифмы именно по основанию e принимаются как натуральные.

Оценка числа

2; 43 05 48 52 29 48 35 …

(перечислено в порядке увеличения точности)

[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, …]

(Эта непрерывная дробь не периодическая. Записана в линейной нотации)

2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 7683964243 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 9570350354

Читайте также:  Через сколько отрастут волосы если побриться налысо

Первые 1000 знаков после запятой числа e

Число e может быть определено несколькими способами.

(второй замечательный предел).

(формула Стирлинга).

или .

Как единственное число a , для которого выполняется

Как единственное положительное число a , для которого верно


Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения является функция , где c — произвольная константа.

Число e иррационально и даже трансцендентно. Его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e — нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.

Предположим, что рационально. Тогда , где — целое, а — натуральное.

Умножая обе части уравнения на , получаем

Переносим в левую часть:

Все слагаемые правой части целые, следовательно, и сумма в левой части — целая. Но эта сумма и положительна, значит, она не меньше 1.

С другой стороны,

Суммируя геометрическую прогрессию в правой части, получаем:

Поскольку ,

Число e является вычислимым (а значит, и арифметическим) числом.

, см. формула Эйлера, в частности

Ещё формулы, связывающие числа e и π :

т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»

Для любого комплексного числа z верны следующие равенства:

Число e разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом:

, то есть

Или эквивалентным ему:

Для быстрого вычисления большого числа знаков удобнее использовать другое разложение:

Мера иррациональности числа e равна 2 (что есть наименьшее возможное значение для иррациональных чисел).

Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен .

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует.

Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода. Он обнаружил, что если исходная сумма $1 и начисляется 100 % годовых один раз в конце года, то итоговая сумма будет $2. Но если те же самые проценты начислять два раза в год, то $1 умножается на 1.5 дважды, получая $1.00×1.5² = $2.25. Начисления процентов раз в квартал приводит к $1.00×1.25 4 = $2.44140625, и так далее. Бернулли показал, что если частоту начисления процентов бесконечно увеличивать, то процентный доход в случае сложного процента имеет предел: и этот предел равен 2,71828…

$1.00×(1+1/12) 12 = $2.613035…

$1.00×(1+1/365) 365 = $2.714568…

Таким образом, константа e означает максимально возможную годовую прибыль при 100 % годовых и максимальной частоте капитализации процентов.

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b , встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы.

Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, впервые она встречается в письме Эйлера немецкому математику Гольдбаху от 25 ноября 1731 года, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически», 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера . Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c , буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

Почему была выбрана именно буква e , точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a , b , c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой. Также примечательно, что буква e является первой в фамилии Эйлер (Euler).

Число можно запомнить как 2, 7 и повторяющиеся 18, 28, 18, 28.

Мнемоническое правило: два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45, 90 и 45 градусов). Стихотворная мнемофраза, иллюстрирующая часть этого правила: «Экспоненту помнить способ есть простой: два и семь десятых, дважды Лев Толстой»

Мнемоническое стихотворение, позволяющее запомнить первые 12 знаков после запятой (длины слов кодируют цифры числа e): Мы порхали и блистали, / Но застряли в перевале: / Не признали наши крали / Авторалли .

Правила e связывается с президентом США Эндрю Джексоном: 2 — столько раз избирался, 7 — он был седьмым президентом США, 1828 — год его избрания, повторяется дважды, поскольку Джексон дважды избирался. Затем — равнобедренный прямоугольный треугольник.

С точностью до трёх знаков после запятой через «число дьявола»: нужно разделить 666 на число, составленное из цифр 6−4, 6−2, 6−1 (три шестёрки, из которых в обратном порядке удаляются три первые степени двойки): .

Запоминание e как (с точностью менее 0.001).

Грубое (с точностью до 0,001) приближение полагает e равным . Совсем грубое (с точностью 0,01) приближение даётся выражением .

«Правило Боинга»: даёт точность 0,0005.

С точностью до : с точностью а с точностью

, с точностью 0.000001;

Число 19/7 превосходит число e менее чем на 0,004;

Число 87/32 превосходит число e менее чем на 0,0005;

Число 193/71 превосходит число e менее чем на 0,00003;

Число 1264/465 превосходит число e менее чем на 0,000003;

Число 2721/1001 превосходит число e менее чем на 0,0000002;

Число 23225/8544 превосходит число e менее чем на 0,00000001.

Неизвестно, является ли число элементом кольца периодов.

Неизвестно, являются ли числа и алгебраически независимыми.

Неизвестна мера иррациональности ни для одного из следующих чисел: Ни для одного из них не известно даже, является ли оно рациональным числом, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом.

Неизвестно, является ли первое число Скьюза целым числом.

В IPO компании Google в 2004 году было объявлено о намерении компании увеличить свою прибыль на 2 718 281 828 долл. Заявленное число представляет собой первые 10 цифр известной математической константы.

Теоретически считается, что наиболее производительные компьютеры должны иметь разрядность . Троичные ЭВМ ближе к данному значению, но из-за технических сложностей распространение получили двоичные компьютеры, в которых используются 1 и 0.

В языках программирования символу в экспоненциальной записи чисел соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания и использования языка FORTRAN для математических вычислений.

Ссылки

Горобец Б. С. Мировые константы в основных законах физики и физиологии // Наука и жизнь . — 2004. — № 2. (статья с примерами физического смысла констант и )

J. J. O’Connor, E. F. Robertson. История числа e . MacTutor History of Mathematics archive . School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland ( сентябрь 2001). (англ.)

e for 2.71828… (англ.) (история и правило Джексона)

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock
detector