Что такое линейное пространство

Глава 3. Линейные векторные пространства

Тема 8. Линейные векторные пространства

Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств

В §2.1 определены операция сложения свободных векторов из R 3 и операция умножения векторов на действительные числа, а также перечислены свойства этих операций. Распространение этих операций и их свойств на множество объектов (элементов) произвольной природы приводит к обобщению понятия линейного пространства геометрических векторов из R 3 , определенного в §2.1. Сформулируем определение линейного векторного пространства.

Определение 8.1. Множество V элементов х, у, z. называется линейным векторным пространством, если:

имеется правило, которое каждым двум элементам x и у из V ставит в соответствие третий элемент из V, называемый суммой х и у и обозначаемый х + у;

имеется правило, которое каждому элементу x и любому действительному числу ставит в соответствие элемент из V, называемый произведением элемента х на число и обозначаемый x.

При этом сумма любых двух элементов х + у и произведение x любого элемента на любое число должны удовлетворять следующим требованиям – аксиомам линейного пространства:

1°. х + у = у + х(коммутативность сложения).

2°. (х + у) + z = х + (у + z) (ассоциативность сложения).

3°. Существует элемент , называемый нулевым, такой, что

х + = х, x .

4°. Для любого x существует элемент (– х), называемый противоположным для х, такой, что

х + (– х) = .

5°. ( x) = ( )x, x , , R.

6°. x = x, x .

7°. ( )x = x + x, x , , R.

8°. (х + у) = x + y, x, y , R.

Элементы линейного пространства будем называть векторами независимо от их природы.

Из аксиом 1°–8° следует, что в любом линейном пространстве V справедливы следующие свойства:

1) существует единственный нулевой вектор;

2) для каждого вектора x существует единственный противоположный вектор (– х) , причем (– х) = (– l)х;

3) для любого вектора х справедливо равенство 0×х = .

Докажем, например, свойство 1). Допустим, что в пространстве V существуют два нуля: ₁ и ₂. Положив в аксиоме 3° х = ₁, = ₂, получим ₁ + ₂ = ₁. Аналогично, если х = ₂, = ₁, то ₂ + ₁ = ₂. Учитывая аксиому 1°, получаем ₁ = ₂.

Доказательство свойств 2) и 3) рекомендуется провести читателю самостоятельно.

Приведем примеры линейных пространств.

1. Множество действительных чисел образует линейное пространство R. Аксиомы 1°–8° в нем, очевидно, выполняются.

2. Множество свободных векторов трехмерного пространства, как показано в §2.1, также образует линейное пространство, обозначаемое R 3 . Нулем этого пространства служит нулевой вектор.

Множество векторов на плоскости и на прямой также являются линейными пространствами. Будем обозначать их R 1 и R 2 соответственно.

3. Обобщением пространств R 1 , R 2 и R 3 служит пространство R n , n N, называемое арифметическим n-мерным пространством, элементами (векторами) которого являются упорядоченные совокупности n произвольных действительных чисел (x₁,…, x_n), т. е.

R n = <(x₁,…, x_n) | x_i R, i = 1,…, n>.

Удобно использовать обозначение x = (x₁,…, x_n), при этом x_i называется i-й координатой (компонентой) вектора x.

Для х, у R n и R определим сложение и умножение на число следующими формулами:

x = ( x₁,…, x_n).

Нулевым элементом пространства R n является вектор = (0,…, 0). Равенство двух векторов х = (x₁,…, x_n) и у = (y₁,…, y_n) из R n , по определению, означает равенство соответствующих координат, т. е. х = у Û x₁ = y₁ &… & x_n = y_n.

Выполнение аксиом 1°–8° здесь очевидно.

4. Пусть C_[_a_; _b_] – множество вещественных непрерывных на отрезке [a; b] функций f: [a; b] R.

u = f Û u(х) = ( f)(х) = f(x), " x Î [a; b].

Так введенные операции сложения двух функций и умножения функции на число превращают множество C_[_a_; _b_] в линейное пространство, векторами которого являются функции. Аксиомы 1°–8° в этом пространстве, очевидно, выполняются. Нулевым вектором этого пространства является тождественно нулевая функция, а равенство двух функций f и g означает, по определению, следующее:

f = g f(x) = g(x), " x Î [a; b].

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10237 – | 7597 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Аксиомы линейного пространства

Линейным (векторным) пространством называется множество [math]V[/math] произвольных элементов, называемых векторами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, т.е. любым двум векторам [math]mathbf[/math] и [math]<mathbf>[/math] поставлен в соответствие вектор [math]mathbf+mathbf[/math] , называемый суммой векторов [math]mathbf[/math] и [math]<mathbf>[/math] , любому вектору [math]<mathbf>[/math] и любому числу [math]lambda[/math] из поля действительных чисел [math]mathbb[/math] поставлен в соответствие вектор [math]lambda mathbf[/math] , называемый произведением вектора [math]mathbf[/math] на число [math]lambda[/math] ; так что выполняются следующие условия:

forall mathbf,mathbfin V[/math] (коммутативность сложения);
2. [math]mathbf+(mathbf+mathbf)=(mathbf+mathbf)+mathbf,

forall mathbf,mathbf,mathbfin V[/math] (ассоциативность сложения);
3. существует такой элемент [math]mathbfin V[/math] , называемый нулевым вектором, что [math]mathbf+mathbf=mathbf,

forall mathbfin V[/math] ;
4. для каждого вектора [math]<mathbf>[/math] существует такой вектор [math](-mathbf)in V[/math] , называемый противоположным вектору [math]mathbf[/math] , что [math]mathbf+(-mathbf)=mathbf[/math] ;
5. [math]lambda(mathbf+mathbf)=lambda mathbf+lambda mathbf,

forall mathbf,mathbfin V,

forall lambdain mathbb[/math] ;
6. [math](lambda+mu)mathbf=lambda mathbf+mu mathbf,

forall mathbfin V,

forall lambda,muin mathbb[/math] ;
7. [math]lambda(mu mathbf)=(lambdamu)mathbf,

forall mathbfin V,

forall lambda,muin mathbb[/math] ;
8. [math]1cdot mathbf=mathbf,

forall mathbfin V[/math] .

Условия 1-8 называются аксиомами линейного пространства . Знак равенства, поставленный между векторами, означает, что в левой и правой частях равенства представлен один и тот же элемент множества [math]V[/math] , такие векторы называются равными.

В определении линейного пространства операция умножения вектора на число введена для действительных чисел. Такое пространство называют линейным пространством над полем действительных (вещественных) чисел , или, короче, вещественным линейным пространством . Если в определении вместо поля [math]mathbb[/math] действительных чисел взять поле комплексных чисел [math]mathbb[/math] , то получим линейное пространство над полем комплексных чисел , или, короче, комплексное линейное пространство . В качестве числового поля можно выбрать и поле [math]mathbb[/math] рациональных чисел, при этом получим линейное пространство над полем рациональных чисел. Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться вещественные линейные пространства. В некоторых случаях для краткости будем говорить о пространстве, опуская слово линейное, так как все пространства, рассматриваемые ниже — линейные.

1. Аксиомы 1-4 показывают, что линейное пространство является коммутативной группой относительно операции сложения.

2. Аксиомы 5 и 6 определяют дистрибутивность операции умножения вектора на число по отношению к операции сложения векторов (аксиома 5) или к операции сложения чисел (аксиома 6). Аксиома 7, иногда называемая законом ассоциативности умножения на число, выражает связь двух разных операций: умножения вектора на число и умножения чисел. Свойство, определяемое аксиомой 8, называется унитарностью операции умножения вектора на число.

3. Линейное пространство — это непустое множество, так как обязательно содержит нулевой вектор.

4. Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами.

5. Разностью векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] называется сумма вектора [math]mathbf[/math] с противоположным вектором [math](-mathbf)[/math] и обозначается: [math]mathbf-mathbf=mathbf+(-mathbf)[/math] .

6. Два ненулевых вектора [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] называются коллинеарными (пропорциональными), если существует такое число [math]lambda[/math] , что [math]mathbf=lambda mathbf[/math] . Понятие коллинеарности распространяется на любое конечное число векторов. Нулевой вектор [math]mathbf[/math] считается коллинеарным с любым вектором.

Следствия аксиом линейного пространства

1. В линейном пространстве существует единственный нулевой вектор.

2. В линейном пространстве для любого вектора [math]mathbfin V[/math] существует единственный противоположный вектор [math](-mathbf)in V[/math] .

3. Произведение произвольного вектора пространства на число нуль равно нулевому вектору, т.е. [math]0cdot mathbf=mathbf,

forall mathbfin V[/math] .

4. Произведение нулевого вектора на любое число равно нулевому вектору, т.е [math]lambda mathbf=mathbf[/math] для любого числа [math]lambda[/math] .

5. Вектор, противоположный данному вектору, равен произведению данного вектора на число (-1), т.е. [math](-mathbf)=(-1)mathbf,

forall mathbfin V[/math] .

6. В выражениях вида [math]mathbf[/math] (сумма конечного числа векторов) или [math]alphacdotetacdotldotscdotomegacdot mathbf[/math] (произведение вектора на конечное число множителей) можно расставлять скобки в любом порядке, либо вообще не указывать.

Докажем, например, первые два свойства. Единственность нулевого вектора. Если [math]mathbf[/math] и [math]mathbf‘[/math] — два нулевых вектора, то по аксиоме 3 получаем два равенства: [math]mathbf‘+mathbf=mathbf‘[/math] или [math]mathbf+mathbf‘=mathbf[/math] , левые части которых равны по аксиоме 1. Следовательно, равны и правые части, т.е. [math]mathbf=mathbf‘[/math] . Единственность противоположного вектора. Если вектор [math]mathbfin V[/math] имеет два противоположных вектора [math](-mathbf)[/math] и [math](-mathbf)'[/math] , то по аксиомам 2, 3,4 получаем их равенство:

Остальные свойства доказываются аналогично.

Примеры линейных пространств

1. Обозначим [math]<mathbf>[/math] — множество, содержащее один нулевой вектор, с операциями [math]mathbf+ mathbf=mathbf[/math] и [math]lambda mathbf=mathbf[/math] . Для указанных операций аксиомы 1-8 выполняются. Следовательно, множество [math]<mathbf>[/math] является линейным пространством над любым числовым полем. Это линейное пространство называется нулевым.

2. Обозначим [math]V_1,,V_2,,V_3[/math] — множества векторов (направленных отрезков) на прямой, на плоскости, в пространстве соответственно с обычными операциями сложения векторов и умножения векторов на число. Выполнение аксиом 1-8 линейного пространства следует из курса элементарной геометрии. Следовательно, множества [math]V_1,,V_2,,V_3[/math] являются вещественными линейными пространствами. Вместо свободных векторов можно рассмотреть соответствующие множества радиус-векторов. Например, множество векторов на плоскости, имеющих общее начало, т.е. отложенных от одной фиксированной точки плоскости, является вещественным линейным пространством. Множество радиус-векторов единичной длины не образует линейное пространство, так как для любого из этих векторов сумма [math]mathbf+mathbf[/math] не принадлежит рассматриваемому множеству.

3. Обозначим [math]mathbb^n[/math] — множество матриц-столбцов размеров [math]n imes1[/math] с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1-8 линейного пространства для этого множества выполняются. Нулевым вектором в этом множестве служит нулевой столбец [math]o=egin0&cdots&0end^T[/math] . Следовательно, множество [math]mathbb^n[/math] является вещественным линейным пространством. Аналогично, множество [math]mathbb^n[/math] столбцов размеров [math]n imes1[/math] с комплексными элементами является комплексным линейным пространством. Множество матриц-столбцов с неотрицательными действительными элементами, напротив, не является линейным пространством, так как не содержит противоположных векторов.

Читайте также: Функции хуавей п смарт

4. Обозначим [math][/math] — множество решений однородной системы [math]Ax=o[/math] линейных алгебраических уравнений с и неизвестными (где [math]A[/math] — действительная матрица системы), рассматриваемое как множество столбцов размеров [math]n imes1[/math] с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Заметим, что эти операции действительно определены на множестве [math][/math] . Из свойства 1 решений однородной системы (см. разд. 5.5) следует, что сумма двух решений однородной системы и произведение ее решения на число также являются решениями однородной системы, т.е. принадлежат множеству [math][/math] . Аксиомы линейного пространства для столбцов выполняются (см. пункт 3 в примерах линейных пространств). Поэтому множество решений однородной системы является вещественным линейным пространством.

Множество [math][/math] решений неоднородной системы [math]Ax=b,

b
e o[/math] , напротив, не является линейным пространством, хотя бы потому, что не содержит нулевого элемента ( [math]x=o[/math] не является решением неоднородной системы).

5. Обозначим [math]M_[/math] — множество матриц размеров [math]m imes n[/math] с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1-8 линейного пространства для этого множества выполняются. Нулевым вектором является нулевая матрица [math]O[/math] соответствующих размеров. Следовательно, множество [math]M_[/math] является линейным пространством.

6. Обозначим [math]P(mathbb)[/math] — множество многочленов одной переменной с комплексными коэффициентами. Операции сложения много членов и умножения многочлена на число, рассматриваемое как многочлен нулевой степени, определены и удовлетворяют аксиомам 1-8 (в частности, нулевым вектором является многочлен, тождественно равный нулю). Поэтому множество [math]P(mathbb)[/math] является линейным пространством над полем комплексных чисел. Множество [math]P(mathbb)[/math] многочленов с действительными коэффициентами также является линейным пространством (но, разумеется, над полем действительных чисел). Множество [math]P_n(mathbb)[/math] многочленов степени не выше, чем [math]n[/math] , с действительными коэффициентами также является вещественным линейным пространством. Заметим, что операция сложения много членов определена на этом множестве, так как степень суммы многочленов не превышает степеней слагаемых.

Множество многочленов степени [math]n[/math] не является линейным пространством, так как сумма таких многочленов может оказаться многочленом меньшей степени, не принадлежащим рассматриваемому множеству. Множество всех многочленов степени не выше, чем л, с положительными коэффициентами также не является линейным пространством, поскольку при умножении такого многочлена на отрицательное число получим многочлен, не принадлежащий этому множеству.

7. Обозначим [math]C(mathbb)[/math] — множество действительных функций, определенных и непрерывных на [math]mathbb[/math] . Сумма [math](f+g)[/math] функций [math]f,g[/math] и произведение [math]lambda f[/math] функции [math]f[/math] на действительное число [math]lambda[/math] определяются равенствами:

Эти операции действительно определены на [math]C(mathbb)[/math] , так как сумма непрерывных функций и произведение непрерывной функции на число являются непрерывными функциями, т.е. элементами [math]C(mathbb)[/math] . Проверим выполнение аксиом линейного пространства. Из коммутативности сложения действительных чисел следует справедливость равенства [math]f(x)+g(x)=g(x)+f(x)[/math] для любого [math]xin mathbb[/math] . По этому [math]f+g=g+f[/math] , т.е. аксиома 1 выполняется. Аксиома 2 следует аналогично из ассоциативности сложения. Нулевым вектором служит функция [math]o(x)[/math] , тождественно равная нулю, которая, разумеется, является непрерывной. Для любой функции [math]f[/math] выполняется равенство [math]f(x)+o(x)=f(x)[/math] , т.е. справедлива аксиома 3. Противоположным вектором для вектора [math]f[/math] будет функция [math](-f)(x)=-f(x)[/math] . Тогда [math]f+(-f)=o[/math] (аксиома 4 выполняется). Аксиомы 5, 6 следуют из дистрибутивности операций сложения и умножения действительных чисел, а аксиома 7 — из ассоциативности умножения чисел. Последняя аксиома выполняется, так как умножение на единицу не изменяет функцию: [math]1cdot f(x)=f(x)[/math] для любого [math]xin mathbb[/math] , т.е. [math]1cdot f=f[/math] . Таким образом, рассматриваемое множество [math]C(mathbb)[/math] с введенными операциями является вещественным линейным пространством. Аналогично доказывается, что [math]C^1(mathbb),C^2(mathbb), ldots, C^m(mathbb)[/math] — множества функций, имеющих непрерывные производные первого, второго .и т.д. порядков соответственно, также являются линейными пространствами.

Обозначим [math]T_<omega>(mathbb)[/math] — множество тригонометрических двучленов (часто ты [math]omega
e0[/math] ) с действительными коэффициентами, т.е. множество функций вида [math]f(t)=asinomega t+bcosomega t[/math] , где [math]ain mathbb,

bin mathbb[/math] . Сумма таких двучленов и про изведение двучлена на действительное число являются тригонометрическим двучленом. Аксиомы линейного пространства для рассматриваемого множества выполняются (так как [math]T_<omega>(mathbb)subset C(mathbb)[/math] ). Поэтому множество [math]T_<omega>(mathbb)[/math] с обычными для функций операциями сложения и умножения на число является вещественным линейным пространством. Нулевым элементом служит двучлен [math]o(t)=0cdotsinomega t+0cdotcosomega t[/math] , тождественно равный нулю.

Множество действительных функций, определенных и монотонных на [math]mathbb[/math] , не является линейным пространством, так как разность двух монотонных функций может оказаться немонотонной функцией.

8. Обозначим [math]mathbb^X[/math] — множество действительных функций, определенных на множестве [math]X[/math] , с операциями:

Оно является вещественным линейным пространтвом (доказательство такое же, как в предыдущем примере). При этом множество [math]X[/math] может быть выбрано произвольно. В частности, если [math]X=<1,2,ldots,n>[/math] , то [math]f(X)[/math] — упорядоченный набор чисел [math]f_1,f_2,ldots,f_n[/math] , где [math]f_i=f(i),

i=1,ldots,n[/math] Такой набор можно считать матрицей-столбцом размеров [math]n imes1[/math] , т.е. множество [math]mathbb^<<1,2,ldots,n>>[/math] совпадает с множеством [math]mathbb^n[/math] (см. пункт 3 примеров линейных пространств). Если [math]X=mathbb[/math] (напомним, что [math]mathbb[/math] — множество натуральных чисел), то получаем линейное пространство [math]mathbb^<mathbb>[/math] — множество числовых последовательностей [math]\_^<infty>[/math] . В частности, множество сходящихся числовых последовательностей также образует линейное пространство, так как сумма двух сходящихся последовательностей сходится, и при умножении всех членов сходящейся последовательности на число получаем сходящуюся последовательность. Напротив, множество расходящихся последовательностей не является линейным пространством, так как, например, сумма расходящихся последовательностей может иметь предел.

9. Обозначим [math]mathbb^<+>[/math] — множество положительных действительных чисел, в котором сумма [math]aoplus b[/math] и произведение [math]lambdaast a[/math] (обозначения в этом примере отличаются от обычных) определены равенствами: [math]aoplus b=ab,

lambdaast a=a^<lambda>[/math] , другими словами, сумма элементов понимается как произведение чисел, а умножение элемента на число — как возведение в степень. Обе операции действительно определены на множестве [math]mathbb^<+>[/math] , так как произведение положительных чисел есть положительное число и любая действительная степень положительного числа есть положительное число. Проверим справедливость аксиом. Равенства

показывают, что аксиомы 1, 2 выполняются. Нулевым вектором данного множества является единица, так как [math]aoplus1=acdot1=a[/math] , т.е. [math]o=1[/math] . Противоположным для [math]a[/math] вектором является вектор [math]frac<1>[/math] , который определен, так как [math]a
e o[/math] . В самом деле, [math]aoplusfrac<1>=acdotfrac<1>=1=o[/math] . Проверим выполнение аксиом 5, 6,7,8:

[math]egin mathsf<5)>quad lambdaast(aoplus b)=(acdot b)^<lambda>= a^<lambda>cdot b^<lambda>= lambdaast aoplus lambdaast b,;hfill\[5pt] mathsf<6)>quad (lambda+ mu)ast a=a^<lambda+mu>=a^<lambda>cdot a^<mu>=lambdaast aoplusmuast a,;hfill\[5pt] mathsf <7)>quad lambdaast(muast a)=(a^<mu>)^<lambda>=a^<lambdamu>=(lambdacdot mu)ast a,;hfill\[5pt] mathsf<8)>quad 1ast a=a^1=a,.hfill end[/math]

Все аксиомы выполняются. Следовательно, рассматриваемое множество является вещественным линейным пространством.

10. Пусть [math]V[/math] — вещественное линейное пространство. Рассмотрим множество определенных на [math]V[/math] линейных скалярных функций, т.е. функций [math]fcolon V o mathbb[/math] , принимающих действительные значения и удовлетворяющих условиям:

forall u,vin V[/math] (аддитивность);

[math]f(lambda v)=lambdacdot f(v)

forall lambdain mathbb[/math] (однородность).

Линейные операции над линейными функциями задаются также, как в пункте 8 примеров линейных пространств. Сумма [math]f+g[/math] и произведение [math]lambdacdot f[/math] определяются равенствами:

forall lambdain mathbb.[/math]

Выполнение аксиом линейного пространства подтверждается также, как в пункте 8. Поэтому множество линейных функций, определенных на линейном пространстве [math]V[/math] , является линейным пространством. Это пространство называется сопряженным к пространству [math]V[/math] и обозначается [math]V^<ast>[/math] . Его элементы называют ковекторами.

Например, множество линейных форм [math]n[/math] переменных, рассматриваемых как множество скалярных функций векторного аргумента, является линейным пространством, сопряженным к пространству [math]mathbb^n[/math] .

Лине́йное простра́нство, или ве́кторное простра́нство, является обобщением понятия совокупности всех векторов n-мерного пространства. Линейные пространства — основной объект изучения линейной алгебры.

Определение

Пусть дано поле $ k, $ элементы которого будем называть скалярами. Множество $ mathcal $ называется линейным или векторным пространством над $ k, $ а его элементы называются векторами, если на нём определены операции

векторного сложения $ mathcal imes mathcal o mathcal, $ обозначаемая $ x+y, $ где $ x,yin mathcal, $ и
умножения вектора на скаляр $ k imes mathcal o mathcal, $ обозначаемая $ alpha x, $ где $ alpha in k,; xin mathcal, $

удовлетворяющие следующим условиям:

$ forall x,yin mathcalquad x+y = y+x. $
$ forall x,y,zin mathcalquad (x+y)+z = x+(y+z). $
$ exists heta in mathcal; forall xin mathcal quad x+ heta = x. $
$ forall x in mathcal; exists -xin mathcal quad x + (-x) = heta. $
$ forall alpha,eta in k ; forall x in mathcal quad alpha (eta x) = (alpha eta) x. $
$ forall x in mathcalquad 1 x = x, $ где $ 1 $ – мультипликативная единица в $ k. $
$ forall alpha,etain k ; forall x in mathcalquad (alpha + eta) x = alpha x + eta x. $
$ forall alpha in k; forall x,yin mathcalquad alpha(x+y) = alpha x + alpha y. $

Простейшие свойства

Нейтральный элемент $ heta in L $ является единственным.
$ 0cdotmathbf = heta $ для любого $ mathbf in L $ .
Для любого $ mathbf in L $ противоположный элемент $ -mathbf in L $ является единственным.
$ (-1)mathbf = -mathbf $ для любого $ mathbf in L $ .
$ (-alpha)mathbf = alpha(-mathbf) = -(alphamathbf) $ х $ alpha in P $ и $ mathbf in L $ .

Связанные определения и свойства

Линейное подпространство или

называется линейной комбинацией элементов $ mathbf_1, mathbf_2, ldots, mathbf_n in L $ с коэффициентами $ alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_n in P $ .

Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
Элементы $ mathbf

_1, mathbf_2, ldots, mathbf_n $ называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация (1), равная элементу $ mathbf <0>in L $ . В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.

Бесконечное подмножество векторов из $ L $ называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.

Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом.

Любые $ n $ линейно независимых элементов $ n $ -мерного пространства образуют базис этого пространства.

Любой вектор $ mathbf

in L $ можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:

$ mathbf = alpha_1mathbf_1 + alpha_2mathbf_2 + ldots + alpha_nmathbf_n $ .

Примеры

Пространство функций $ X o P $ образует векторное пространство размерности равной мощности $ X $ .
полевещественных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.

Дополнительные структуры

См. также

Ссылки

Эта статья содержит материал из статьи Линейное пространство русской Википедии.