Глава 3. Линейные векторные пространства
Тема 8. Линейные векторные пространства
Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств
В §2.1 определены операция сложения свободных векторов из R 3 и операция умножения векторов на действительные числа, а также перечислены свойства этих операций. Распространение этих операций и их свойств на множество объектов (элементов) произвольной природы приводит к обобщению понятия линейного пространства геометрических векторов из R 3 , определенного в §2.1. Сформулируем определение линейного векторного пространства.
Определение 8.1. Множество V элементов х, у, z. называется линейным векторным пространством, если:
имеется правило, которое каждым двум элементам x и у из V ставит в соответствие третий элемент из V, называемый суммой х и у и обозначаемый х + у;
имеется правило, которое каждому элементу x и любому действительному числу
ставит в соответствие элемент из V, называемый произведением элемента х на число
и обозначаемый
x.
При этом сумма любых двух элементов х + у и произведение x любого элемента на любое число должны удовлетворять следующим требованиям – аксиомам линейного пространства:
1°. х + у = у + х(коммутативность сложения).
2°. (х + у) + z = х + (у + z) (ассоциативность сложения).
3°. Существует элемент , называемый нулевым, такой, что
х + = х, x
.
4°. Для любого x существует элемент (– х), называемый противоположным для х, такой, что
х + (– х) = .
5°. (
x) = (
)x,
x
,
,
R.
6°. x = x,
x
.
7°. ( )x =
x +
x,
x
,
,
R.
8°. (х + у) =
x +
y,
x, y
,
R.
Элементы линейного пространства будем называть векторами независимо от их природы.
Из аксиом 1°–8° следует, что в любом линейном пространстве V справедливы следующие свойства:
1) существует единственный нулевой вектор;
2) для каждого вектора x существует единственный противоположный вектор (– х)
, причем (– х) = (– l)х;
3) для любого вектора х справедливо равенство 0×х = .
Докажем, например, свойство 1). Допустим, что в пространстве V существуют два нуля: 1 и 2. Положив в аксиоме 3° х = 1, = 2, получим 1 + 2 = 1. Аналогично, если х = 2, = 1, то 2 + 1 = 2. Учитывая аксиому 1°, получаем 1 = 2.
Доказательство свойств 2) и 3) рекомендуется провести читателю самостоятельно.
Приведем примеры линейных пространств.
1. Множество действительных чисел образует линейное пространство R. Аксиомы 1°–8° в нем, очевидно, выполняются.
2. Множество свободных векторов трехмерного пространства, как показано в §2.1, также образует линейное пространство, обозначаемое R 3 . Нулем этого пространства служит нулевой вектор.
Множество векторов на плоскости и на прямой также являются линейными пространствами. Будем обозначать их R 1 и R 2 соответственно.
3. Обобщением пространств R 1 , R 2 и R 3 служит пространство R n , n N, называемое арифметическим n-мерным пространством, элементами (векторами) которого являются упорядоченные совокупности n произвольных действительных чисел (x1,…, xn), т. е.
R n = <(x1,…, xn) | xi R, i = 1,…, n>.
Удобно использовать обозначение x = (x1,…, xn), при этом xi называется i-й координатой (компонентой) вектора x.
Для х, у R n и
R определим сложение и умножение на число следующими формулами:
x = (
x1,…,
xn).
Нулевым элементом пространства R n является вектор = (0,…, 0). Равенство двух векторов х = (x1,…, xn) и у = (y1,…, yn) из R n , по определению, означает равенство соответствующих координат, т. е. х = у Û x1 = y1 &… & xn = yn.
Выполнение аксиом 1°–8° здесь очевидно.
4. Пусть C[a; b] – множество вещественных непрерывных на отрезке [a; b] функций f: [a; b] R.
u = f Û u(х) = (
f)(х) =
f(x), " x Î [a; b].
Так введенные операции сложения двух функций и умножения функции на число превращают множество C[a; b] в линейное пространство, векторами которого являются функции. Аксиомы 1°–8° в этом пространстве, очевидно, выполняются. Нулевым вектором этого пространства является тождественно нулевая функция, а равенство двух функций f и g означает, по определению, следующее:
f = g f(x) = g(x), " x Î [a; b].
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10237 – | 7597 –
или читать все.
91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Аксиомы линейного пространства
Линейным (векторным) пространством называется множество [math]V[/math] произвольных элементов, называемых векторами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, т.е. любым двум векторам [math]mathbf[/math] и [math]<mathbf
forall mathbf,mathbf
2. [math]mathbf
forall mathbf,mathbf
3. существует такой элемент [math]mathbf
forall mathbf
4. для каждого вектора [math]<mathbf
5. [math]lambda(mathbf+mathbf
forall mathbf,mathbf
forall lambdain mathbb
6. [math](lambda+mu)mathbf
forall mathbf
forall lambda,muin mathbb
7. [math]lambda(mu mathbf
forall mathbf
forall lambda,muin mathbb
8. [math]1cdot mathbf
forall mathbf
Условия 1-8 называются аксиомами линейного пространства . Знак равенства, поставленный между векторами, означает, что в левой и правой частях равенства представлен один и тот же элемент множества [math]V[/math] , такие векторы называются равными.
В определении линейного пространства операция умножения вектора на число введена для действительных чисел. Такое пространство называют линейным пространством над полем действительных (вещественных) чисел , или, короче, вещественным линейным пространством . Если в определении вместо поля [math]mathbb[/math] рациональных чисел, при этом получим линейное пространство над полем рациональных чисел. Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться вещественные линейные пространства. В некоторых случаях для краткости будем говорить о пространстве, опуская слово линейное, так как все пространства, рассматриваемые ниже — линейные.
1. Аксиомы 1-4 показывают, что линейное пространство является коммутативной группой относительно операции сложения.
2. Аксиомы 5 и 6 определяют дистрибутивность операции умножения вектора на число по отношению к операции сложения векторов (аксиома 5) или к операции сложения чисел (аксиома 6). Аксиома 7, иногда называемая законом ассоциативности умножения на число, выражает связь двух разных операций: умножения вектора на число и умножения чисел. Свойство, определяемое аксиомой 8, называется унитарностью операции умножения вектора на число.
3. Линейное пространство — это непустое множество, так как обязательно содержит нулевой вектор.
4. Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами.
5. Разностью векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf
6. Два ненулевых вектора [math]mathbf[/math] и [math]mathbf
Следствия аксиом линейного пространства
1. В линейном пространстве существует единственный нулевой вектор.
2. В линейном пространстве для любого вектора [math]mathbf
3. Произведение произвольного вектора пространства на число нуль равно нулевому вектору, т.е. [math]0cdot mathbf
forall mathbf
4. Произведение нулевого вектора на любое число равно нулевому вектору, т.е [math]lambda mathbf
5. Вектор, противоположный данному вектору, равен произведению данного вектора на число (-1), т.е. [math](-mathbf
forall mathbf
6. В выражениях вида [math]mathbf[/math] (сумма конечного числа векторов) или [math]alphacdotetacdotldotscdotomegacdot mathbf
Докажем, например, первые два свойства. Единственность нулевого вектора. Если [math]mathbf
Остальные свойства доказываются аналогично.
Примеры линейных пространств
1. Обозначим [math]<mathbf
2. Обозначим [math]V_1,,V_2,,V_3[/math] — множества векторов (направленных отрезков) на прямой, на плоскости, в пространстве соответственно с обычными операциями сложения векторов и умножения векторов на число. Выполнение аксиом 1-8 линейного пространства следует из курса элементарной геометрии. Следовательно, множества [math]V_1,,V_2,,V_3[/math] являются вещественными линейными пространствами. Вместо свободных векторов можно рассмотреть соответствующие множества радиус-векторов. Например, множество векторов на плоскости, имеющих общее начало, т.е. отложенных от одной фиксированной точки плоскости, является вещественным линейным пространством. Множество радиус-векторов единичной длины не образует линейное пространство, так как для любого из этих векторов сумма [math]mathbf
3. Обозначим [math]mathbb
4. Обозначим [math][/math] — множество решений однородной системы [math]Ax=o[/math] линейных алгебраических уравнений с и неизвестными (где [math]A[/math] — действительная матрица системы), рассматриваемое как множество столбцов размеров [math]n imes1[/math] с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Заметим, что эти операции действительно определены на множестве [math][/math] . Из свойства 1 решений однородной системы (см. разд. 5.5) следует, что сумма двух решений однородной системы и произведение ее решения на число также являются решениями однородной системы, т.е. принадлежат множеству [math][/math] . Аксиомы линейного пространства для столбцов выполняются (см. пункт 3 в примерах линейных пространств). Поэтому множество решений однородной системы является вещественным линейным пространством.
Множество [math][/math] решений неоднородной системы [math]Ax=b,
b
e o[/math] , напротив, не является линейным пространством, хотя бы потому, что не содержит нулевого элемента ( [math]x=o[/math] не является решением неоднородной системы).
5. Обозначим [math]M_[/math] — множество матриц размеров [math]m imes n[/math] с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1-8 линейного пространства для этого множества выполняются. Нулевым вектором является нулевая матрица [math]O[/math] соответствующих размеров. Следовательно, множество [math]M_[/math] является линейным пространством.
6. Обозначим [math]P(mathbb
Множество многочленов степени [math]n[/math] не является линейным пространством, так как сумма таких многочленов может оказаться многочленом меньшей степени, не принадлежащим рассматриваемому множеству. Множество всех многочленов степени не выше, чем л, с положительными коэффициентами также не является линейным пространством, поскольку при умножении такого многочлена на отрицательное число получим многочлен, не принадлежащий этому множеству.
7. Обозначим [math]C(mathbb
Эти операции действительно определены на [math]C(mathbb
Обозначим [math]T_<omega>(mathbb
e0[/math] ) с действительными коэффициентами, т.е. множество функций вида [math]f(t)=asinomega t+bcosomega t[/math] , где [math]ain mathbb
bin mathbb
Множество действительных функций, определенных и монотонных на [math]mathbb
8. Обозначим [math]mathbb
Оно является вещественным линейным пространтвом (доказательство такое же, как в предыдущем примере). При этом множество [math]X[/math] может быть выбрано произвольно. В частности, если [math]X=<1,2,ldots,n>[/math] , то [math]f(X)[/math] — упорядоченный набор чисел [math]f_1,f_2,ldots,f_n[/math] , где [math]f_i=f(i),
i=1,ldots,n[/math] Такой набор можно считать матрицей-столбцом размеров [math]n imes1[/math] , т.е. множество [math]mathbb
9. Обозначим [math]mathbb
lambdaast a=a^<lambda>[/math] , другими словами, сумма элементов понимается как произведение чисел, а умножение элемента на число — как возведение в степень. Обе операции действительно определены на множестве [math]mathbb
показывают, что аксиомы 1, 2 выполняются. Нулевым вектором данного множества является единица, так как [math]aoplus1=acdot1=a[/math] , т.е. [math]o=1[/math] . Противоположным для [math]a[/math] вектором является вектор [math]frac<1>[/math] , который определен, так как [math]a
e o[/math] . В самом деле, [math]aoplusfrac<1>=acdotfrac<1>=1=o[/math] . Проверим выполнение аксиом 5, 6,7,8:
[math]egin
Все аксиомы выполняются. Следовательно, рассматриваемое множество является вещественным линейным пространством.
10. Пусть [math]V[/math] — вещественное линейное пространство. Рассмотрим множество определенных на [math]V[/math] линейных скалярных функций, т.е. функций [math]fcolon V o mathbb
forall u,vin V[/math] (аддитивность);
[math]f(lambda v)=lambdacdot f(v)
forall lambdain mathbb
Линейные операции над линейными функциями задаются также, как в пункте 8 примеров линейных пространств. Сумма [math]f+g[/math] и произведение [math]lambdacdot f[/math] определяются равенствами:
forall lambdain mathbb
Выполнение аксиом линейного пространства подтверждается также, как в пункте 8. Поэтому множество линейных функций, определенных на линейном пространстве [math]V[/math] , является линейным пространством. Это пространство называется сопряженным к пространству [math]V[/math] и обозначается [math]V^<ast>[/math] . Его элементы называют ковекторами.
Например, множество линейных форм [math]n[/math] переменных, рассматриваемых как множество скалярных функций векторного аргумента, является линейным пространством, сопряженным к пространству [math]mathbb
Лине́йное простра́нство, или ве́кторное простра́нство, является обобщением понятия совокупности всех векторов n-мерного пространства. Линейные пространства — основной объект изучения линейной алгебры.
Определение
Пусть дано поле $ k, $ элементы которого будем называть скалярами. Множество $ mathcal
- векторного сложения $ mathcal
imes mathcal o mathcal , $ обозначаемая $ x+y, $ где $ x,yin mathcal , $ и - умножения вектора на скаляр $ k imes mathcal
o mathcal , $ обозначаемая $ alpha x, $ где $ alpha in k,; xin mathcal , $
удовлетворяющие следующим условиям:
- $ forall x,yin mathcal
quad x+y = y+x. $ - $ forall x,y,zin mathcal
quad (x+y)+z = x+(y+z). $ - $ exists heta in mathcal
; forall xin mathcal quad x+ heta = x. $ - $ forall x in mathcal
; exists -xin mathcal quad x + (-x) = heta. $ - $ forall alpha,eta in k ; forall x in mathcal
quad alpha (eta x) = (alpha eta) x. $ - $ forall x in mathcal
quad 1 x = x, $ где $ 1 $ – мультипликативная единица в $ k. $ - $ forall alpha,etain k ; forall x in mathcal
quad (alpha + eta) x = alpha x + eta x. $ - $ forall alpha in k; forall x,yin mathcal
quad alpha(x+y) = alpha x + alpha y. $
Простейшие свойства
- Нейтральный элемент $ heta in L $ является единственным.
- $ 0cdotmathbf
= heta $ для любого $ mathbf in L $ . - Для любого $ mathbf
in L $ противоположный элемент $ -mathbf in L $ является единственным. - $ (-1)mathbf
= -mathbf $ для любого $ mathbf in L $ . - $ (-alpha)mathbf
= alpha(-mathbf ) = -(alphamathbf ) $ х $ alpha in P $ и $ mathbf in L $ .
Связанные определения и свойства
- Линейное подпространство или
называется линейной комбинацией элементов $ mathbf
- Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
- Элементы $ mathbf
- Бесконечное подмножество векторов из $ L $ называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
$ mathbf
Примеры
- Пространство функций $ X o P $ образует векторное пространство размерности равной мощности $ X $ .
- полевещественных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.
Дополнительные структуры
См. также
Ссылки
Эта статья содержит материал из статьи Линейное пространство русской Википедии.