No Image

Что такое передаточная функция

СОДЕРЖАНИЕ
0 просмотров
22 января 2020

Конечной целью анализа САР является решение (если это возможно) или исследование дифференциального уравнения системы в целом. Обычно известны уравнения отдельных звеньев, входящих в состав САР, и возникает промежуточная задача получения дифференциального уравнения системы по известным ДУ её звеньев. При классической форме представления ДУ эта задача сопряжена со значительными трудностями. Использование понятия передаточной функции существенно упрощает её.

Пусть некоторая система описывается ДУ вида .

Введя обозначение = p, где p называют оператором, или символом, дифференцирования, и обращаясь теперь с этим символом как с обычным алгебраическим числом, после вынесения xвых и xвх за скобки, получают дифференциальное уравнение этой системы в операторной форме:

Многочлен от p, стоящий при выходной величине,

называется собственным оператором, а многочлен при входной величине – оператором воздействия

Передаточной функцией называется отношение оператора воздействия к собственному оператору:

В дальнейшем мы будем практически всюду использовать именно операторную форму записи дифференциальных уравнений.

Виды соединений звеньев и алгебра передаточных функций.

Получение передаточной функции САР требует знания правил нахождения передаточных функций групп звеньев, в которых звенья соединены между собой определенным образом. Имеется три типа соединений.

1.Последовательное, при котором выход предыдущего звена является входом для последующего (рис.3.12):

W1(p)
W2(p)
xвх
x
xвых

Рис.3.12. Последовательное соединение звеньев.

Как видно из уравнения (3.41), передаточная функция любой системы с одной стороны, – это отношение оператора воздействия к собственному оператору, а с другой – это отношение выходной величины ко входной. В данном случае передаточная функция соединения имеет вид

2. Параллельное, при котором несколько звеньев имеют общий вход, а выходные величины этих звеньев складываются (рис.3.13):

W1(p)
W2(p)
xвх
xвых=x1+x2
x1
x2

Рис.3.13. Параллельное соединение звеньев.

Новый значок на этой схеме – сумматор. Если встречается сумматор с закрашенным сектором, это означает, что величина, входящая в этот сектор, изменяет свой знак.

Как и ранее, базируясь на понятии передаточной функции, получаем:

3. Встречно – параллельное соединение, или охват звена обратной связью (рис.3.14).

W1(p)
W2(p)
x
xвх
xвх ±x
xвых

Рис. 3.14. Встречно – параллельное соединение.

В зависимости от того, складывается сигнал обратной связи х с входным сигналом хвх либо вычитается из него, различают положительные и отрицательные обратные связи.

Попрежнему базируясь на свойстве передаточной функции, можем написать

Исключив из первых двух уравнений внутреннюю координату х, получим передаточную функцию для такого соединения:

Следует иметь в виду, что в последнем выражении знак плюс соответствует отрицательной обратной связи.

В том случае, когда какое-нибудь звено имеет несколько входов (как, например, объект регулирования), рассматриваются несколько передаточных функций этого звена, соответствующие каждому из входов, например, если уравнение звена имеет вид

где Kx(p) и Kz(p) – операторы воздействий соответственно по входам x и z, то это звено имеет передаточные функции по входам х и z:

В дальнейшем в целях сокращения записей в выражениях передаточных функций и соответствующих операторов будем опускать аргумент «p».

Из совместного рассмотрения выражений (3.46) и (3.47) следует, что

y = W x x+W z z, (3.48)

то есть в общем случае выходная величина любого звена с несколькими входами равна сумме произведений входных величин на передаточные функции по соответствующим входам.

Передаточная функция САР по возмущению.

Обычный вид структуры САР, работающей по отклонению регулируемой величины, таков:

Wo z =Kz/D объект Wo x =Kx/D
Wp y
z
y
-x

Рис.3.15. Замкнутая САР.

Обратим внимание на то обстоятельство, что регулирующее воздействие поступает на объект с измененным знаком. Связь между выходом объекта и его входом через регулятор называется главной обратной связью (в отличие от возможных дополнительных обратных связей в самом регуляторе). По самому философскому смыслу регулирования действие регулятора направлено на уменьшениеотклонения регулируемой величины, и потому главная обратная связь всегда отрицательна. На рис. 3.15:

Wo z – передаточная функция объекта по возмущению;

Wo x – передаточная функция объекта по регулирующему воздействию;

Wp y – передаточная функция регулятора по отклонению у.

Дифференциальные уравнения объекта и регулятора выглядят так:

Подставив х из второго уравнения в первое и выполнив группировку, получаем уравнение САР:

Отсюда передаточная функция САР по возмущению

Подобным путём можно получить и передаточную функцию САР по управляющему воздействию:

где Wp u -передаточная функция регулятора по управляющему воздействию.

3.4 Вынужденные колебания и частотные характеристики САР.

В реальных условиях эксплуатации САР нередко подвергается действию периодических возмущающих сил, что сопровождается периодическими изменениями регулируемых величин и регулирующих воздействий. Таковы, например, колебания судна при ходе на волнении, колебания частоты вращения гребного винта и других величин. В ряде случаев амплитуды колебаний выходных величин системы могут достигать недопустимо больших значений, и это соответствует явлению резонанса. Последствия резонанса часто губительны для испытывающей его системы, например, опрокидывание судна, разрушение двигателя. В системах регулирования такие явления возможны при изменении свойств элементов, вызванном износами, заменой, перенастройкой, отказами. Тогда возникает необходимость либо определения безопасных диапазонов эксплуатационных условий, либо надлежащей настройки САР. Здесь будут рассмотрены эти вопросы в приложении к линейным системам.

Читайте также:  Тихие холодильники для квартиры студии

Пусть некоторая система имеет нижепоказанную структуру:

x=Axsinωt
y=Aysin(ωt+φ)

Рис.3.16. САР в режиме вынужденных колебаний.

Если на систему действует периодическое воздействие х с амплитудой Ах и круговой частотой w, то после окончания переходного процесса на выходе установятся колебания той же частоты с амплитудой Ау и смещенные относительно входных колебаний на фазовый угол j. Параметры выходных колебаний (амплитуда и фазовый сдвиг) зависят от частоты вынуждающей силы. Задача заключается в определении параметров выходных колебаний по известным параметрам колебаний на входе.

В соответствии с передаточной функцией САР, показанной на рис.3.14, дифференциальное уравнение её имеет вид

Подставим в (3.53) выражения для х и у, приведенные на рис. 3.14:

Если рассматривать картину колебаний, смещенную на четверть периода, то в уравнении (3.54) функции синусов сменятся функциями косинусов:

Умножим уравнение (3.54) на i = и сложим полученное с (3.55):

Применяя формулу Эйлера

приведём уравнение (3.56) к виду

Выполним операцию дифференцирования по времени, предусмотренную оператором р=d/dt:

После простых преобразований, связанных с сокращением на exp(iwt), получаем

Правая часть выражения (3.59) похожа на выражение передаточной функции САР и может быть получена из него заменой p=iw. По аналогии она называется комплексной передаточной функцией W(iw), или амплитудно – фазовой характеристикой (АФХ). Нередко употребляют также термин частотная характеристика. Понятно, что эта дробь является функцией комплексного аргумента и может быть представлена ещё и в таком виде:

W(iw) = M(w) +iN(w), (3.60)

где M(w) и N(w) – соответственно вещественная и мнимая частотные характеристики.

Отношение Аух есть модуль АФХ и является функцией частоты:

и называется амплитудно- частотной характеристикой (АЧХ). Фазовый

сдвиг j =j (w) – также функция частоты и называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ). Вычисляя R(w) и j(w) для диапазона частот (0…¥), можно построить на комплексной плоскости в координатах M(w) и iN(w) график АФХ (рис.3.17).

iN(w)
R(w)
j(w)
M(ω)

Рис.3.17. График АФХ.

Очевидны следующие соотношения:

M = Rcosj; N = Rsinj;

АЧХ любой системы представляет наибольший интерес, поскольку даёт возможность определить амплитуду колебаний выходной величины при известных амплитуде и частоте входной величины. На рис. 3.18 показаны возможные на практике виды АЧХ.

ω
R(ω)
ωcp
ωрез

Рис.3.18. Амплитудно-частотные характеристики.

На АЧХ системы 1 виден резонансный пик, соответствующий наибольшей амплитуде вынужденных колебаний. Работа в зоне около резонансной частоты может оказаться губительной и часто вообще недопустима правилами эксплуатации конкретного объекта регулирования. АЧХ вида 2 не имеет резонансного пика и для механических систем более предпочтительна. Видно также, что с увеличением частоты амплитуда выходных колебаний уменьшается. Физически это легко объясняется: любая система в силу присущих ей инерционных свойств легче подчиняется раскачиванию низкими частотами, чем высокими. Начиная с некоторой частоты, колебания на выходе становятся незначительными, и эту частоту называют частотой среза, а диапазон частот ниже частоты среза называют полосой пропускания частот. В теории автоматического регулирования за частоту среза принимают такую, при которой значение АЧХ в 10 раз меньше, чем при нулевой частоте. Свойство системы гасить высокочастотные колебания называется свойством фильтра низких частот.

Рассмотрим методику расчета АЧХ на примере звена второго порядка, дифференциальное уравнение которого

В задачах вынужденных колебаний часто используют более наглядную форму уравнения

где называется собственной частотой колебаний при отсутствии затухания, x =T1w/2 – коэффициент затухания.

Передаточная функция при этом выглядит так:

Заменой p = iw получаем амплитудно-фазовую характеристику

Используя правило деления комплексных чисел, получаем выражение для АЧХ:

Определим резонансную частоту, при которой АЧХ имеет максимум. Это соответствует минимуму знаменателя выражения (3.66). Приравнивая нулю производную знаменателя по частоте w, имеем:

Читайте также:  2000 Год какой век википедия

2(w 2 – w 2 )(-2w) +4x 2 w 2 *2w = 0, (3.67)

откуда получаем значение резонансной частоты, не равное нулю:

Проанализируем это выражение, для чего рассмотрим отдельные случаи, которым соответствуют различные значения коэффициента затухания.

1. x = 0. Резонансная частота равна собственной, и модуль АЧХ при этом обращается в бесконечность. Это случай так называемого математического резонанса.

2. . Поскольку частота выражается положительным числом, а из (68) для этого случая получается либо нуль, либо мнимое число, следует вывод, что при таких значениях коэффициента затухания АЧХ не имеет резонансного пика (кривая 2 на рис.3.18).

3. . АЧХ имеет резонансный пик, причём с уменьшением коэффициента затухания резонансная частота приближается к собственной и резонансный пик становится выше и острее.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Решение дифференциального уравнения (2.2) можно получить не только классическим методом, но также с использованием операционного исчисления, в основе которого лежит преобразование (интеграл) Лапласа.

Преобразование Лапласа представляет собой преобразование некоторой функции вещественной переменной в другую функцию комплексной переменной ,осуществляемое путем интегрирования

,

где исходная функцияназывается оригиналом, а результат преобразования – изображением, – оператор Лапласа.

Существует соответствие между операциями с оригиналами и с изображениями. Так, -кратному дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на , а -кратному интегрированию оригинала в пределах от 0 до соответствует деление изображения на .

Функция-оригинал обладает следующими свойствами:

· определена и кусочно-дифференцируема на всей положительной числовой оси;

· при ;

  • существует такое положительное число , при котором .

Для определения функции-оригинала по известному изображению применяют формулу обратного преобразования Лапласа

Максимальная величина , при которой выполняется это неравенство, называется абсциссой абсолютной сходимости. В АСУ мы обычно имеем дело с функциями, для которых перечисленные выше условия выполняются.

Выражения изображений Лапласа для некоторых элементарных функций приведены в табл.2.1. Более полные таблицы даны в справочной литературе.

Изображения некоторых элементарных функций

Передаточной функцией (в форме изображений Лапласа) называют отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях

. (2.5)

Введём для операции дифференцирования обозначение , т.е. .

В операторной форме уравнение (2.2) имеет вид

(2.6)

где – оператор дифференцирования.

Передаточной функцией системы в операторной форме называют отношение

(2.7)

Передаточная функция определяет динамические характеристики системы или отдельных её элементов.

Итак, передаточная функция в форме изображений по Лапласу

,

где , – полиномы числителя и знаменателя, характеризует систему в области изображений по Лапласу (рис. 2.12).

Рис.2.12. Модель системы (звена) в области изображений по Лапласу

Для линейных систем при нулевых начальных условиях нет необходимости переходить в область изображений, а систему (звено) можно представить блоком

,

как показано на рис. 2.13, и считать, что этот блок осуществляет те же действия, что предусматриваются дифференциальным уравнением (2.6), записанным в операторной форме

,

т. е. – операторное звено во временной области.

Рис.2.13. Модель системы (звена) в операторной форме

Отметим, что (2.7) можно представить в виде отношения полиномов со свободными членами, равными единице

,

где – коэффициент передачи;

;

.

Свободные члены могут равняться и нулю, если, например, в системе имеется интегрирующее звено.

Итак, для стационарных линейных звеньев (систем) при нулевых начальных условиях формально можно сделать подстановку , так как в этом случае дифференцированию оригинала – символическому умножению оригинала на – соответствует умножение изображения на комплексное число .

Все свойства преобразования Лапласа применимы для операторной формы записи дифференциальных уравнений линейных стационарных систем при нулевых начальных условиях, т.е. можно для таких систем считать и тогда выражения (2.5) и (2.7) эквивалентны.

В знаменателе передаточной функции (2.7) записано выражение, аналогичное левой части характеристического уравнения. Поэтому можно считать, что знаменатель передаточной функции есть характеристический полином дифференциального уравнения

Корни характеристического уравнения , будучи подставленными в (2.7), обращают передаточную функцию в бесконечность и называются полюсами передаточной функции. Корни уравнения при подстановке в (2.7) обратят передаточную функцию в нуль и называются нулями передаточной функции.

Дата добавления: 2014-10-15 ; Просмотров: 1404 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Пусть — входной сигнал линейной стационарной системы, а — её выходной сигнал. Тогда передаточная функция такой системы записывается в виде:

Читайте также:  Список игр nintendo wii

,

где и — преобразования Лапласа для сигналов и соответственно:

, .

Дискретная передаточная функция

Для дискретных и дискретно-непрерывных систем вводится понятие дискретной передаточной функции. Пусть — входной дискретный сигнал такой системы, а — её дискретный выходной сигнал, . Тогда передаточная функция такой системы записывается в виде:

,

где и — z-преобразования для сигналов и соответственно:

, .

Связь с другими динамическими характеристиками

  • АФЧХ системы можно получить из передаточной функции с помощью формальной замены комплексной переменной на :

.

  • Импульсная переходная функция является оригиналом (в смысле преобразования Лапласа) для передаточной функции.

Свойства передаточной функции

1. Для стационарных объектов с сосредоточенными параметрами передаточная функция — это дробно-рациональная функция комплексной переменной ():

.

2. Знаменатель передаточной функции — это характеристический полином системы. Полюсы передаточной функции — это корни соответствующего характеристического полинома.

3. В физически реализуемых системах порядок числителя передаточной функции не может превышать порядка её знаменателя .

4. Импульсная переходная функция представляет собой оригинал (преобразования Лапласа) для передаточной функции.

Матричная передаточная функция

Для MIMO-систем вводится понятие матричной передаточной функции. Матричная передаточная функция от вектора входа системы до вектора выхода — это матрица , элемент -й строки -го столбца представляет собой передаточную функцию системы от -й координаты вектора входа системы до -й координаты вектора выхода.

См. также

Ссылки

  • Передаточная функция
  • Программа преобразования передаточной функции в разностное уравнение
Статьи, связанные с теорией управления и моделированием
Основные понятия Динамическая система • Статическая система • Математическая модель • Передаточная функция • Пространство состояний
Классификация систем Линейные стационарные системы (ЛСС)
Фундаментальные свойства систем Устойчивость • Наблюдаемость • Управляемость
Другое Идентификация систем
Смежные понятия Преобразование Лапласа • Z-преобразование • Преобразование Фурье • Дельта-функция
Характеристики систем Импульсная переходная характеристика • АФЧХ • ЛАФЧХ
Способы математического описания
динамических систем
Передаточная функция • Пространство состояний
Разное Автоматика и телемеханика • Исследование операций

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Передаточная функция" в других словарях:

передаточная функция — передаточная функция: Отношение ускорений, измеренных на ладони и в контрольной точке на поверхности перчатки. Примечание Значение передаточной функции свыше единицы говорит об усилении вибрации перчатками. Если это значение меньше единицы,… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

передаточная функция — Отношение выходной величины электрической цепи к входной величине, выраженных в комплексной или операторной форме. [ГОСТ Р 52002 2003] Тематики электротехника, основные понятия Синонимы передаточная функция электрической цепи … Справочник технического переводчика

Передаточная функция — линейной стационарной системы управления (системы автоматического регулирования) отношение изображений (результатов преобразования) выходного и входного сигналов с нулевыми начальными данными. П. ф. системы определяется только её статическими и… … Энциклопедия техники

передаточная функция — Рис. передаточная функция линейной стационарной системы управления (системы автоматического регулирования) — отношение изображений (результатов преобразования) выходного и входного сигналов с нулевыми начальными данными. Наиболее часто… … Энциклопедия «Авиация»

передаточная функция — Рис. передаточная функция линейной стационарной системы управления (системы автоматического регулирования) — отношение изображений (результатов преобразования) выходного и входного сигналов с нулевыми начальными данными. Наиболее часто… … Энциклопедия «Авиация»

передаточная функция — perdavimo funkcija statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. transfer function vok. Übertragungsfunktion, f rus. передаточная функция, f pranc. fonction de transfert, f … Automatikos terminų žodynas

передаточная функция — perdavimo funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. transfer function vok. Übertragungsfunktion, f rus. передаточная функция, f pranc. fonction de transfert, f … Fizikos terminų žodynas

ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ — линейной стационарной системы управления (системы автоматич. регулирования) Лапласа преобразование отклика системы на воздействие единичной импульсной функции (дельта функции) 6 (г) при нулевых условиях в момент t=0 (сам этот отклик наз. функцией … Математическая энциклопедия

передаточная функция — Отношение преобразований по Лапласу аналитической зависимости от времени выходной координаты линейного объекта к также преобразованной по времени входной координате, полученное при нулевом начальном состоянии … Политехнический терминологический толковый словарь

передаточная функция электроакустического преобразователя — передаточная функция преобразователя Отношение сигнала на выходе электроакустического преобразователя, нагруженного на определенную нагрузку, к сигналу на его входе. Примечание Сигналы взяты в форме преобразований Лапласа и Фурье. [ГОСТ 23829 85] … Справочник технического переводчика

Комментировать
0 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock detector