Цикл в транспортной задаче это

Содержание
  1. Теоретический материал по транспортной задаче
  2. Общий план решения транспортной задачи методом потенциалов
  3. Подробная инструкция по решению транспортной задачи
  4. Практическое применение транспортной задачи
  5. Определение:
  6. Транспортная задача – это математическая задача линейного программирования специального вида о поиске оптимального распределения однородных объектов с минимизацией затрат на перемещение.
  7. Вводная часть, с которой желательно ознакомиться
  8. О чем говорится в определении транспортной задачи?
  9. Рассмотрим пример решения транспортной задачи подробно.
  10. Далее, что означают числа в условии транспортной задачи?
  11. Что означают числа в условии транспортной задачи?
  12. Далее – Методы определения первоначального плана транспортной задачи.
  13. Методы определения первоначального плана транспортной задачи.
  14. Рассмотрим самый распространенный метод получения опорного плана – метод северо-западного угла.
  15. Далее опишем метод минимальных стоимостей получения опорного плана.
  16. Метод минимальных стоимостей получения опорного плана
  17. Далее проверим правильность вычисления первоначального плана.
  18. Проверка правильности вычисления первоначального плана
  19. Правило:
  20. Количество заполненных клеток (базисных клеток) в первоначальном плане ВСЕГДА должно быть равно m + n – 1, где m – количество строк, n – количество столбцов
  21. Далее применим метод потенциалов к обоим опорным планам и сравним получившиеся ответы.
  22. Метод потенциалов решения транспортной задачи – шаг 1.
  23. Критерий оптимальности:
  24. если в оценочной матрице нет отрицательных элементов, то решение оптимально, в противном случае решение не оптимально.
  25. Общее количество заполненных (базисных) ячеек при пересчете не должно изменится!
  26. Метод потенциалов — шаг 2

Одна из самых распространенных и востребованных оптимизационных задач в логистике – транспортная задача. В классическом виде она предполагает нахождение оптимального (т.е. сопряженного с минимальными затратами) плана грузоперевозок.

Например, у нас есть сеть розничных магазинов, которым требуется определенное количество товаров. Также имеется ряд складов поставщиков, где требуемые товары хранятся. При этом на каждом складе различный объем запасов этих товаров. Кроме этого нам известны тарифы – затраты на перевозку 1 товара от каждого склада к каждому магазину.

Возникает необходимость разработать такой план перевозок, чтобы магазины получили требуемое количество товаров с наименьшими затратами на транспортировку. Вот именно в таких случаях (и во множестве других) приходится решать транспортную задачу.

Теоретический материал по транспортной задаче

Транспортная задача (задача Монжа – Канторовича) – математическая задача линейного программирования специального вида о поиске оптимального распределения однородных объектов из аккумулятора к приемникам с минимизацией затрат на перемещение.

Для простоты понимания рассматривается как задача об оптимальном плане перевозок грузов из пунктов отправления (например, складов) в пункты потребления (например, магазины), с минимальными общими затратами на перевозки.

Математическая модель транспортной задачи имеет следующий вид:

где: Z – затраты на перевозку грузов;
X – объем груза;
C – стоимость (тариф) перевозки единицы груза;
A – запас поставщика;
B – запрос потребителя;
m – число поставщиков;
n – число потребителей.

Общий план решения транспортной задачи методом потенциалов

Решить транспортную задачу можно различными методами, начиная от симплекс-метода и простого перебора, и заканчивая методом графов. Один из наиболее применяемых и подходящих для большинства случаев методов – итерационное улучшение плана перевозок.

Суть его в следующем: находим некий опорный план и проверяем его на оптимальность (Z → min). Если план оптимален – решение найдено. Если нет – улучшает план столько раз, сколько потребуется, пока не будет найден оптимальный план.

Ниже приведен алгоритм решения транспортной задачи в самом общем виде:

  1. Построение транспортной таблицы.
  2. Проверка задачи на закрытость.
  3. Составление опорного плана.
  4. Проверка опорного плана на вырожденность.
  5. Вычисление потенциалов для плана перевозки.
  6. Проверка опорного плана на оптимальность.
  7. Перераспределение поставок.
  8. Если оптимальное решение найдено, переходим к п. 9, если нет – к п. 5.
  9. Вычисление общих затрат на перевозку груза.
  10. Построение графа перевозок.

Подробная инструкция по решению транспортной задачи

1. Построение транспортной таблицы

Строим таблицу, где указываем запасы материалов, имеющиеся на складах поставщиков (Ai), и потребности заводов (Bj) в этих материалах.

В нижний правый угол ячеек таблицы заносим значение тарифов на перевозку груза (Cij).

2. Проверка задачи на закрытость

Обозначим суммарный запас груза у всех поставщиков символом A, а суммарную потребность в грузе у всех потребителей – символом B.

Транспортная задача называется закрытой, если A = B . Если же A ≠ B , то транспортная задача называется открытой. В случае закрытой задачи от поставщиков будут вывезены все запасы груза, и все заявки потребителей будут удовлетворены. В случае открытой задачи для ее решения придется вводить фиктивных поставщиков или потребителей.

Проверим задачу на закрытость:

A = 10 + 20 + 30 = 60

B = 15 + 20 + 25 = 60

A = B, следовательно данная транспортная задача – закрытая.

3. Составление опорного плана

Составляет предварительный (опорный) план перевозок. Он не обязательно должен быть оптимальный. Это просто своеобразный «черновик», «набросок», улучшая который мы постепенно придем к плану оптимальному.

Есть разные методы нахождения опорного плана. Наиболее распространены следующие:

Суть метода проста – ячейки транспортной таблицы последовательно заполняются максимально возможными объемами перевозок, в направлении сверху вниз и слева направо. То есть сперва заполняется самая верхняя левая ячейка ("северо-западная" ячейка), потом следующая справа и т.д. Затем переходят на новую строку и вновь заполняют ее слева направо. И так пока таблица не будет заполнена полностью.

Подробное описание метода и пример можно посмотреть здесь.

Метод заключается в том, что для заполнения ячеек транспортной таблицы выбирается клетка с минимальным значением тарифа. Затем выбирается следующая клетка с наименьшим тарифом и так продолжается до тех пор, пока таблица не будет заполнена (все запасы и потребности при этом обнулятся).
Подробное описание метода и пример можно посмотреть здесь

Основа метода в нахождении разности (по модулю) между парой минимальных тарифов в каждой строке и столбце. Затем в строке или столбце с наибольшей разностью заполняется клетка с наименьшим тарифом. Затем все эти действия повторяются заново, только при этом уже не учитываются заполненные клетки.
Подробное описание аппроксимации Фогеля и пример можно посмотреть онлайн

4. Проверка опорного плана на вырожденность

Клетки таблицы, в которые записаны отличные от нуля перевозки, называются базисными, а остальные (пустые) – свободными.

План называется вырожденным, если количество базисных клеток в нем меньше, чем m + n -1. Если во время решения задачи получился вырожденный план, то его необходимо пополнить, проставив в недостающем числе клеток нулевую перевозку и превратив, тем самым, эти клетки в базисные (общий баланс и суммарная стоимость перевозок плана при этом не изменятся). Однако проводить пополнение плана, выбирая клетки произвольно, нельзя. План должен быть ациклическим!

Читайте также:  Тесты с несколькими правильными ответами

План называется ациклическим, если его базисные клетки не содержат циклов. Циклом в транспортной таблице называется несколько клеток, соединенных замкнутой ломаной линией так, чтобы две соседние вершины ломаной были расположены либо в одной строке, либо в одном столбце. Ниже приведен пример цикла:

Ломаная линия может иметь точки самопересечения, но не в клетках цикла.

Кол-во базисных клеток = 5

m + n – 1 = 3 + 3 – 1 = 5

Следовательно, первоначальный план перевозок – невырожденный.

5. Вычисление потенциалов для плана перевозки

Для анализа полученных планов и их последующего улучшения удобно ввести дополнительные характеристики пунктов отправления и назначения, называемые потенциалами.

Этот метод улучшения плана перевозок называется методом потенциалов. Есть другие методы итерационного улучшения плана перевозок, но здесь мы их рассматривать не будем.

Итак, сопоставим каждому поставщику Ai и каждому потребителю Bj величины Ui и Vj соответственно так, чтобы для всех базисных клеток плана было выполнено соотношение:

Ui + Vj = Cij

Добавим к транспортной таблице дополнительную строку и столбец для Ui и Vj.

Предположим, что U1 = 0.

Тогда мы сможем найти V3 = C13 – U1 = 1 – 0 = 1.

Зная V3, мы теперь можем найти U3:

По аналогии вычисляем все оставшиеся потенциалы:

6. Проверка плана на оптимальность методом потенциалов

Для каждой свободной клетки плана вычислим разности

ΔCij = Cij – (Ui + Vj )

и запишем полученные значения в левых нижних углах соответствующих ячеек.

План является оптимальным, если все разности ΔCij ≥ 0.

В данном случае план – неоптимальный (ΔC22 7. Перераспределение поставок

Найдем ячейку с наибольшей по абсолютной величине отрицательной разностью ΔCij и построим цикл, в котором кроме этой клетки все остальные являются базисными. Такой цикл всегда существует и единственен.

Отметим ячейку с отрицательной разностью ΔCij знаком «+», следующую знаком «-», и так далее, поочередно.

Затем находим минимальной значение груза в ячейках цикла имеющих знак «-» (здесь это 5) и вписываем его в свободную ячейку со знаком «+». Затем последовательно обходим все ячейки цикла, поочередно вычитая и прибавляя к ним минимальное значение (в соответствии со знаками, которыми эти ячейки помечены: где минус – вычитаем, где плюс – прибавляем).

Получим новый опорный план перевозок:

Так как базисных клеток стало больше, чем m + n – 1, то базисную клетку с нулевым значением делаем свободной:

Снова вычисляем значения потенциалов и разности ΔCij:

На этот раз все разности ΔCij ячеек положительные, следовательно, найдено оптимальное решение.

8. Если оптимальное решение найдено, переходим к п. 9, если нет – к п. 5.

У нас оптимальное решение найдено, поэтому переходим к пункту 9.

9. Вычисление общих затрат на перевозку груза

Вычислим общие затраты на перевозку груза (Z), соответствующие найденному нами оптимальному плану, по формуле:

Zmin = 10 ∙ 1 + 15 ∙ 3 + 5 ∙ 2 + 15 ∙ 1 + 15 ∙ 2 = 110 ден. ед.

Общие затраты на доставку всей продукции, для оптимального решения, составляют 110 ден. ед.

10. Построение графа перевозок

Найдя оптимальный план перевозок, построим граф. Вершинами графа будут «склады» и «магазины». В вершинах укажем соответствующие объемы запасов и потребностей. Дугам, соединяющим вершины графа, будут соответствовать ненулевые перевозки. Каждую такую дугу подпишем, указав объем перевозимого груза.

В результате получится граф, аналогичный изображенному ниже:

Все, транспортная задача решена. Поздравляю!

Практическое применение транспортной задачи

Транспортная задача применяется во многих случаях. Это оптимизация поставок сырья и материалов на производственные предприятия. Это оптимизация доставок товаров со складов в розничные магазины. Это оптимизация пассажирских перевозок, и много-многое другое.

© Копирование материала допустимо только при указании прямой гиперссылки на источник: Галяутдинов Р.Р.

Пригодилась статья? Поделитесь с друзьями:

Библиографическая запись для цитирования статьи по ГОСТ Р 7.0.5-2008:
Галяутдинов Р.Р. Транспортная задача – решение методом потенциалов // Сайт преподавателя экономики. [2013]. URL: http://galyautdinov.ru/post/transportnaya-zadacha (дата обращения: 01.01.2020).

Нашли опечатку? Помогите сделать статью лучше! Выделите орфографическую ошибку мышью и нажмите Ctrl+Enter.

ФОРМУЛЫ –> ТЕРМИНЫ –> БУХУЧЕТ –> НАЛОГИ –> СТАТИСТИКА –> БИОГРАФИИ –> ЗАДАЧИ –> ENGLISH –>

ГАЛЯУТДИНОВ
Руслан Рамилевич

старший преподаватель экономических дисциплин (маркетинг, логистика, рынок ценных бумаг). подробнее

    Типы рыночных структур: совершенная конкуренция, монополистическая конкуренция, олигополия и монополия

Рис. 2.1. Примеры циклов транспортной задачи

Звездочкой отмечены клетки таблицы, включенные в состав цикла. Переход от одного опорного решения к другому осуществляется с помощью цикла. Для некоторой свободной клетки таблицы строится цикл, содержащий часть клеток, занятых опорным решением. Начальной ячейке цикла присваиваем знак (+), следующей по циклу (начать двигаться можно в любом направлении) — знак (-), следующей ячейке цикла — опять (+) и так далее. Находим минимальную поставку по отмеченным знаком (-) вершинам цикла и обозначаем ее в. Значение в вычитаем из вершин цикла, которые помечены знаком (-) и прибавляем его к вершинам цикла, которые помечены знаком (+) По этому циклу перераспределяются объемы перевозок. Перевозка загружается в выбранную свободную клетку и освобождается одна из занятых клеток. Таким образом строится новое опорное решение. Цикл называется означенным, если его угловые клетки пронумерованы по порядку и нечетным клеткам приписан знак «+», а четным – знак «-» (пример такого цикла см.рис. 2.2.).

Рис. 2.2. Примеры означенного циклпа

Сдвигом по циклу на величину в называется увеличение объемов перевозок во всех нечетных клетках цикла, отмеченных знаком «+», на О и уменьшение объемов перевозок во всех четных клетках, отмеченных знаком «-», на в. Если таблица транспортной задачи содержит опорное решение, то при сдвиге по любому циклу, содержащему одну свободную клетку, на величину в = minx, получится опорное решение.

В опорном плане транспортной задачи для любой свободной клетки таблицы существует единственный цикл, содержащий эту клетку и часть клеток, занятых опорным решением.

Один из наиболее простых методов решения транспортных задач является распределительный метод.

В данной статье разберемся с решением транспортной задачи. Все действия будем выполнять пошагово с очень подробными пояснениями. Дадим определение, аналогичное тому, которое дано в ваших учебниках или лекциях.

Определение:

Транспортная задача – это математическая задача линейного программирования специального вида о поиске оптимального распределения однородных объектов с минимизацией затрат на перемещение.

Чтобы не загромождать страницу большим объемом пояснений, разобью весь материал на несколько частей – блоков.

Ну, начнем! Далее Вводная часть, с которой желательно ознакомиться.

Вводная часть, с которой желательно ознакомиться

Существует несколько методов решения транспортной задачи. Мы будем подробно рассматривать два из них:

  • решение транспортной задачи методом потенциалов (рассмотрен в данной статье)
  • решение транспортной задачи с использованием симплекс метода.

Решение задачи методом потенциалов происходит в несколько этапов:

  1. Определение опорного решения.
  2. Применение к найденному опорному решению самого метода потенциалов.
  3. Проверка единственности решения.

Определение опорного плана, в свою очередь, можно выполнить несколькими способами. Мы рассмотрим два из них:

  • метод северо-западного угла
  • метод минимальных стоимостей

(не путать с методами решения самой транспортной задачи. )

О чем говорится в определении транспортной задачи?

У нас есть некоторый груз, который находится на складах: склад 1, склад 2, . склад – это пункты отправления.

Этот груз нам необходимо развести по магазинам: магазин 1, магазин 2, . магазин k – это пункты назначения.

Нам выгоднее как можно эффективнее выполнить работу, т.е. найти такой вариант перевозки, при котором затраты будут минимальными.

Рассмотрим пример решения транспортной задачи подробно.

Транспортная задача задается следующей таблицей:

Далее, что означают числа в условии транспортной задачи?

Что означают числа в условии транспортной задачи?

Рассмотрим постановку транспортной задачи, т.е. что дано в условии и переведем ее с математического языка на язык, понятный нам.

Это наши “склады” – пункты отправления: два склада с товаром: А 1 и А 2

Это объем товара – количество груза, соответственно на складах А1 и А2:

Далее имеем дело с пунктами назначения – с “магазинами”. В нашем случае их 4 штуки: В1, В2, В3 и В4.

И соответственно потребности каждого из магазинов – потребности пунктов назначения:

Числа внутри таблицы – матрица стоимостей, или по другому, расценки перевозки 1 единицы груза из соответствующих пунктов. Эти значения также могут интерпритироваться как расстояния между соответствующими пунктами. Подробности — в условии решаемой задачи.

Например, для перевозки 1 единицы груза из пункта отправления (“склада”) А2 в пункт назначения (“магазин”) В3 надо заплатить 4 условные единицы стоимости, например 4 руб.

Аналогично, мы заплатим 6 рублей за перевозку 1 единицы груза из “склада” А1 в “магазин” В4.

Или та же самая задача может быть задана сразу в более понятном виде:

Возможна текстовая постановка задачи. В этом случае необходимо самим заполнять все ячейки таблицы, исходя из заданных в условии значений.

Далее – Методы определения первоначального плана транспортной задачи.

Методы определения первоначального плана транспортной задачи.

Рассмотрим самый распространенный метод получения опорного плана – метод северо-западного угла.

Называется он так потому, что заполнение таблицы начинается с самой верхней левой (северо-западной) ячейки.

Перед тем, как распределять ресурсы по “магазинам”, проверим, равны ли общие потребности имеющимся ресурсам?

Потребности: 50 + 100 + 75 + 75 = 300

Ресурсы: 100 + 200 = 300

В этом случае говорят, что транспортная задача закрытая. Решение открытой транспортной задачи рассмотрим чуть позже.

Начнем нахождение опорного решения:

Заполним клетку (1;1).

В магазин В1 требуется 50 единиц товара. Со склада А1 отправим в этот магазин 50 единиц.

Потребности магазина В1 выполнены, следовательно, нет необходимости везти туда груз со склада А2.

На складе А1 еще осталось 50 единиц груза. Эти остатки можем направить в магазин В2. Ресурсы склада А1 исчерпаны.

Переходим к складу А2.

Так как потребности магазина В1 выполнены полностью, рассмотрим магазин В2, которому требуется 100-50=50 единиц товара. Направим их туда.

Заметим, на складе А2 осталось еще 200-50=150 единиц груза, которые мы распределим по магазинам В3 и В4, полностью удовлетворяя и их потребности.

Потребности магазинов в товаре полностью выполнены!

Получен опорный (первоначальный) план транспортной задачи.

Рассмотрели северо-западный метод построения первоначального плана (опорного решения).

Далее опишем метод минимальных стоимостей получения опорного плана.

Метод минимальных стоимостей получения опорного плана

Суть метода состоим в том, чтобы в первую очередь направлять груз в те пункты, где “расценки” в матрице стоимостей минимальны. Если клеток с наименьшими тарифами несколько, то заполняется любая из них.

Направляем 100 единиц груза из склада А2 в магазин В2.

Остатки на складе А 2 — 100 единиц. Потребности магазина В 2 выполнены.

Груз со склада А2 отправим в магазин, у которого стоимость перевозки ниже — магазин В3, так как мин(4;7)=4

Размер поставки равен потребности магазина — 75. Остатки со склада 200-100-75=25 перенесем в магазин В4.

Остается только раскидать груз со склада А1 по магазинам: В1 — 50 единиц, В4 — 75-25=50 единиц.

Получили два опорных плана: методом северо-западного угла и методом минимальных стоимостей.

Первый опорный план (по методу северо-западного угла):

Второй опорный план (по методу минимальных стоимостей):

Далее проверим правильность вычисления первоначального плана.

Проверка правильности вычисления первоначального плана

Перед тем как перейти к дальнейшему решению задачи проверим условие:

Правило:

Количество заполненных клеток (базисных клеток) в первоначальном плане ВСЕГДА должно быть равно m + n – 1, где m – количество строк, n – количество столбцов

В нашем случае условие выполняется: 2 + 4 – 1 = 5

Что же делать, если количество заполненных ячеек меньше необходимого?

Во избежании случайных вычислительных ошибок проверим, равны ли суммарные значения каждой строки и каждого столбца соответствующим значениям условия.

200 = 100 + 75 + 25

Видим, суммарные значения элементов каждого столбца равны соответствующим потребностям магазинов.

Несмотря на то, что опорные планы разные, оба приведут к одному оптимальному решению или же к решениям, имеющим одну стоимость перевозки.

Далее применим метод потенциалов к обоим опорным планам и сравним получившиеся ответы.

Метод потенциалов решения транспортной задачи – шаг 1.

Описанную ниже последовательность действий будем повторять несколько раз, с каждым шагом приближаясь к оптимальному решению. Начнем с проверки опорного плана на оптимальность.

Выпишем матрицу стоимостей, данную в условии задачи.

Далее строим рядом две таблицы. Размерность таблиц как и в матрице стоимостей:

количество строк = количеству складов, количество столбцов = количеству магазинов.

Заполняем первую — левую таблицу в соответствии с полученным опорным планом.

Переходим в правую таблицу.

Переносим из матрицы стоимостей значения, которые соответствуют занятым клеткам левой таблицы.

В матрице стоимости эти значения подчеркнуты.

Припишем каждой строке правой таблице потенциалы u1, u2. Каждому столбцу — потенциалы v1, v2, v3, v4.

Для вычисления этих потенциалов в некоторых учебниках составляют систему и из нее определяют неизвестные (покажу на данном шаге).

Мы будем определять значения потенциалов непосредственно из правой таблицы.

Составим систему уравнений по следующему правилу:

Каждое из значений в ячейке (правая таблица) равно сумме потенциалов соответствующей строки и соответствующего столбца.

Например: значение 4 находится в 1-й строке и 1-м столбце. Тогда сумма потенциалов 1-й строки (u1) и 1-ого столбца(v1) равна 4.

Первое уравнение системы: u1 + v1 = 4

Рассмотрим следующее значение таблицы.

Значение 3 находится в первой строке (потенциал u1), втором столбце (потенциал v2).

Второе уравнение системы: u1 + v2 = 3

Аналогично для каждого значения таблицы составим уравнение.

Получим систему уравнений:

Для того, чтобы система имела единственное решение, примем значение одного из потенциалов равным нулю.

Для удобства в качестве этого потенциала всегда будем брать v4.

Тогда система уравнений будет выглядеть:

Решим систему уравнений и получим значения потенциалов:

Так как система очень проста, то значения потенциалов можно получить и устно.

Сумма отмеченных потенциалов равна 7, следовательно, потенциал u2 = 7

Значение 4 базисной ячейки находится во 2-й строке, 3-м столбце, тогда рассмотрим сумму соответствующих потенциалов.

Далее все аналогично:

Значение 2 равно сумме потенциалов 2-й строки и 2-го столбца:

В итоге получили:

Далее приступим к заполнению пустых ячеек (свободные ячейки) правой таблицы.

Свободные ячейки подчиняются тому же правилу суммирования потенциалов.

Вычислим оценочную матрицу, по которой узнаем, оптимален ли рассматриваемый план.

Из каждого элемента матрицы стоимостей вычтем соответствующий элемент правой таблицы:

=

Получили оценочную матрицу. Заметим, что в базисных ячейках всегда получим нули.

Критерий оптимальности:

если в оценочной матрице нет отрицательных элементов, то решение оптимально, в противном случае решение не оптимально.

Согласно критерию оптимальности, решение выше не оптимально, так как в оценочной таблице присутствует отрицательное значение.

Дабы не загромождать решение множеством таблиц, оценочная матрица в нашем решении будет "вписана" в правую таблицу.

Подчеркнутые значения – базисные ячейки, как сказано выше, значения оценочной матрицы в базисных ячейках равны нулю, нули писать не будем. Выделенные значения – значения оценочной матрицы в свободных ячейках, среди них ищем отрицательные значения.

Для перехода к следующему опорному решению выполним следующее (построим цикл пересчета):

– найдем среди отрицательных значений оценочной матрицы максимальный по модулю (или по другому, минимальный среди отрицательных)

– в соответствующей ячейке левой таблицы ставим знак " + "

В нашем примере наименьшее отрицательное значение -2.

Знак " + " ставим в ячейке 1-й строки, 4-го столбца левой таблицы – ячейка соответствующая значению (-2).

Необходимо расставить чередующиеся значения "+ " и " — " в левой таблице так, чтобы получился замкнутый цикл и выполнялись правила:

– остальные знаки цикла (все кроме уже поставленного первого " + ") ставим только в заполненных (базисных) ячейках таблицы,

– если в строке есть "плюс" ("минус"), то в этой строке должен быть и "минус" ("плюс"),

– если в столбце есть " плюс" ("минус"), то в этом столбце должен быть и "минус" ("плюс").

Применим к нашей таблице:

В столбце В4 есть "плюс", следовательно в этом столбце должен быть и "минус".

Аналогично, в строке А2 есть "минус", следовательно должен быть и "плюс".

Если мы поставим этот "плюс" в столбце В3, то цепочка порвется, так как в этом же столбце невозможно поставить "минус" — нет заполненной ячейки.

Ставим " + " в столбце В2 и продолжаем чередовать знаки.

Получили замкнутый цикл чередующихся знаков. Цикл пересчета найден!

Далее обратимся к ячейкам, содержащим "минусы". Среди значений этих ячеек найдем минимальное: Δ = мин <50;75>= 50

К "плюсам" прибавим найденное Δ = 50, в ячейках с "минусами" — вычтем Δ = 50.

Ячейка, в которой находилось значение Δ = 50 останется пустой. В ячейке в которой мы поставили первый плюс появится значение, равное Δ = 50.

Общее количество заполненных (базисных) ячеек при пересчете не должно изменится!

Получили следующий опорный план:

Вычислим стоимость перевозки на первом шаге.

Для этого найдем сумму произведений значений опорного плана и матрицы стоимостей.

S1 = 50 · 4 + 100 · 2 + 75 · 4 + 25 · 7 + 50 · 6 = 1275

На первом шаге решения транспортной задачи получили опорный план:

Общая стоимость перевозки S1 = 1275

Метод потенциалов — шаг 2

Алгоритм проверки плана на оптимальность и построение цикла пересчета очень подробно расписан в шаге 1.

Далее решение задачи будем излагать менее детально.

Для полученного опорного решения строим вспомогательную — правую таблицу и заполняем значениями из матрицы стоимостей базисные ячейки.

Вычисляем потенциалы строк и столбцов:

По правилу суммирования соответствующих потенциалов, заполняем свободные ячейки.

Вычисляем оценочные значения в свободных ячейках.

Для этого из значений матрицы стоимостей вычитаем найденные значения соответствующих свободных ячеек.

Среди оценочных значений нет отрицательных, следовательно план перевозки оптимален.

Получили оптимальный план. Итоговая стоимость перевозки S1 = 1275

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock
detector