Функциональный анализ для чайников

Программист факультета информационных технологий и программирования Денис Антипов рассказал, зачем нужен функциональный анализ будущим специалистам по прикладной математике и информатике.

Если Вам учиться легко, то Вы либо очень способны, либо Вас ничему не учат.

Меня недавно попросили написать текст о том, зачем на факультете информационных технологий и программирования Университета ИТМО нужен такой предмет, как функциональный анализ (как говорят студенты, функан), так как этот вопрос возникает не только среди студентов, но даже преподавателей. Существует и противоположная точка зрения: один наш выдающийся выпускник сказал, что никогда не стеснялся того, что окончил наш вуз, так как в программу, когда он учился, входили такие предметы, как функан и теория функций комплексной переменной. Другой незаурядный выпускник сказал, что после изучения функана, он лучше понял матан (математический анализ).

Меня в первую очередь удивил сам факт того, что у студентов и преподавателей возникает вопрос необходимости этого предмета в учебной программе. Во-первых, для меня вопрос «зачем нужен функан на КТ» стоит в одном ряду с вопросом «зачем нужна математика в школе». Он кажется нелепым по той причине, что функциональный анализ является одним из базовых математических предметов, что пояснено ниже.

Вопрос студентов удивил меня также и тем, что он задается, несмотря на то, что в наше время у всех есть доступ в Интернет. Если погуглить, то легко найти обсуждение этой темы. Например, по запросу «Why learn functional analysis» сразу можно выйти на [1], где приведены примеры применения и причины необходимости функционального анализа в учебной программе по прикладной математике. Указанное обсуждение является далеко не единственным в сети на эту тему. Если же вопрос ставить не только про функциональный анализ, а более общий: зачем вообще нужна чистая математика в учебных программах для обучающихся прикладной математике, то опять по запросу «Why we learn pure math» можно найти обсуждение и этого вопроса, например, в [2].

Правда, для всего этого надо знать английский язык. А тот, кто его не знает или не хочет знать, может затеять дискуссию, зачем в институте учить иностранный язык, и такое можно устроить с любым предметом, который дается весьма непросто, например, с физвоспитанием.

Далее меня удивило то, что студенты в течение многих лет не задавали этот вопрос (у них, по крайней мере, «не поворачивался язык» говорить об этом), и только в последние годы они не стесняются его задавать, причем в такой, например, форме: «Если я собираюсь делать сайты, то зачем мне нужны функан и диффуры?» Возникает вопрос, а туда ли они поступили, и мне кажется, что с такой мотивацией они скоро из вуза исчезнут.

Меня удивило также и то, что люди не задали этот вопрос много лет преподающему функан Николаю Юрьевичу Додонову, который преподает его не только у нас, но и на матмехе СПбГУ, или хотя бы мне, так как многие знают, что я имею отношение к преподаванию математики на кафедре. Мы могли бы объяснить или хотя бы посоветовать посмотреть, например, книгу [3], которая хотя и была издана давно, но приведенные в ней примеры актуальны до сих пор.

Несмотря на это, я все-таки понимаю необходимость написания этого текста. При этом своей задачей ставлю именно сбор разобщенной информации в одном месте. Хорошо, что у меня под рукой есть много источников информации, и я могу просто цитировать людей, которые умнее меня, вместо того, чтобы формулировать какие-то мысли самому. Хотя ближе к концу я добавлю и некоторые свои рассуждения.

На самом деле вопрос необходимости функана куда более глубокий, чем кажется, и уходит корнями в философские вопросы о методах познания. Для начала вспомним, что в Новое время (в XVII веке) появились два основных направления в философии науки — эмпиризм и рационализм, которые во многом противопоставляли себя друг другу [4]. В основе классического рационализма, главные принципы которого были сформулированы Декартом [5], лежит идея возможности логического познания мира. Она берет свое начало еще из «Аналитик» Аристотеля [6]. Эмпиризм, основателем которого принято считать Бэкона [7], напротив, считает возможным только чувственное восприятие мира и ставит единственным критерием истинности эксперимент.

В наше время большинство ученых сходится в том, что ни экспериментальная, ни теоретическая наука не самодостаточны, а дополняют друг друга, и потому они обе необходимы для расширения человеческих знаний. Более подробное рассуждение на эту тему в области эволюционных вычислений можно найти в первой части [8].

Разумеется, стоит признать, что до сих пор даже среди ученых встречаются люди, не признающие чисто теоретические или чисто практические работы (первые встречаются чаще). В этом я убедился на недавней International Conference on Parallel Problem Solving from Nature (PPSN 2018), где потратил минут десять своего доклада на то, чтобы объяснить одному китайцу необходимость теории в области эволюционных вычислений. Однако десяти минут было недостаточно, чтобы изменить мнение убежденного эмпирика, так как, повторюсь, данные вопросы являются философскими.

Функциональный анализ, как это следует из его названия, является теоретической наукой, как и многие другие ветви математики, такие как топология, теория чисел, теория игр и другие. Однако, несмотря на то, что они все являются неприкладными по своей сути, каждая из них нашла применение при решении практических задач. Топология используется в анализе данных (TDA — Topological Data Analysis) [9], теория чисел — в криптографии [10], теория игр — в экономике [11]. Функциональному анализу также было найдено практическое применение. Самым ярким примером является его применение в квантовой механике [12]. Однако сегодня многие студенты нашей кафедры не считают нужным изучать квантовую механику (и, как ни грустно, физику в целом), поэтому более близкий пример для КТ-шников — применение функана для оценки погрешности вычислений численных методов при решении различных задач, в том числе нелинейных, что описано в [3]. Отмечу, что в этой книге содержится много ссылок на другие работы, посвященные практическому применению функционального анализа.

В случае если читателю недостаточно примеров применения функана, отмечу, что он широко используется в теории вероятностей для анализа стохастических процессов [13]. В своей работе я пользуюсь функаном именно в этом контексте. Например, в моей последней публикации с Бенжамином Доерром [14] знания функционального анализа очень помогли осознавать особенности анализируемого стохастического процесса и получить новые научные результаты, например, разработать оригинальный метод анализа эволюционных алгоритмов.

Приведу еще одну причину, почему стоит изучать функан. Известно, что большинство известных математических результатов было получено просто потому, что математикам это было интересно, а не потому, что они знали про какое-либо их практическое применение заранее, которое, тем не менее, было найдено позже (иногда сразу же, а иногда и через много десятилетий): «ищите и обрящете».

Здесь можно вновь привести примеры топологии, теории чисел и теории игр, так как сначала появились эти ветви математики, а только потом люди нашли им практическое применение. Однако наиболее интересным мне кажется пример Джорджа Буля.

Он одним из первых пришел к идее, что математик должен оперировать символами, представляющими некоторые объекты, а не самими объектами. Буль утверждал, что математика не должна привязываться к чему-то реальному и должна быть абстрактной. Это привело его к разработке матлогики и булевой алгебры в 1847 году [15]. И хотя Буль очень хотел, чтобы его алгебра была примером чистой, неприкладной математики, все мы знаем, что после развития вычислительной техники работы Буля стали настолько прикладными, что современный мир просто не мог бы без них обойтись.

Продолжатель дела Буля — Клод Элвуд Шеннон окончил MIT по специальности «электротехника и математика». Это позволило ему приложить теорию Буля к релейно-контактным схемам. Однако мне рассказывали о выдающемся математике, который долго расспрашивал, существенно ли, что диод проводит только в одну сторону.

Таким образом, одной математики тоже может быть недостаточно, и именно поэтому в направлении подготовки или специальности нашей «кафедры» и есть слово «прикладная». Но прикладная математика, а еще и информатика. Последнее слово еще больше усугубляет необходимость изучения математики, так как оно является переводом c английского термина Computer Science — компьютерная наука. Тот, кто этого не понимает или не хочет понимать и учить, как говорится, свободен … от обучения у нас.

Кстати, если это так, то для познания компьютерной науки очень неплохо начать ей заниматься уже в студенческие годы, так, во-первых, выдающийся российский хирург Н. И. Пирогов говорил: «Отделить учебное от научного нельзя. Но научное без учебного все-таки светит и греет, а учебное без научного — только блестит», а, во-вторых, без получения хотя бы каких-то научных результатов магистерскую выпускную работу у нас не защитить. И еще. Не путайте национальный исследовательский университет, куда вы поступили, с профессионально-техническим училищем, курсами или даже институтом повышения квалификации, а также богодельней…

Читайте также:  Успокоительные в каплях без вкуса и запаха

Возвращаясь к функциональному анализу, заметим, что он так же, как и булева алгебра, развивался не столько с целью практического применения, сколько ради расширения математических знаний. Хоть он и берет свое начало примерно в одно время, что квантовая механика, после получения основных результатов функана в квантовой механике произошел значительный прорыв [12]. Оказалось, что самосопряженные операторы как нельзя лучше подходят для описания изменений в квантовой системе. Более того, понятие «спектр оператора» оказалось тесно связанным с физическим спектром. Применение функционального анализа для оценки погрешностей было предложено только после того, как вычислительная техника достаточно развилась — с конца 40-х годов XX века. Если же говорить про применение функана к стохастическим процессам, то оно началось с квантовой механики. Кроме того, с развитием вычислителей появилось множество вероятностных алгоритмов, для анализа которых также были необходимы средства из функционального анализа.

Таким образом, математику и, в частности, функциональный анализ стоит изучать не только ради собственного интереса, но и для практической пользы, которая может быть получена позже, а, может быть, и не получена…

Три выдающихся математика имели результаты и в области функционального анализа. Это им не помешало, а, возможно, помогло, получить выдающиеся практические результаты. Первый из них — Джон фон Нейман (он считается основоположником современного функционального анализа), создавший структуру ЭВМ, которая повсеместно применялась до последнего времени. Второй — Норберт Винер (в функане известна теорема Пэли-Винера-Шварца) — создатель кибернетики, а еще известны фильтры Винера, которые совершенствовались сначала Хопфом, а потом — почетным доктором Университета ИТМО Рудольфом Калманом. Третий — Андрей Колмогоров (известна книга Колмогоров А. Н. , Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. МГУ, 2006). Полученные им результаты в разных областях математики нашли многообразные применения в теории информации, теории вероятностей и теории алгоритмов.
И, наконец, даже если вы не хотите иметь ничего общего с квантовой физикой, численными методами и вероятностями, вам все равно целесообразно изучать функциональный анализ. Доктор физ-мат. наук, профессор Юрий Шполянский, выпускник Университета ИТМО 2000 года, сказал, что функциональный анализ был самым сложным предметом из всей учебной программы на кафедре, и что, хотя он сам не применяет его на практике, этот предмет, по мнению Юрия, является очень полезным для мозга.

Я полностью согласен с этими словами: в IT-индустрии, безусловно, много направлений, не требующих от программистов знаний в области функционального анализа, однако как можно добиться существенных успехов в этой области без хорошо развитого математического мышления? Павел Дуров наверняка не знает функана, но зато его брат Николай изучал функан точно, так как учился и защитил в свое время PhD по чистой математике [16]. Именно такая комбинация предпринимательского и математического талантов помогла братьям подняться до нынешних высот.

Если у Вас есть таланты Гейтса или Джобса, то вы, как и они, можете не учить математику, но в их компании на работу вас без знания математики вряд ли возьмут. Кстати, одно из часовых (!) собеседований Ивана Белоногова, когда он поступал на работу в компанию OpenAI [17], было посвящено теории вероятностей и линейной алгебре, и он нормально прошел это испытание, как, впрочем, и все остальные.

Для развития математического мышления мало одного математического предмета в семестр (как это у нас происходит в гуманитарной области). Для этого учебная программа должна содержать целый комплекс различных фундаментальных дисциплин, включающий в себя не только анализ (математический и функциональный), но и теорию вероятностей, матстатистику, дифференциальные уравнения, теорию функций комплексной переменной, теорию чисел и ряд других. Только тогда выпускник факультета сможет считать себя человеком с высшим образованием, а не стоять в одном ряду с программистами-самоучками, которые выучили несколько языков программирования с помощью Google для того, чтобы «кодить», что многим нравится делать вне зависимости от того, как результаты их «творчества» будут использоваться компаниями, в которых они работают.

Надо признать, что в последнее время в связи с развитием технологий, растет объем и число предметов, которые следует преподавать студентам нашего направления (в том числе факультативно). Однако это не значит, что нужно уменьшать объем математических дисциплин в учебной программе, а надо повышать требования к студентам. К нам идут одни из самых талантливых школьников России в надежде получить лучшее образование, и вуз должен отвечать ожиданиям не только самих студентов, но и их родителей. Не все поступающие могут справиться с нагрузкой, которую предполагает трудное обучение, однако это не является поводом подстраивать программу под них. В стране существует множество других программ, на которых обучают программированию, но с более простыми учебными планами. Я говорю не только об Университете ИТМО: в стране 450 вузов, в которых готовят IT-специалистов, которые могут составить народное IT-ополчение, в то время как мы готовим спецназ.

1. У функана есть множество практических применений [3, 12, 13].

2. Функан является сложным предметом, но это не причина не изучать его, хотя бы как предмет по выбору.

3. Функан, как и любая другая математическая дисциплина, может оказаться полезным в самых неожиданных областях.

4. Функан вносит неоценимый вклад в развитие математического мышления.

Я очень надеюсь, что данный текст поможет тем, кто учится на нашей кафедре, лучше понять, почему им нужен функан.
Текст написан мною при участии Анатолия Абрамовича Шалыто, который был также инициатором его написания. Мы благодарны коллегам за рецензирование текста.

P. S. Прочтя этот текст, Федор Царев спросил: «Есть краткий ответ на этот вопрос?». Шалыто ответил: «Специальность, по которой обучаются наши студенты называется „Прикладная, но математика“, а еще и „информатика“ (по-английски — Computer Science), а науки без математики не бывает. В Японии в настоящее время гуманитарные предметы не считают наукой, если там нет математики, программирования, моделирования и т. д. А математики, в свою очередь, не бывает без функана. Как сказал наш молодой fellowship Никита Алексеев: „Если человек не учил функан, то о чем с ним разговаривать?“ Пока вы молоды, надо глубоко учить математику, а параллельно с этим и после — все то, что предлагается здесь». Федя продолжил: «Вот это хороший ответ! Не ясно только, зачем весь остальной текст нужен)))».

[1] What is the main purpose of learning about different spaces, like Hilbert, Banach, etc?

[2] What is the «purpose» of pure mathematics?

[3] Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. Мир, М. 1969.

[4] Львов А.А. Курс лекций по дисциплине «История и философия науки». Лекция 5. Эксперимент и классическая наука Нового времени.

[5] Декарт Р. Рассуждение о методе, с приложениями: Диоптрика, Метеоры, Геометрия. Классики науки. Изд-во Академии наук СССР, 1953.

[6] Аристотель. Аналитики. Госполитиздат, Ленинград, 1952.

[7] Klein J., Bacon F. In The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2016.

[8] Doerr B., Doerr C. Theory for non-theoreticians / Proceedings of the 2016 on Genetic and Evolutionary Computation Conference Companion (GECCO ’16 Companion), p. 463−482, NY, USA, 2016.

[9] Appliedtopology — source material for topological data analysis.

[10] Goodrich M., Tamassia R. Algorithm design: Foundations, analysis, and Internet examples. 2002.

[11] Neumann J. Theory of games and economic behavior. Princeton University Press, Princeton, 2007.

[12] Neumann J., Beyer R. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Investigations in physics. Princeton University Press, 1996.

[13] Bobrowski A. Functional Analysis for Probability and Stochastic Processes: An Introduction. Cambridge University Press, 2005.

[14] Antipov D., Doerr B. Precise runtime analysis for plateaus. CoRR, abs/1806.1 331, 2018.

[15] Boole G. The Mathematical Analysis of Logic: Being an Essay Towards a Calculus of Deductive Reasoning. Cambridge Library Collection — Mathematics. Cambridge University Press, 2009.

[16] Nikolay Durov in nLab.

Денис Антипов

Программист факультета информационных технологий и программирования, сотрудник международная лаборатория «Компьютерные технологии»

000000000
Относится к разделам:

Математика

В математике существует превеликое множество всяческих разделов, подразделов, направлений и течений. Самым трудным из них в рамках университетского курса прикладной математики для меня оказался функциональный анализ. И, по всей видимости, не для меня одного, раз сей предмет получил шутливое название “анальный функционализ” среди студентов околоматематических специальностей. Экзамен по нему я сдал аж с четвертого раза, из–за чего потерял маленькую, но очень вожделенную стипендию на целый семестр. Ну а более–менее ясное понимание идей и методов этого раздела математики пришло ко мне лишь через пару лет после окончания курса. Этим своим видением сего премудрого колдунства под гордым названием “Функциональный анализ” (далее “функан”) я бы и хотел поделиться с почтенной публикой.

Сразу оговорюсь, что я не работаю по специальности и не являюсь экспертом в области теории функций и функционального анализа. Даже в аспирантуре я не учился, хотя и сдал все необходимые экзамены — слишком уж мало у нас зарабатывают молодые ученые, к сожалению (дело было пять лет назад, не знаю, как сейчас). А мне тогда хотелось пить пиво с друзьями и зажигать с девчонками по клубам. Поэтому, сразу после защиты магистерской, со скупой слезой на глазах я отверг предложение об аспирантуре в нашем мухосранском отделении института прикладной математики РАН, и полностью погрузился в унылые будни офиснопланктонского существования.

Читайте также:  200W switching power supply схема

Ввиду вышесказанного, все ниженаписанное не может и не должно претендовать на строгость, точность или полноту изложения. Повторюсь, это лишь мой личный взгляд на предмет и оно должно расцениваться только как попытка приоткрыть завесу тайны для всех интересующихся — что же происходит там, за пределами “традиционной” высшей математики, матанализа и линейной алгебры, известных многим по первым курсам ВУЗов. Я лишь хочу сделать набросок в самых общих чертах, как выглядит это прекрасное загадочное далёко, на что оно похоже и можно ли его курить. Поэтому, уважаемые господа математики, физики и прочие Шелдоны Куперы, прошу вас строго меня не судить и по возможности понять и простить. К тому же это мой первый пост на dirty.ru. Да, и я буду очень рад вашим замечаниям и дополнениям в комментариях.

Причина глубокой сложности сего предмета в его высочайшей степени абстрактности. Абстрактность здесь настолько суровая, что даже всемогущий Чак Норрис, думаю, способен лажануть. Вы можете возразить, мол, математика — это же и так одна сплошная абстракция: интегралы, производные, матрицы, вот это все. Но нетушки, тут случай гораздо более запущенный. Тот же интеграл, например, можно вообразить в виде закрашенного кусочка под графиком функции:

Аналогичным образом, если постараться, можно нарисовать себе картинку многих математических абстракций — производных, векторов, тензоров и даже, при желании, некоторых алгебраических структур, наподобие групп . Все это вполне себе прекрасно помещается в нашем воображении и дает более–менее правдоподобное представление о рассматриваемом объекте. Но когда дело доходит до функана, как и в случае с квантовой механикой, наступает облом — картинку изучаемых там процессов воображение рисовать наотрез отказывается. Дабы не быть голословным, давайте вместе попробуем состряпать типичный объект, изучаемый этой дисциплиной.

Строительство начнем с простого. Возьмем обычный отрезок — кусочек прямой, ограниченный двумя точками. Можно обозвать его более заумно — часть одномерного пространства, ограниченного с двух сторон. Про размерность пространства, думаю, все имеют определенное представление, останавливаться здесь не будем. Замечу лишь, что наше интуитивное представление о размерности пространства совпадает с точным занудным математическим определением.

Теперь, усложним наш объект — добавим к нему еще одно измерение и ограничим его там точно так же с двух сторон. Мы получили квадрат на плоскости, для понимания происходящего по–прежнему не требуется повышенное содержание пядей во лбу. Добавим еще одно измерение и мы увидим обычный куб. Правда если присмотреться, то обычный он только для нас с вами. А, скажем, для двумерных героев сериала “Симпсоны” трехмерный куб является объектом фантастическим, находящимся за гранью их понимания. Они этому факту даже кусочек хэллоуиновской серии посвятили .

Двигаемся дальше — нарастим еще одно, уже четвертое измерение. На сей раз мы имеем нечто интересное под названием “гиперкуб” или “ тессеракт ”. Вообразить этот объект может уже далеко не всякий. В расплющенном до нашего трехмерного пространства виде эта штука выглядит примерно так:

Ну что, не устали? Тогда двигаемся дальше. Продолжим наращивать измерения — пятое, шестое, седьмое, …, сто тридцатое, …, семь миллионов девятое. ЧислоГрэммовое , ЧислоГрэммаПлюсПервое, ….. Наш гиперкуб уже не просто гиперкуб, а супер–пупер–гиперкуб, но даже и эта штука не настолько крутая, чтобы на нее обратили внимание нерды с кафедры функционального анализа.

И что же делать? Как нам добраться до цели? Выход один: сделать количество измерений равным бесконечности.

За последнюю фразу, вообще говоря, на математическом симпозиуме можно получить по щщам с вертухи, т.к. равной бесконечности никакая величина быть не может, ибо бесконечность — это процесс. Но мы не на симпозиуме и я позволю себе пошалить и вдоволь покидаться умными и не очень словами не особо переживая за их точный математический смысл. Да простит меня за эти шалости почтенный Николя Бурбаки .

Итак, мы добрались до финиша, построив какую–то непонятную хреновину в виде куба с бесконечным количеством сторон. Забавный каламбур — несмотря на то, что всю дорогу у нас был куб, полученную сущность математики почему–то именуют шаром. Такой вот шар бесконечномерного пространства, а также само бесконечномерное пространство и действующие в нем всякие фиговины, под названием “отображения” — это и есть та самая неведомая хренотень , которую изучает функан. Такие дела.

Теперь вы имеете самое минимальное представление о том, над чем горбатятся яйцеголовые очкарики на средних и старших курсов мехмата. Дальше, как вы догадываетесь, будет только хуже.

Согласен, функан расширяет сознание похлеще некоторых веществ. Спасибо его основателям во главе со Стефананом Банахом за бесплатный опиум.

Сам функан, как это ни парадоксально, задумывался из желания унифицировать, и тем самым упростить жизнь математиков. Все дело в том, что огромная часть задач, встречающихся на практике, начиная от того, сколько бутылок водки надо купить на компанию из 14ти человек, чтоб всем хватило, заканчивая расчетом двигателя для Боинга, сводятся к различного рода уравнениям — алгебраическим, дифференциальным, интегральным и т.п.. На первый взгляд, может показаться, что все эти уравнения очень разные. Действительно, посмотрите, как они выглядят внешне:

Бывают и другие типы уравнений, а так же целые системы из них, и они так же внешне не похожи на представленные здесь. Но это только на первый взгляд.

Дотошные математики давно стали замечать, что несмотря на всю кажущуюся непохожесть, решения абсолютно разных по своей природе уравнений ведут себя настораживающе сходным образом. Например, если А и В — это решения какого либо из приведенных выше примеров, то их сумма А+В тоже будет решением этого примера. И даже не просто сумма, а вот такая штука k*A+m*B, где k и m — это обычные числа (множители), так же сгодится под решение.

И вот, зацепившись за столь незначительный, с первого взгляда, факт, неутомимые матанщики умудрились построить целую теорию, позволяющую изучать все эти совершенно разные уравнения как одно и то же, не вдаваясь в их абсолютно разную природу и происхождение. В конце XIX — начале ХХ века до математиков медленно начало доходить, что во всех этих случаях происходит один и тот же процесс, записываемый символически вот так:

Забавно, но все принципы функционального анализа одинаково хорошо работают как для обычной мясорубки, так и для дифференциального уравнения. Поэтому, производство фарша будет хорошей аналогией для демонстрации прелестей сабжа.

Предметы в бесконечномерном пространстве ведут себя не так как в конечномерном. Например, теряет смысл понятие объема. В самом деле квадрат со стороной 2 имеет площадь (2D–объем) 2х2=4, объем 3D куба со стороной 2 равен 2х2х2=8, 4D, как не сложно догадаться 2х2х2х2=16 и т.д.. Соответственно, объем бесконечномерного куба будет равен бесконечности. В кубе с ребром 1 можно уместить бесконечное количество кубов с ребром 0,5, и при этом они не будут друг друга даже задевать. Классический матан на этом месте сдувается — ему же надо чтоб были бесконечно малые, пределы, вот это вот все (если кто помнит), а какие тут могут быть пределы, если даже бесконечно малый куб при ближайшем рассмотрении оказывается беспредельно большим? Ясен пень, что никаких.

Вообще, функан соотносится с обычным матаном примерно так же, как теория относительности с ньютоновской механикой. Как при малых скоростях Эйнштейн=Ньютон, точно так же и в конечномерных пространствах функан=матан.

Функциональный анализ имеет в своем арсенале несколько очень важных для приложений результатов, благодаря которым решается множество серьезных проблем в современных математике и физике. Жаль, что не все из них я смогу объяснить на примере фарша с мясорубкой.

Вернемся к нашим аналогиям. Итак, фарш — это продукт, который состоит из множества ингредиентов — свинина, говядина, баранина, соль, сало, перец и т.п.. Представим, что таких ингредиентов в нашем фарше смешивается бесконечное количество. Стало быть каждый конкретный рецепт приготовления фарша — это своего рода точка бесконечномерного пространства: если по оси говядины отложить столько–то кг, по оси свинины столько–то, по оси сала столько–то и т.д. мы получим точку в бесконечномерном пространстве по аналогии с трехмерной системой координат, где вместо осей XYZ идет бесконечное количество осей с ингредиентами.

Мясорубка — это предмет, который пропускает фарш через себя и тем самым меняет его состав. Пускай у нас будет немного волшебная мясорубка: скажем, она сможет менять количество ингредиентов в фарше — уменьшать объем соли или увеличивать содержание свинины в фарше, или все вместе, или все наоборот.

Читайте также:  Телевизор dns m24dm8 как прошить

Если наш фарш математики привыкли именовать “точкой” или “вектором”, то мясорубку они будут называть “оператором”.

Попытаемся сформулировать в кухонных терминах одну из главных теорем функционального анализа — теорему Банаха об обратном операторе. Для солидности приведем ее обычную формулировку (прошу вас в нее не вдумываться — она здесь просто для картинки):

Теорема Банаха об обратном операторе. Пусть X, Y — банаховы пространства, оператор A ∈ L(X, Y ) взаимооднозначно отображает X на все Y (т.е. KerA = <0>, ImA = Y ). Тогда A непрерывно обратим.

Несмотря на всю суровость и непонятность формулировки, обозначает она лишь то, что если во–первых, мощность мясорубки не бесконечна, и во–вторых, при помощи этой мясорубки теоретически можно получить любой фарш с любой рецептурой, если подобрать правильные компоненты, то по–любому найдется такая волшебная антимясорубка, которая сможет восстанавливать из фарша исходные ингредиенты.

Проще говоря, эта теорема дает условия, при которых у мясорубки существует ей обратная антимясорубка. Естественный возникающий при этом вопрос: на кой оно нам вообще надо? А надо вот зачем. Если помните, то наша основная задача в мясорубочном процессе — это зная мясорубку и получившийся фарш, найти исходные для этого фарша ингредиенты. Иными словами мясорубка и фарш — это известные величины, ингредиенты — неизвестная величина.Если наша мясорубка подходит под условия теоремы, то гарантированно для нее найдется какая–то антимясорубка, пропустив через которую известную величину “фарш”, мы получим искомую величину “мясо”.

Забавно, что теорема не дает никакого понимания, как будет выглядеть сия антимясорубка, и как с ее помощью решить поставленную задачу. Теорема лишь говорит, что решение просто существует и все, какое оно — никто может и не знать. И математиков это вполне устраивает — для них порой узнать существует ли решение задачи или нет, важнее отыскания самого решения. На эту тему у них даже есть самоироничный анекдот:

В гостинице, куда поселились инженер, математик и физик, возник пожар. Инженер выбегает в коридор, видит на стене пожарный шланг, хватает его, открывает воду и заливает очаг возгорания. Физик, быстро прикинув объем горючих веществ, температуру пламени, теплоемкость воды и пара, атмосферное давление и т.п., наливает в стакан из графина строго определенное количество воды и заливает огонь этой водой. Математик выскакивает в коридор, видит на стене огнетушитель, и, обрадовано воскликнув: "Решение существует!", спокойно возвращается в номер.

Второй важный результат функана, который я попытаюсь объяснить на кулинарной основе, это спектральная теорема, являющаяся одним из главных кирпичей в фундаменте квантовой механики. Перед ее изложением я приведу несколько дополнительных понятий: компактное множество, базис пространства и собственные значения и векторы оператора.

Начнем с первого. Помните, выше мы увидели, что любой куб/шар бесконечномерного пространства имеет бесконечный объем? Выясняется, что, однако, не все объекты в функане бесконечны внутри. Самый простой пример — это конечномерный куб в бесконечномерном пространстве — его объем ограничен. Другие примеры конечного объема в бесконечномерном пространстве имеют более сложное строение, похожее на кусок швейцарского сыра, в котором дырок больше, чем самого сыра, из–за чего общий объем получается не таким уж и большим. Такие объекты называются компактными множествами (или компактами). Математикам удобнее считать, что компакты содержат свою границу, т.е. кожуру. Таким образом, типичным представителем компакта можно считать неочищенную от кожицы краковскую колбасу, в которую забыли добавить сало, и теперь вместо белых пятен у нее на срезе красуются пустоты.

Мясорубка (оператор) тоже может быть компактной. Ее так называют, если она умеет из фарша делать колбасу (по заумному: из шара делает компакт)

Второе нужное нам понятие — это базис. Базис, как не сложно догадаться, является однокоренным к слову “база”, т.е. “основа”. Так вот, базис — это набор ингредиентов, из которых мы собираемся с помощью мясорубки что–нибудь приготовить. Например, по–хорошему, краковская колбаса готовится из свинины, говядины, соли, перца и т.п.. Это и есть базис, на котором мы можем напридумывать кучу рецептов разных колбас. Однако, некоторые недобросовестные производители умудряются приготовить колбасу из совершенно другого набора продуктов: кенгурятины, барсучьего жира, сои, ароматизаторов, идентичных натуральным, и т.п.. На вкус эта “колбаса” будет неотличимой от “настоящей” краковской. Просто, она будет приготовленной на другой элементной базе. Так вот, эти два рецепта математики будут называть разложением краковской колбасы двум по разным базисам. Фактически это одна и та же точка, но только в разных системах координат.

Другая аналогия: одна и та же температура по Цельсию и Фаренгейту — температура одна, а цифры разные.

Третье понятие — собственные векторы оператора. Их можно объяснить следующим образом: собственные векторы — это векторы, в направлении которых мясорубка не меняет химического состава выходного продукта. Примеры:

1. Если мы засунем в мясорубку килограмм свинины, и на выходе получим тоже свинину, причем неважно, килограмм, 5 или 10, то свинина — это собственный вектор, т.к. химический состав не поменялся, была свинина на входе, осталась свинина на выходе.

2. Если мы засунем докторскую колбасу, и на выходе будем иметь тоже докторскую, то докторская колбаса тоже будет собственным вектором — состав же не поменялся.

3. А вот если на входе мы имеем краковскую, а на выходе любительскую, то краковская собственным вектором не будет — хим. состав поменялся же.

В общем, собственные вектора — это вектора, на которые оператор действует как множитель: увеличивает или уменьшает его длину (в нашем случае вес). В этих направлениях КПД мясорубки максимален.

Собственное число — это то, на сколько сильно меняется собственный вектор при прохождении через мясорубку. Если мы засунули килограмм свинины, а на выходе получили пять килограмм, то собственное число равно пяти.

Теперь мы обладаем достаточным багажом знаний для осмысления самой спектральной теоремы. В скучной формулировке она звучит следующим образом:

Спектральная теорема. Пусть A является компактным самосопряжённым оператором в гильбертовом пространстве V. Существует ортонормированный базис пространства V, состоящий из собственных векторов оператора A. При этом все собственные значения вещественны.

Не очень понятно, правда? На наших гастрономических аналогиях это означает, что если наша мясорубка умеет делать краковскую колбасу, то из ее собственных векторов можно составить такой базисный набор продуктов, который окажется самым удобным при работе с этой мясорубкой из всех прочих.

Краковскую, напомним, можно приготовить из многих наборов продуктов: из божьей росы и одуванчиков, либо из пингвиньего жира и сои и т.д.. Но проще всего, с точки зрения трудозатрат на раскручивание мясорубки — это из говядины и свинины. И вот такой вот оптимальный набор продуктов для каждой конкретной задачи, и будет называться базисом из собственных векторов мясорубки (оператора). А спектральная теорема лишь указывает на существование и характер этого оптимального набора ингредиентов (базиса из собственных векторов) у отдельных видов мясорубок.

Эти собственные значения и вектора играют огромную роль в изучении физических процессов. Например, различные состояния элементарных частиц в квантовой физике — это различные собственные векторы квантовых мясорубок (операторов) Шредингера. А частота, с которой струна музыкального инструмента издает звук — это собственное значение мясорубки (уравнения), описывающей колебание струны.

Я привел всего пару фактов из функционального анализа, которые оказали огромное влияние на другие разделы научного знания. Конечно, у функана есть множество других, не менее важных достижений о которых не так–то просто доходчиво поведать в двух словах. И количество этих достижений неуклонно растет. Результаты, приведенные выше — это результаты лишь первой половины ХХ века. Современный функан ушел далеко вперед. Сейчас это не просто общая теория разрешимости уравнений. Нынешний функциональный анализ — это основной язык современной математики и физики, на котором формулируются результаты не только теории дифференциальных уравнений, но и результаты алгебры, геометрии, теории вероятностей, квантовой механики, теории струн и так далее. Список можно продолжать очень долго. Любой современный учебник по этим дисциплинам говорит языком бесконечномерных пространств и действующих в них операторах (соответственно языком фаршей и мясорубок). Такие дела.

Я очень надеюсь, что у меня получилось хотя бы немного приоткрыть тайну происходящего в высших разделах математики, и при этом продемонстрировать истинную внутреннюю простоту математической науки, несмотря на внешний пафос ее языка с множество непонятных символов и сложных слов. В общем, учите математику, она ум в порядок приводит (с).

Программа модуля I

1.1. Нормированные пространства и ограниченные линейные операторы Нормированные пространства; примеры: конечномерные пространства, пространства последовательностей, пространства непрерывных функций, пространства интегрируемых функций. Ограниченные линейные операторы, их простейшие свойства, эквивалентность ограниченности и непрерывности; примеры: операторы умножения, сдвига, интегральные операторы. Топологические свойства линейных операторов. Мажорирование и эквивалентность норм. Классификация конечномерных нормированных пространств. Факторпространства, l p -суммы нормированных пространств.

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock detector