No Image

Энергия электрона на стационарной орбите

0 просмотров
22 января 2020
Читайте также:

  1. V2: Работа и энергия
  2. V2: Энергия волны
  3. Абсолютно упругий и неупругий удар тел. Внутренняя энергия. Общефизический закон сохранения энергии
  4. Альтернативные формы стационарной помощи
  5. В схеме, состоящей из конденсатора и катушки, происходят свободные электромагнитные колебания. Энергия конденсатора в произвольный момент времени t определяется выражением
  6. Внутренняя энергия идеального газа
  7. Внутренняя энергия идеального газа. Работа газа при изобарном расширении. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам. Понятие о втором начале термодинамики.
  8. Внутренняя энергия реального газа
  9. Внутренняя энергия реального газа. Эффект Джоуля — Томсона
  10. Внутренняя энергия тела и способы её изменения. Изменение внутренней энергии тела при нагревании. Первое начало термодинамики. Обратимые и необратимые процессы.
  11. Внутренняя энергия. Количество теплоты. Работа в термодинамике
  12. Вокруг движущегося электрона возникает магнитное поле

Константа аВ, имеющая размерность длины, называется радиусом Бора В=5.29·10 -11 м ). Смысл числа п — номер разрешенной орбиты. Радиус Бора радиус низшей орбиты (п=1) в атоме водорода (Z=1). Если устремить к нулю значение постоянной Планка, то получаем, что радиус Бора стремится к нулю: падение электрона на ядро как в классической физике.

Формула (3.3) определяет дискретные значения энергии, которые может иметь электрон в атоме водорода, или, как говорят, энергетические уровни. Отрицательные значения Еп соответствуют связанным состояниям электрона в атоме, то есть движениям в ограниченной области пространства (аналог в классической физике движение планет по эллипсам в отличие от гиперболических траекторий, уходящих на бесконечность).

При решении задач о поведении электрона в атоме обычно возникают выражения, включающие квадрат электрического заряда электрона е 2 в комбинации с электрической постоянной e. Для выполнения численных расчетов удобно ввести так называемую постоянную тонкой структуры:

(3.4)

Приведем для справки формулу для энергии (3.3), выраженной через постоянную тонкой структуры:

Из-за множителя a 2 характерные для атома энергии оказываются на четыре порядка меньше энергии покоя электрона. Это проявление нерелятивизма атомных систем.

Пример 1.Определим скорость электрона на n-й орбите атома Бора. Радиус п-й орбиты определяется формулой

где аВ — радиус Бора. Скорость электрона v можно выразить через момент импульса L=nh:

Выражение для радиуса Бора упростим, используя введенную постоянную тонкой структуры:

(3.5)

Подставляя это выражение в полученную выше формулу для скорости электрона, получаем для n-й орбиты

Отсюда вытекает, что на низшей орбите скорость электрона приблизительно в 137 раз меньше скорости света, то есть атом — действительно нерелятивистская система. На n-й орбите скорости электрона в п раз меньше, чем на первой. Численный пример: на второй орбите скорость электрона равна

При переходе с уровня k на уровень п (k>п) излишек энергии Еkп перейдет в энергию фотона hvnk. Поэтому для спектра излучаемых частот получаем соотношение (ср. (3.1))

Таким образом, теория Бора позволила также вычислить постоянную Ридберга. Стало понятно и существование спектральных серий, и предельных значений lп,MIN (рис. 3.3).


Рис. 3.3. Схема энергетических уровней в атоме Бора: переходы электрона с высшего на низший уровень для каждой серии линий соответствуют длинам волн l1,MIN, l2,MIN, l3,MIN и т.д.

Экспериментальное подтверждение гипотеза Бора нашла в опытах Франка-Герца, которые заключались в бомбардировке паров ртути электронами в вакуумной трубке и измерении зависимости анодного тока от ускоряющей разности потенциалов. Схема опыта приведена на рис. 3.4.


ис. 3.4. Схема опыта Франка-Герца

В трубке, заполненной парами ртути под небольшим давлением (около 1 мм. рт. ст.), имеются три электрода: анод А, катод К и сетка С. Электроны, вылетающие с поверхности подогретого катода вследствие термоэлектронной эмиссии, ускоряются напряжением U, приложенным между катодом и сеткой. Это напряжение можно менять с помощью потенциометра П. Между анодом и сеткой приложено слабое обратное поле с разностью потенциалов порядка 0.5 В, тормозящее движение электронов к аноду. Определялась зависимость тока I в цепи анода от приложенного напряжения U. Полученные результаты приведены на рис. 3.5.

Читайте также:  Чистка компьютера от пыли и замена термопасты


Рис. 3.5. Зависимость тока I в цепи анода от приложенного напряжения U в опыте Франка-Герца

Сила тока сначала монотонно возрастает, достигает максимума при напряжении 4.9 В, после чего с ростом U резко падает, достигает минимума и снова начинает расти. Максимумы силы тока повторяются при напряжениях 9.8 В, 14.7 В и т.д. Чередование максимумов на равном расстоянии друг от друга доказало дискретность изменения энергии атома.

Пример 2.При переходе с третьего уровня на второй (головная линия серии Бальмера) водородоподобный ион атома некоторого элемента испускает фотон с энергией 7.5 эВ. Определим, какой это элемент.

Энергия электрона, находящегося на п-й орбите около ядра с зарядом Ze, равна

При переходе с уровня п=3 на уровень п=2 выделяется энергия

откуда

Атомный номер элемента — целое число, так что после округления получаем Z=2, что соответствует гелию.

Как отмечалось выше, еще до появления теории Бора был изучен спектр водородного атома и эмпирически установлена формула (3.1). Но при наблюдении спектра Солнца были замечены линии, казалось бы, нарушающие эту формулу, так как они соответствовали полуцелым значениям n и k. После появления теории Бора стало ясно, что квантовые числа п и k все-таки должны быть целыми, а кажущиеся полуцелые значения можно объяснить по-другому. Действительно, из формулы (3.6) для частот, испускаемых водородоподобным атомом,следует, что

то есть наблюдавшиеся линии принадлежат иону элемента с Z=2. Как известно, этот элемент носит «солнечное» имя — гелий.

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)

Ко времени создания теории Бора об атоме водорода имелись следующие экспериментальные сведения. Атом водорода состоит из ядра (протона), несущего положительный заряд, равный по величине заряду электрона, и одного электрона, который согласно планетарной модели Резерфорда, движется вокруг ядра по круговой или эллиптической орбите. Размеры атома водорода определяются диаметром орбиты электрона и составляют несколько больше 10 -10 м.

Ядерная модель атома в сочетании с классической механикой и электродинамикой оказалась неспособной объяснить ни устойчивость атома, ни характер атомного спектра. Выход из создавшегося тупика был найден в 1913 г. датским физиком Нильсом Бором, правда, ценой введения предположений, противоречащих классическим представлениям. Допущения, сделанные Бором, содержатся в двух высказанных им постулатах.

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний) гласит:

из бесконечного множества электронных орбит, возможных с точки зрения классической механики, осуществляются в действительности только некоторые дискретные орбиты, удовлетворяющие определенным квантовым условиям. Электрон, находящийся на одной из этих орбит, несмотря на то, что он движется с ускорением, не излучает электромагнитных волн (света).

Согласно первому постулату атом характеризуется системой энергетических уровней, каждый из которых соответствует определенному стационарному состоянию. Стационарным состояниям соответствуют стационарные орбиты, по которым электрон может вращаться вокруг ядра неопределенно долго, не излучая энергию. Энергия атома может измениться лишь при скачкообразном переходе электрона из одного энергетического состояния в другое.

Второй постулат Бора (правило частот)формулируется следующим образом: излучение испускается или поглощается в виде светового кванта энергии при переходе электрона из одного стационарного (устойчивого) состояния в другое (рис. 4.4). Величина светового кванта равна разности энергий тех стационарных состояний, между которыми совершается квантовый переход электрона:

. (4.3)

Отсюда следует, что изменение энергии атома, связанное с излучением при

поглощении фотона, пропорционально частоте ν:

, (4.4)

т.е. частота излучаемого света может быть представлена в виде разности двух величин, характеризующих энергию излучающей системы.

Второй постулат Бора также противоречит электродинамике Максвелла. По Бору частота излучения определяется только изменением энергии атома и никак не зависит от характера движения электрона. А согласно Максвеллу (т.е. с точки зрения классической электродинамики) частота излучения зависит от характера движения электрона. Согласно теории Бора энергия электрона в атоме водорода, находящегося на n-м энергетическом уровне, равна:

Читайте также:  Срок обучения на программиста

Важную роль в развитии планетарной модели сыграли эмпирические закономерности, полученные для линейчатого спектра атома водорода.

В 1858 г. швейцарский физик И. Бальмер установил, что частоты девяти линий в видимой области спектра водорода удовлетворяют соотношению

. (4.5)

Здесь – частота световой волны, – постоянная, получившая название постоянной Ридберга, m=3,4, 5, …, 11.

Открытие водородной серии Бальмера (4.5) послужило толчком для обнаружения других серий в спектре атома водорода в начале 20 века.

Из формулы (4.5) видно, что по мере увеличения m частота линий спектра возрастает, при этом интервалы между соседними частотами уменьшаются, так что при частота . Максимальное значение частоты в серии Бальмера, полученное при , называется границейсерии Бальмера, за пределами которой находится непрерывный спектр.

В ультрафиолетовой области спектра водорода находится серия Лаймана:

, m=2,3,4… (4.6)

В инфракрасной области расположены еще четыре серии:

Серия Пашена, , m = 4,5,6…

Серия Брэкета , m = 5,6,7… (4.7)

Серия Пфунда , m = 6,7,8…

Серия Хэмфри , m = 7,8,9…

Как уже отмечалось, частоты всех линий спектра атома водорода представляются одной формулой (4.2).

Частота линии в каждой серии стремится к предельному (максимальному) значению , которое называется границейсерии. Спектральные серии Лаймана и Бальмера обособлены, остальные серии частично перекрываются. Например, границы (длины волн) первых трех серий (Лаймана, Бальмера, Пашена) соответственно равны 0,0912 мкм, 0,3648 мкм, 0, 8208 мкм (λmin = c/νmax ).

Бором было введено правило квантования орбит, которое гласит: в стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите радиуса r, должен иметь дискретные, т.е. квантованные, значения момента импульса, удовлетворяющие условию

n=1, 2, 3…, (4.8)

где n  главное квантовое число.

Рассмотрим электрон (рис. 4.5), движущийся со скоростью V в поле атомного ядра с зарядом Ze. Квантовая система, состоящая из ядра и только одного электрона, называется водородноподобным атомом. Таким образом, термин «водородноподобный атом» применим, помимо атома водорода, у которого Z = 1, к однократно ионизированному атому гелия + , к двукратно ионизированному атому лития Li +2 и т. д.

На электрон, движущийся по круговой стационарной орбите, действует электрическая, т.е. кулоновская сила притяжения со стороны ядра

. (4.9)

В соответствии со вторым законом Ньютона запишем:

, (4.10)

т.е. кулоновская сила притяжения компенсируется центробежной силой.

Подставив в формулу (4.10) выражение для скорости из (4.8) и решив полученное уравнение относительно rn, получим набор дискретных значений радиусов орбит электрона в водородоподобных атомах:

, (4.11)

С помощью формулы (4.11) определяют радиусы разрешенных стационарных орбит в боровской полуквантовой модели атома. Число n = 1 соответствует ближайшей к ядру орбите, поэтому для атома водорода ( Z=1) радиус первой орбиты

м , (4.12)

а соответствующая этой орбите скорость электрона

.

Наименьший радиус орбиты называется первым боровским радиусом

( ). Из выражения (4.11) видно, что радиусы более далеких от ядра орбит для водородоподобных атомов увеличиваются пропорционально квадрату числа n (рис. 4.6)

(4.13)

Теперь рассчитаем для каждой из разрешенных орбит полную энергию электрона, которая состоит из его кинетической и потенциальной энергий:

. (4.14)

Напомним, что потенциальная энергия электрона в поле положительно заряженного ядра является величиной отрицательной. Подставляя в выражение (4.14) значение скорости v из (4.8), а затем, используя формулу (4.13) для r, получаем ( ):

, n = 1, 2, 3 … (4.15)

Отрицательный знак в выражении (4.15) для энергии атома обусловлен тем, что за нулевое значение потенциальной энергии электрона принято считать то, которое соответствует удалению электрона на бесконечность от ядра.

Орбита с самым малым радиусом соответствует наименьшему значению энергии и называется К — орбитой, за ней следует L— орбита, М – орбита и т.д. При движении электронов по этим орбитам атом находится в устойчивом состоянии.

Схема энергетических уровней для спектральных серий атома водорода, определяемых уравнением (4.15), изображена на рис. 4.7.

Горизонтальные линии соответствуют энергиям стационарных состояний.

Читайте также:  Хороший телефон до 14000 рублей

Расстояния между энергетическими уровнями пропорциональны квантам энергий, испускаемых атомом при соответствующих переходах электрона (изображены стрелками). При поглощении атомом квантов энергии направления стрелок следует изменить на противоположные.

Из выражения (4.14) видно, что в планетарной модели Бора энергетические состояния атома водорода характеризуются бесконечной последовательностью энергетических уровней En. Значения En обратно пропорциональны квадрату числа n, которое называется главным квантовым числом. Энергетическое состояние атома с n=1 называется основным или нормальным, т.е. невозбужденным состоянием, которое соответствует минимальному значению энергии. Если n > 1 состояние атома является возбужденным ( ).

Энергия E1 основного состояния атома водорода из (4.15) равна│

Энергия ионизацииатома водорода,т.е. Ei = │E1E│= 13,53 эВ, равна работе, совершаемой при перемещении электрона из основного состояния (n=1) в бесконечность без сообщения ему кинетической энергии.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Теория Бора водородоподобных атомов.

Нильс Бор создал теорию строения атома, способную объяснить опыты Резерфорда и спектр излучения паров водорода.

Спектр характеризует распределение интенсивности излучения по шкале частот (или по шкале длин волн).

электрон в атоме может двигаться только по определенным стационарным орбитам, находясь на которых, он не излучает и не поглощает энергию. Момент импульса электрона на этих орбитах кратен постоянной Планка:

, (1)

me – масса электрона, — скорость электрона на орбите с номером n, rn – радиус орбиты с номером n, n =1,2,3,….

Дж·с – постоянная Планка.

при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается или поглощается фотон, энергия которого

. (2)

E n1 и E n2 — энергия электрона в состоянии 1 и 2 (т.е. на орбитах 1 и 2), — частота электромагнитных волн, — постоянная Планка.

Радиус орбиты электрона в атоме водорода.

1-й постулат Бора, .

Выразим скорость электрона:

. (3)

Рассмотрим круговые электронные орбиты. На электрон с зарядом e со стороны ядра с зарядом +e действует сила Кулона F, сообщая электрону нормальное ускорение,

.

По 2-му закону Ньютона,

. (4)

Сократим и подставим скорость из (3):

.

.

Радиус первой орбиты электрона (n = 1), называется радиусом Бора ,

= 0.53·10 -10 м.

Радиус орбиты электрона в атоме водорода

, n =1,2,3,…. – номер орбиты.

Энергия электрона в атоме водорода.

Энергия электрона представляет собой сумму кинетической энергии и потенциальной .

и .

Потенциальная энергия – это энергия электрона с зарядом в электрическом поле ядра. Из уравнения (4) видно, что

.

Тогда на n –ой орбите энергия электрона равна

= =.

Т.е. кинетическая энергия электрона равна полной энергии, взятой со знаком «-».

Также полную энергию можно записать через потенциальную:

= , или

.

Подставим . Тогда

= .

Энергия на первой орбите (на первом энергетическом уровне) равна

= = -13,6 эВ.

Величину = 13,6 эВ = 2,18∙10 -18 Дж называют энергией ионизации (эта энергия необходима, чтобы перевести электрон, находящийся на первом уровне, в свободное состояние, т.е. чтобы ионизовать атом). Окончательно, энергия электрона на n –ом энергетическом уровне (на n –ой орбите) записывается как

= .

Спектр излучения водорода.

Энергия излучаемого или поглощаемого кванта:

.

Частота , длина волны, — скорость света в вакууме.

= + = ,

= .

= — формула Бальмера,

определяет длины волн в спектре атома водорода.

= 1,1∙10 7 м -1 — постоянная Ридберга.

и — номера энергетических состояний (номера орбит) электрона.

Переходы электрона с возбужденных энергетических состояний на основной энергетический уровень ( = 1) сопровождаются излучением в УФ области спектра (серия линий Лаймана),

переходы на уровень с = 2 приводят к линиям в видимой области (серия Бальмера),

переходы на уровень с = 3, 4, 5, … приводят излучению в ИК области.

.

По аналогии с фотоном, любую микрочастицу можно рассматривать как волну с длиной волны

,

— длина волны де Бройля.

Гипотеза де Бройля подтверждена экспериментально наблюдением дифракции электронов, а затем и протонов.

«>

Комментировать
0 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector