Собственное значение матрицы в excel

1 0 0 1
10
я. = о
ПЛІ 12 1
А – Ї-Е = З 1 1
I 12 3
det(A->.Е) =| -10І
Рис. 6.2. Документ с данными для вычисления собственных чисел матрицы
В ячейки B3:D5 вводятся элементы матрицы A. Единичную матрицу E задаем в ячейках B7:D9. Начальное приближение для собственного числа X вводим в ячейку B11. Значения в ячейках B13:D15 вычисляются по формуле массива =B3:D5- B11*B7:D9. Это соответствует вычислению матрицы A – XE. Собственное число X выбираем из условия обращения в нуль детерминанта этой матицы. Детерминант вычисляется в ячейке B17 по формуле =МОПРЕД(В13^15).
Для поиска собственного числа X используем надстройку Поиск решения. Поскольку решений три, для их поиска будем указывать разные начальные приближения для собственного числа в ячейке B11. При нулевом начальном приближении и настройках окна Поиск решения, как на рис. 6.3 (целевая ячейка B17, ее значение приравнивается к нулю, изменяемой указана ячейка B11), получаем решение (рис. 6.4).
Поиск решения
Установить целевую ячейку: |$В$17
Равной: С максимальному значению (* значению: [о"

С" минимальному значению гИзменяя ячейки: |$В$11 Предположить -Ограничения: А Добавить Изменить 1 Удалить Параметры |
Восстановить
Рис. 6.3. Настройки окна Поиск решения для вычисления собственного
Закрыть
Справка
числа матрицы
ВИ fx I 1.41421350653554
А В С D І F G
Вычисление собственных чисел матрицы
12 1
А= З 1 1
12 3
I 7 I 10 0
Е= О 1 О
0 0 1

X. =| 1.414І
-0.41 2 1
А – Ї-Е = 3 -0.41 1
ҐІ5І 1 2 1.586
16
17 det(A – >.Е) = -О
Рис. 6.4. Результат вычисления собственного числа матрицы
Найдено решение 1.41421350658554, что, очевидно, соответствует собственному числу X = V2. Аналогично находятся два других решения: собственное число получаем при использовании в качестве начального приближения, на-пример, значения -1, а собственное число X = 5 при начальном приближении, по крайней мере, большем 4.
Как отмечалось ранее, проблема вычисления всех корней уравнения (а в случае поиска собственных чисел матрицы речь идет об уравнении, которое называется характеристическим) представляет существенные трудности, поскольку такого типа задачи должны решаться аналитически. В данном же случае речь идет только о численном решении. Ориентиром может быть то обстоятельство, что решаемое характеристическое уравнение представляет собой выражение полиномиального вида относительно переменной X, причем степень полинома совпадает с рангом матрицы, для которой ищутся собственные числа. Количество действительных корней этого полинома не может превышать его степень.

Рис. 6.5. Вычисление собственных чисел аналитически

Если все же принципиальным является вычисление всех собственных чисел, разумно прибегнуть к помощи надстройки Maple Excel Add-in (загрузка этой надстройки описывалась в гл. 5). Документ, в котором с помощью этой надстройки аналитически вычисляются собственные числа рассмотренной выше матрицы, показан на рис. 6.5.
В этом случае достаточно ввести в ячейки B3:D5 документа Excel значения элементов матрицы, а в ячейку G4 формулу =Maple("Eigenvalues(Matrix(&1),output=’list’)" ;B3:D5). Для вычисления собственных чисел матрицы, заданной диапазоном ячеек B3:D5, использовалась функция Eigenvalues(). Этой функции передано два аргумента: Matrix(&1) и output=’list’. Первым аргументом указана матрица, для которой вычисляются собственные числа. Ссылка &1 указывает на диапазон ячеек B3:D5, но поскольку функции Eigenvalues() необходимо передавать структуру, сформированную функцией Matrix(), то на основе диапазона B3:D5 такая структура сначала формируется, а затем результат передается в функцию Eigenvalues(). Аргумент output=’list’ не является обязательным и необходим для того, чтобы результат отображался в виде списка (в противном случае это будет вектор-столбец, и для рабочего документа Excel это не самый удобный объект для отображения).
Что касается результата, то он представлен в виде списка из трех элементов, каждый из которых является символьным представлением значения собственного числа. Формат вывода определяется правилами командного языка Maple, в котором, в частности, оператор Л означает возведение в степень (см. рис. 6.5).
В Maple очень много функций. Однако не все они доступны по умолчанию. Для использования некоторых функций необходимо предварительно подключать специальные пакеты, которые входят в стандартную комплектацию приложения. Ситуация немного похожа на подключение надстроек в Excel, только в Maple пакеты подключаются несколько проще. Эта особенность сохраняется и при работе с надстройкой Maple Excel Add-in. Сказанное имеет прямое отношение к рассмотренному примеру, поскольку использованная функция Eigenvalues() является функцией пакета LinearAlgebra и для того, чтобы вычисления в документе Excel выполнялись, необходимо предварительно изменить параметры надстройки так, чтобы функции пакета LinearAlgebra стали доступны в рамках надстройки Maple Excel Add-in. Для этого необходимо на вкладке Надстройки щелкнуть на цен-тральной пиктограмме, как показано на рис. 6.6. Настраиваемые панели инструментов ? Maple : Change Maple Excel Options Рис. 6.6. Пиктограмма изменения параметров надстройки Maple Excel Add-in
В результате откроется диалоговое окно настройки параметров Maple Excel Options, представленное на рис. 6.7.

Читайте также:  Текст для распечатки на принтере

Рис. 6.7. Выбор на вкладке Packages в окне настройки параметров Maple Excel Options подключаемого пакета

Remove Selected Package From List..
Add Selected Package To List..
Accept

Рис. 6.8. Для подключения пакета необходимо щелкнуть на кнопке Add Selected Package To List

Окно содержит три вкладки. Следует щелкнуть на вкладке Packages. На этой вкладке имеется список с доступными для подключения пакетами. При выборе пакета внизу под списком отображаются функции этого пакета. Необходимо найти и выбрать пакет с названием Linear Algebra (рис. 6.8).
Maple ЕнсеІ Options
Packages | initialization and User Packages | Maple Options ] И Linear Algebraj d Add Adjoint d Backward Substitute BandMatrix Basis zi BezoutMatrix
Accept
і
Рис. 6.9. Подключение пакета подтверждается с помощью кнопки Accept
Описанным способом можно подключать сразу несколько пакетов. Удаление пакета из списка Packages Included осуществляется с помощью кнопки Remove Selected Package From List. Процесс подключения пакетов заканчивается щелчком на кнопке Accept.
Символьный результат не всегда полезен с практической точки зрения, особенно если речь идет о документе Excel, ведь любой символьный результат в Excel реализуется в виде текста, а получать числовую информацию из текста — занятие неблагодарное. Но на самом деле это не является проблемой, и существует несколько способов избежать ее. На рис. 6.10 представлен документ, в котором, как и ранее, собственные числа матрицы представлены элементами списка, но каждый элемент является числом в десятичном формате.

Рис. 6.10. Собственные числа найдены в числовом виде

После этого щелкаем на кнопке Add Selected Package To List в нижней части окна настройки параметров. Пакет добавляется в список Packages Included подключенных пакетов (рис. 6.9).
Maple Excel Options
Packages | initialization and User Packages | Maple Options ] Linear Algebra d Add A Adjoint d BackwardSubstitute BandMstrix Basis d BezoutMatrix Packages Included:
Linear Algebra
Add Selec led Package To List. і Remove Sele cted Package From List.
Формула в ячейке G4 заменена на =Maple("evalf(Eigenvalues(Matrix(&1),output=’li st’))";B3:D5). Команда вычисления собственных чисел указана аргументом функции evalf(), с помощью которой осуществляется преобразование символьных выражений в формат числа с плавающей точкой. Отметим, что, хотя формально собственные числа найдены в числовом виде, весь результат (то есть значение в ячейке G4) интерпретируется как текст. Чтобы совсем избежать недоразумений, предложим еще один вариант документа для вычисления собственных чисел матрицы (рис. 6.11). G5 fx =Maple("evalf(Eigenvalues(Matrix(&l),output=’lis1lj[3])";B3:Ci5) А В С D Е F G Н 1 J К 1 Вычисление собственных чисел матрицы 2 3 12 1 Ї.1 = 5. 4 А= 3 1 1 7JZ = 1.414213562 5 12 3 >3 = -1.414213562 6 Рис. 6.11. Собственные числа занесены в отдельные ячейки
В этом случае каждое из трех собственных чисел матрицы вычислено в числовом виде и отображается в отдельной ячейке. В ячейку G3 введена формула =Mapl e("evalf(Eigenvalues(Matrix(&1),output=’list’)[1])";B3:D5), в ячейку G4 вводится формула =Maple("evalf(Eigenvalues(Matrix(&1),output=’list’)[2])";B3:D5), а в ячейку G5 — формула =Maple("evalf(Eigenvalues(Matrix(&1),output=’list’)[3])";B3:D5). Формулы, как видим, различаются лишь индексом в квадратных скобках после команды вычисления собст-венных чисел. Дело в том, что индекс в квадратных скобках является ссылкой на соответствующий элемент списка. Таким образом, получаем доступ к элементам списка, найденного в результате вычисления собственных чисел матрицы. Это позволяет отображать каждое собственное число (элементы списка-результата) в отдельной ячейке.

Программа Microsoft Office Excel позволяет выполнять операции с матрицами с помощью встроенных функций и формул. Рассмотрим основные операции над матрицами:

  • умножение и деление матрицы на число;
  • сложение, вычитание и умножение матриц;
  • транспонирование матрицы;
  • нахождение обратной матрицы;
  • вычисление определителя.

Введем условные обозначения. Матрица А размерностью i x j — это прямоугольная таблица чисел, состоящая из i строк и j столбцов, аij — элемент матрицы.

Умножение и деление матрицы на число в Excel

Способ 1

Рассмотрим матрицу А размерностью 3х4. Умножим эту матрицу на число k. При умножении матрицы на число получается матрица такой же размерности, что и исходная, при этом каждый элемент матрицы А умножается на число k.

Введем элементы матрицы в диапазон В3:Е5, а число k — в ячейку Н4. В диапазоне К3:N5 вычислим матрицу В, полученную при умножении матрицы А на число k: В=А*k. Для этого введем формулу =B3*$H$4 в ячейку K3, где В3 — элемент а11 матрицы А.

Примечание: адрес ячейки H4 вводим как абсолютную ссылку, чтобы при копировании формулы ссылка не менялась.

С помощью маркера автозаполнения копируем формулу ячейки К3 вниз и вправо на весь диапазон матрицы В.

Таким образом, мы умножили матрицу А в Excel и получим матрицу В.

Для деления матрицы А на число k в ячейку K3 введем формулу =B3/$H$4 и скопируем её на весь диапазон матрицы В.

Способ 2

Этот способ отличается тем, что результат умножения/деления матрицы на число сам является массивом. В этом случае нельзя удалить элемент массива.

Для деления матрицы на число этим способом выделяем диапазон, в котором будет вычислен результат, вводим знак «=», выделяем диапазон, содержащий исходную матрицу А, нажимаем на клавиатуре знак умножить (*) и выделяем ячейку с числом k. После ввода формулы нажимаем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter, чтобы значениями заполнился весь диапазон.

Читайте также:  Установка windows на gpt без uefi

Для выполнения деления в данном примере в диапазон вводим формулу =B3:E5/H4, т.е. знак «*» меняем на «/».

Сложение и вычитание матриц в Excel

Способ 1

Следует отметить, что складывать и вычитать можно матрицы одинаковой размерности (одинаковое количество строк и столбцов у каждой из матриц). Причем каждый элемент результирующей матрицы С будет равен сумме соответствующих элементов матриц А и В, т.е. сij = аij + bij.

Рассмотрим матрицы А и В размерностью 3х4. Вычислим сумму этих матриц. Для этого в ячейку N3 введем формулу =B3+H3, где B3 и H3 – первые элементы матриц А и В соответственно. При этом формула содержит относительные ссылки (В3 и H3), чтобы при копировании формулы на весь диапазон матрицы С они могли измениться.

С помощью маркера автозаполнения скопируем формулу из ячейки N3 вниз и вправо на весь диапазон матрицы С.

Для вычитания матрицы В из матрицы А (С=А – В) в ячейку N3 введем формулу =B3 — H3 и скопируем её на весь диапазон матрицы С.

Способ 2

Этот способ отличается тем, что результат сложения/вычитания матриц сам является массивом. В этом случае нельзя удалить элемент массива.

Для деления матрицы на число этим способом выделяем диапазон, в котором будет вычислен результат, вводим знак «=», выделяем диапазон, содержащий первую матрицу А, нажимаем на клавиатуре знак сложения (+) и выделяем вторую матрицу В. После ввода формулы нажимаем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter, чтобы значениями заполнился весь диапазон.

Умножение матриц в Excel

Следует отметить, что умножать матрицы можно только в том случае, если количество столбцов первой матрицы А равно количеству строк второй матрицы В.

Рассмотрим матрицы А размерностью 3х4 и В размерностью 4х2. При умножении этих матриц получится матрица С размерностью 3х2.

Вычислим произведение этих матриц С=А*В с помощью встроенной функции =МУМНОЖ(). Для этого выделим диапазон L3:M5 — в нём будут располагаться элементы матрицы С, полученной в результате умножения. На вкладке Формулы выберем Вставить функцию.

В диалоговом окне Вставка функции выберем Категория Математические — функция МУМНОЖОК.

В диалоговом окне Аргументы функции выберем диапазоны, содержащие матрицы А и В. Для этого напротив массива1 щёлкнем по красной стрелке.

Выделим диапазон, содержащий элементы матрицы А (имя диапазона появится в строке аргументов), и щелкнем по красной стрелке.

Для массива2 выполним те же действия. Щёлкнем по стрелке напротив массива2.

Выделим диапазон, содержащий элементы матрицы В, и щелкнем по красной стрелке.

В диалоговом окне рядом со строками ввода диапазонов матриц появятся элементы матриц, а внизу — элементы матрицы С. После ввода значений нажимаем на клавиатуре сочетание клавиш Shift+Ctrl и щелкаем левой кнопкой мыши по кнопке ОК.

ВАЖНО. Если просто нажать ОК, то программа вычислит значение только первой ячейки диапазона матрицы С.

Мы получим результат умножения матриц А и В.

Мы можем изменить значения ячеек матриц А и В, значения матрицы С поменяются автоматически.

Транспонирование матрицы в Excel

Транспонирование матрицы — операция над матрицей, при которой столбцы заменяются строками с соответствующими номерами. Обозначим транспонированную матрицу А Т .

Пусть дана матрица А размерностью 3х4, с помощью функции =ТРАНСП() вычислим транспонированную матрицу А Т , причем размерность этой матрицы будет 4х3.

Выделим диапазон Н3:J6, в который будут введены значения транспонированной матрицы.

На вкладке Формулы выберем Вставить функцию, выберем категорию Ссылки и массивы — функция ТРАНСПОК.

В диалоговом окне Аргументы функции указываем диапазон массива В3:Е5, содержащего элементы матрицы А. Нажимаем на клавиатуре сочетание клавиш Shift+Ctrl и щелкаем левой кнопкой мыши по кнопке ОК.

ВАЖНО. Если просто нажать ОК, то программа вычислит значение только первой ячейки диапазона матрицы А Т .

Нажмите для увеличения

Мы получили транспонированную матрицу.

Нахождение обратной матрицы в Excel

Матрица А -1 называется обратной для матрицы А, если АžА -1 =А -1 žА=Е, где Е — единичная матрица. Следует отметить, что обратную матрицу можно найти только для квадратной матрицы (одинаковое количество строк и столбцов).

Пусть дана матрица А размерностью 3х3, найдем для неё обратную матрицу с помощью функции =МОБР().

Для этого выделим диапазон G3:I5, который будет содержать элементы обратной матрицы, на вкладке Формулы выберем Вставить функцию.

В диалоговом окне Вставка функции выберем категорию Математические — функция МОБРОК.

В диалоговом окне Аргументы функции указываем диапазон массива В3:D5, содержащего элементы матрицы А. Нажимаем на клавиатуре сочетание клавиш Shift+Ctrl и щелкаем левой кнопкой мыши по кнопке ОК.

ВАЖНО. Если просто нажать ОК, то программа вычислит значение только первой ячейки диапазона матрицы А -1 .

Нажмите для увеличения

Мы получили обратную матрицу.

Нахождение определителя матрицы в Excel

Определитель матрицы — это число, которое является важной характеристикой квадратной матрицы.

Как найти определить матрицы в Excel

Пусть дана матрица А размерностью 3х3, вычислим для неё определитель с помощью функции =МОПРЕД().

Читайте также:  Устрашающая маска герои 3

Для этого выделим ячейку Н4, в ней будет вычислен определитель матрицы, на вкладке Формулы выберем Вставить функцию.

В диалоговом окне Вставка функции выберем категорию Математические — функция МОПРЕДОК.

В диалоговом окне Аргументы функции указываем диапазон массива В3:D5, содержащего элементы матрицы А. Нажимаем ОК.

Нажмите для увеличения

Мы вычислили определитель матрицы А.

В заключение обратим внимание на важный момент. Он касается тех операций над матрицами, для которых мы использовали встроенные в программу функции, а в результате получали новую матрицу (умножение матриц, нахождение обратной и транспонированной матриц). В матрице, которая получилась в результате операции, нельзя удалить часть элементов. Т.е. если мы выделим, например, один элемент матрицы и нажмём Del, то программа выдаст предупреждение: Нельзя изменять часть массива.

Нажмите для увеличения

Мы можем удалить только все элементы этой матрицы.

Видеоурок

Кратко об авторе:

Шамарина Татьяна Николаевна — учитель физики, информатики и ИКТ, МКОУ "СОШ", с. Саволенка Юхновского района Калужской области. Автор и преподаватель дистанционных курсов по основам компьютерной грамотности, офисным программам. Автор статей, видеоуроков и разработок.

Спасибо за Вашу оценку. Если хотите, чтобы Ваше имя
стало известно автору, войдите на сайт как пользователь
и нажмите Спасибо еще раз. Ваше имя появится на этой стрнице.

Есть мнение?
Оставьте комментарий

Понравился материал?
Хотите прочитать позже?
Сохраните на своей стене и
поделитесь с друзьями

Вы можете разместить на своём сайте анонс статьи со ссылкой на её полный текст

В программе Excel с матрицей можно работать как с диапазоном. То есть совокупностью смежных ячеек, занимающих прямоугольную область.

Адрес матрицы – левая верхняя и правая нижняя ячейка диапазона, указанные черед двоеточие.

Формулы массива

Построение матрицы средствами Excel в большинстве случаев требует использование формулы массива. Основное их отличие – результатом становится не одно значение, а массив данных (диапазон чисел).

Порядок применения формулы массива:

  1. Выделить диапазон, где должен появиться результат действия формулы.
  2. Ввести формулу (как и положено, со знака «=»).
  3. Нажать сочетание кнопок Ctrl + Shift + Ввод.

В строке формул отобразится формула массива в фигурных скобках.

Чтобы изменить или удалить формулу массива, нужно выделить весь диапазон и выполнить соответствующие действия. Для введения изменений применяется та же комбинация (Ctrl + Shift + Enter). Часть массива изменить невозможно.

Решение матриц в Excel

С матрицами в Excel выполняются такие операции, как: транспонирование, сложение, умножение на число / матрицу; нахождение обратной матрицы и ее определителя.

Транспонирование

Транспонировать матрицу – поменять строки и столбцы местами.

Сначала отметим пустой диапазон, куда будем транспонировать матрицу. В исходной матрице 4 строки – в диапазоне для транспонирования должно быть 4 столбца. 5 колонок – это пять строк в пустой области.

  • 1 способ. Выделить исходную матрицу. Нажать «копировать». Выделить пустой диапазон. «Развернуть» клавишу «Вставить». Открыть меню «Специальной вставки». Отметить операцию «Транспонировать». Закрыть диалоговое окно нажатием кнопки ОК.
  • 2 способ. Выделить ячейку в левом верхнем углу пустого диапазона. Вызвать «Мастер функций». Функция ТРАНСП. Аргумент – диапазон с исходной матрицей.

Нажимаем ОК. Пока функция выдает ошибку. Выделяем весь диапазон, куда нужно транспонировать матрицу. Нажимаем кнопку F2 (переходим в режим редактирования формулы). Нажимаем сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.

Преимущество второго способа: при внесении изменений в исходную матрицу автоматически меняется транспонированная матрица.

Сложение

Складывать можно матрицы с одинаковым количеством элементов. Число строк и столбцов первого диапазона должно равняться числу строк и столбцов второго диапазона.

В первой ячейке результирующей матрицы нужно ввести формулу вида: = первый элемент первой матрицы + первый элемент второй: (=B2+H2). Нажать Enter и растянуть формулу на весь диапазон.

Умножение матриц в Excel

Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый ее элемент умножить на это число. Формула в Excel: =A1*$E$3 (ссылка на ячейку с числом должна быть абсолютной).

Умножим матрицу на матрицу разных диапазонов. Найти произведение матриц можно только в том случае, если число столбцов первой матрицы равняется числу строк второй.

В результирующей матрице количество строк равняется числу строк первой матрицы, а количество колонок – числу столбцов второй.

Для удобства выделяем диапазон, куда будут помещены результаты умножения. Делаем активной первую ячейку результирующего поля. Вводим формулу: =МУМНОЖ(A9:C13;E9:H11). Вводим как формулу массива.

Обратная матрица в Excel

Ее имеет смысл находить, если мы имеем дело с квадратной матрицей (количество строк и столбцов одинаковое).

Размерность обратной матрицы соответствует размеру исходной. Функция Excel – МОБР.

Выделяем первую ячейку пока пустого диапазона для обратной матрицы. Вводим формулу «=МОБР(A1:D4)» как функцию массива. Единственный аргумент – диапазон с исходной матрицей. Мы получили обратную матрицу в Excel:

Нахождение определителя матрицы

Это одно единственное число, которое находится для квадратной матрицы. Используемая функция – МОПРЕД.

Ставим курсор в любой ячейке открытого листа. Вводим формулу: =МОПРЕД(A1:D4).

Таким образом, мы произвели действия с матрицами с помощью встроенных возможностей Excel.

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock
detector