Среднее значение скорости молекул

В этом разделе приводятся некоторые следствия, вытекающие из формул ( 3.29 ) и ( 3.30 ). В качестве примера на рис. 3.3 изображены две кривые, соответствующие распределениям f(v) молекул кислорода O2 по абсолютным величинам скоростей при температурах Т1 = 300 К и Т2 = 1 300 К.

Рис. 3.3. Распределение молекул кислорода по скоростям при разных температурах T1 = 300 К и T2 = 1 300 К

Наиболее вероятная скорость. При бесконечно малых и неограниченно больших значениях скоростей функция распределения стремится к нулю

то есть такие предельные значения скоростей маловероятны в системе. Следовательно, при каком-то значении скорости функция f(v) достигает своего максимума.

Наиболее вероятная скорость vВЕР — это скорость, отвечающая максимальному значению функции распределения.

Ее можно найти, решая уравнение

откуда следует, что

Иными словами, наиболее вероятной называется скорость, вблизи которой на единичный интервал приходится наибольшее число молекул. В этой точке f(v) принимает максимальное значение:

Соотношения (3.31), (3.32) могут быть полезны для анализа изменения функции распределения при изменении температуры газа или при изменении рода газа, то есть массы молекул. Отметим, что как следует из (3.26) – (3.29), распределение Максвелла зависит не отдельно от массы молекул и отдельно от температуры газа, а от их отношения . Поэтому распределение не только «буквенно» но и численно одно и тоже, например, для молекулярного водорода при температуре и для гелия при температуре .

С ростом температуры наиболее вероятная скорость vВЕР (3.31) увеличивается, то есть максимум функции f(v) сдвигается вправо (см. рис. 3.3), Т2 > Т1. При этом f(vВЕР) уменьшается, то есть кривая становится более пологой. Так же деформируется кривая, если температура постоянна, но масса молекул уменьшается. Напомним, что при любых деформациях функции распределения f(v) площадь под кривыми постоянна и равна единице в соответствии с формулой ( 3.30 ).

Относительное количество молекул, скорость которых превышает некоторое значение v, определяется выражением

На графике (см. рис. 3.3) этому интегралу соответствует лежащая справа от v часть площади (отмечена штриховкой), ограниченная кривой f(v) и осью скоростей. Как видно из рис. 3.3, относительное количество молекул, имеющих скорости, превышающие v, растет с повышением температуры.

В заключение этого раздела заметим, что во всех формулах для функции распределения и характерных скоростей входит отношение массы молекулы к постоянной Больцмана

Умножая числитель и знаменатель на число Авогадро NA и учитывая, что

молярная масса газа, a

универсальная газовая постоянная, мы всюду можем использовать это отношение в наиболее удобной для конкретной задачи форме

Распределение молекул по величинам безразмерной скорости. Если при графическом изображении функции распределения Максвелла (3.29) по оси абсцисс откладывать скорости молекул v, то форма кривой и положение максимума будут зависеть от массы молекул и от температуры газа. Но если по горизонтальной оси откладывать отношение скорости к наиболее вероятной скорости, то есть безразмерную скорость

то для всех температур и любых масс молекул (любых газов) получится одна и та же кривая (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Распределение Максвелла по величинам безразмерной скорости

Сделав замену переменной

в ( 3.29 ) и учитывая, что

получим распределение Максвелла в форме

Эта формула и соответствующий ей график (см. рис. 3.4) удобны для решения многих задач.

Пример. Найдем, какая часть общего числа молекул кислорода имеет при температуре 27 °С скорости, отличающиеся от наиболее вероятной не более, чем на 1 %; а также скорости в интервале 562–572 м/с.

Произведем необходимые вычисления. Чтобы ответить на первый вопрос задачи, учтем, что u = 1 при v = vВЕР. Величина интервала du = 0,02. Следовательно,

Вычислим наиболее вероятную скорость:

Найдем отношение v = 562 м/с к vВЕР = 395 м/с

Определим по кривой (см. рис. 3.4) значение функции f(u) при u = 1,42. Получаем f(u) = 0,62. Ширина интервала Dv = 10 м/с (Du = 10/395 = 0,0253). Следовательно, доля молекул в этом интервале

Интересно отметить, что молекула кислорода проходит за секунду путь, равный в среднем 0,4 км. Но не нужно забывать о соударениях молекул. Из-за них молекула по прямой движется очень недолго, и ее путь представляет собой ломаную линию. Поэтому молекула, двигаясь с огромной скоростью по отдельным звеньям ломаной траектории, передвигается от слоя к слою газа со сравнительно небольшой скоростью.

Средняя арифметическая скорость. Знание функции распределения молекул по скоростям f(v) дает возможность найти среднее значение скорости, а также любой величины, являющейся функцией скорости, например квадрата скорости v 2 или кинетической энергии молекулы mv 2 /2.

Средняя арифметическая скорость — это отношение суммы абсолютных величин скоростей всех молекул в системе к числу этих молекул.

Разобьем интервал всех возможных значений скорости от до бесконечности на малые интервалы Dvi. Каждому интервалу соответствует количество молекул

Так как интервалы Dvi, малы, то можно приближенно считать скорости молекул данного интервала одинаковыми и равными vi. Сумма значений скоростей молекул интервала

Читайте также:  Телевизор samsung не выключается с пульта

Сумма значений скоростей всех молекул

Разделив эту сумму на число молекул, получим выражение для средней арифметической скорости

Переходя от суммы к интегралу, получаем

Вычисляя интеграл, получаем среднюю арифметическую скорость молекул

Среднеквадратичная скорость. Чтобы найти среднее значение произвольной функции L(v) скорости, нужно эту функцию умножить на функцию распределения и проинтегрировать по всем возможным значениям скорости:

В частности, при L(v) = v отсюда находится .

Среднее значение квадрата скорости равно отношению суммы квадратов скоростей всех молекул системы к общему числу молекул. Таким образом,

Среднеквадратичная скорость это корень квадратный из среднего значения квадрата скорости молекул

Следует отметить, что характерные скорости отличаются друг от друга лишь численными множителями, причем

а зависимость от Т и m (или m) у них одинаковая.

Через среднеквадратичную скорость выражается средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул

Этот результат находится в согласии с формулой (1.14) кинетической теории идеальных газов и с законом о равнораспределении энергии, который гласит, что на каждую степень свободы молекулы приходится энергия kBТ/2. Три степени свободы поступательного движения молекулы как раз соответствуют полученному здесь результату (3.44). В сущности, именно для того, чтобы получить такое соответствие, мы выбрали должным образом коэффициент α в ( 3.26 ).

Эксперимент по проверке распределения Максвелла. Необходимо еще раз подчеркнуть, что установленный Максвеллом закон распределения молекул по скоростям и все вытекающие из него следствия справедливы только для газа, находящегося в равновесии.

Закон справедлив для любого числа молекул N, если только это число достаточно велико. Закон Максвелла — статистический, а законы статистики выполняются тем точнее, чем к большему числу одинаковых объектов они применяются. При малом числе объектов могут наблюдаться значительные отклонения от предсказанной статистики — флуктуации.

Экспериментальное определение распределения скоростей молекул было осуществлено впервые О. Штерном в 1920 г. Исследовалось распределение по скоростям одноатомных молекул паров металлов (Ag или Pt), из которых была изготовлена нить, расположенная на оси двух цилиндров. Нить нагревалась электрическим током, и металл испарялся (см. рис 3.5).

Рис. 3.5 Схема опыта Штерна: 1 — вид установки сбоку; 2 — вид установки сверху

Молекулы, прошедшие через щель во внутреннем цилиндре, летели по прямой и оседали на стенке холодного внешнего цилиндра. Если привести всю установку во вращение (щель все время против точки В), то молекулы, обладающие большой скоростью v, попадут в некоторую точку вблизи В, а более медленные затратят на путь больше времени и попадут в точки, отстоящие дальше от В. Следует обратить внимание, что вылетающие молекулы движутся по прямой, они не участвуют во вращательном движении. Поскольку молекулы в зависимости от скорости попадают в разные точки внешнего цилиндра, то исследуя толщину слоя металла, осевшего на его стенку, можно составить представление о распределении молекул по скоростям.

Найдем распределение молекул по расстояниям S от точки В до места их попадания на стенку цилиндра. Если R и r радиусы большого и малого цилиндров, соответственно (см. рис.), то время полета от щели до стенки цилиндра

За это время цилиндр повернется на угол

где ω — угловая скорость вращения установки. Соответственно, точка попадания будет смещена относительно В на расстояние

Подставляя сюда время полета, получаем связь скорости молекулы с расстоянием S:

Подставляя, в свою очередь, полученное выражение в распределение Максвелла и учитывая, что

находим распределение молекул по расстояниям S:

(мы опускаем выражение для нормировочной постоянной С).

Опыты Штерна подтвердили справедливость закона, установленного Максвеллом.

Найдём наиболее вероятную скорость, соответствующую максимуму функции распределения. Эта скорость определяется из условия

, т.е.

Проведя дифференцирование произведения функций, получим

Средняя скорость молекул (имеется в видусредняя арифметическая скорость) по определению из формулы статического усреднения

Средняя скорость входит в коэффициенты диффузии, вязкости, теплопроводности и, соответственно используется в расчётах этих процессов.

Среднеквадратичная скорость ;

, откуда

Эта скорость входит в основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Качественно положение характерных (средних) скоростей показано на рис. 8.6

Проанализируем, как будет меняться ход кривой при изменении температуры газа. При увеличении температуры (или уменьшении массы молекулы) максимум кривой смещается вправо (из ) и становится ниже (площадь под кривойостаётся неизменной) (Рис. 8.7)

Атмосферное давление на высоте h обусловлено весом вышележащих слоёв газа. Давление на высоте h+dh будет P+dP (dh>0, dP

,

где – плотность газа на высоте, отсюда

При нормальных условиях воздух можно считать идеальным газом. Тогда

можно найти из уравнения состояния идеального газа , здесь

М – средняя масса моля воздуха. Плотность , подставим в (*), получим

. Поделим обе части на Р: . Возьмём интеграл от левой и правой частей:

.

Предел давление на уровнеh=0. Для случая, когда температура постоянная (изотермическая атмосфера), интегрируя, получим:

Читайте также:  Стиральная машина автомат канди инструкция

, отсюда получаем барометрическую формулу.

Графическая иллюстрация этой формулы на рис. 8.9 Давление убывает с высотой тем быстрее, чем тяжелее газ и чем ниже температура.

Распределение Больцмана

В барометрической формуле в отношении M/R разделим и числитель и знаменатель на число Авогадро .

, где

масса одной молекулы,

постоянная Больцмана.

Вместо Р и подставим соответственно.(см. лекцию №7), гдеплотность молекул на высотеh, плотность молекул на высоте.

Из барометрической формулы в результате подстановок и сокращений получим распределение концентрации молекул по высоте в поле силы тяжести Земли.

Из этой формулы следует, что с понижением температуры число частиц на высотах, отличных от нуля, убывает (рис. 8.10), обращаясь в 0 при Т=0 (при абсолютном нуле все молекулы расположились бы на поверхности Земли). При высоких температурах n слабо убывает с высотой, так

что молекулы оказываются распределёнными по высоте почти равномерно. Распределение молекул по высоте является результатом конкуренции между притяжением молекул к Земле и тепловым движением, стремящимся разбросать молекулы по всем высотам. На разной высоте молекула обладает различным запасом потенциальной энергии

.Следовательно, распределение молекул по высоте является и распределением их по значениям потенциальной энергии.

где плотность молекул в том месте пространства, где потенциальная энергия молекулы имеет значение;плотность молекул в том месте, где потенциальная энергия равна 0.

Больцман доказал, что распределение (*) справедливо не только в случае потенциального поля сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

Таким образом, закон Больцмана (*) даёт распределение частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения, по значениям потенциальной энергии. (рис. 8.11)

Распределение Больцмана при дискретных уровнях энергии.

Полученное Больцманом распределение относится к случаям, когда молекулы находятся во внешнем поле и их потенциальная энергия может применяться непрерывно. Больцман обобщил полученный им закон на случай распределения, зависящего от внутренней энергии молекулы.

Известно, что величина внутренней энергии молекулы (или атома) Е может принимать лишь дискретный ряд дозволенных значений . В этом случае распределение Больцмана имеет вид:

,

где число частиц в состоянии с энергией;

коэффициент пропорциональности, который удовлетворяет условию

,

где N – полное число частиц в рассматриваемой системе.

Тогда и в результате для случая дискретных значений энергии распределение Больцмана

Качественная иллюстрация этого распределения представлена на рис. 8.12. Это распределение характерно для состояния термодинамического равновесия.

Заметим, что в активных средах лазеров населённость уровней с большим значением энергии может быть выше, чем с меньшим. Это так называемая инверсная населённость уровней.

Но состояние системы в этом случае термодинамически неравновесное.

Распределение Максвелла и Больцмана можно объединить в один закон Максвелла-Больцмана, согласно которому число молекул, компоненты скорости которых лежат в пределах от до, а координаты в пределах отx, y, z до x+dx, y+dy, z+dz, равно

где ,плотность молекул в том месте пространства, где;;;полная механическая энергия частицы.

Распределение Максвелла-Больцмана устанавливает распределение молекул газа по координатам и скоростям при наличии произвольного потенциального силового поля.

Примечание: распределение Максвелла и Больцмана являются составными частями единого распределения, называемого распределением Гиббса (этот вопрос подробно рассматривается в спецкурсах по статической физике, и мы ограничимся только упоминанием этого факта).

Вопросы для самоконтроля.

Дайте определение вероятности.

Каков смысл функции распределения?

Каков смысл условия нормировки?

Запишите формулу для определения среднего значения результатов измерения величины x с помощью функции распределения.

Что представляет собой распределение Максвелла?

Что такое функция распределения Максвелла? Каков ее физический смысл?

Постройте график функции распределения Максвелла и укажите характерные особенности этой функции.

Укажите на графике наиболее вероятную скорость. Получите выражение для. Как изменяется графикпри повышении температуры?

Получите барометрическую формулу. Что она определяет?

Получите зависимость концентрации молекул газа в поле силы тяжести от высоты.

Запишите закон распределения Больцмана а) для молекул идеального газа в поле силы тяжести; б) для частиц массой m, находящихся в роторе центрифуги, вращающейся с угловой скоростью .

Объясните физический смысл распределения Максвелла-Больцмана.

«Физика – 10 класс»

Вспомните, что такое физическая модель.
Можно ли определить скорость одной молекулы?

Идеальный газ.

У газа при обычных давлениях расстояние между молекулами во много раз превышает их размеры. В этом случае силы взаимодействия молекул пренебрежимо малы и кинетическая энергия молекул много больше потенциальной энергии взаимодействия. Молекулы газа можно рассматривать как материальные точки или очень маленькие твёрдые шарики. Вместо реального газа, между молекулами которого действуют силы взаимодействия, мы будем рассматривать его модель — идеальный газ.

Идеальный газ — это теоретическая модель газа, в которой не учитываются размеры молекул (они считаются материальными точками) и их взаимодействие между собой (за исключением случаев непосредственного столкновения).

Читайте также:  Швейная машинка с трикотажной строчкой

Естественно, при столкновении молекул идеального газа на них действует сила отталкивания. Так как молекулы газа мы можем согласно модели считать материальными точками, то размерами молекул мы пренебрегаем, считая, что объём, который они занимают, гораздо меньше объёма сосуда.

В физической модели принимают во внимание лишь те свойства реальной системы, учёт которых совершенно необходим для объяснения исследуемых закономерностей поведения этой системы.

Ни одна модель не может передать все свойства системы. Сейчас нам предстоит решить задачу: вычислить с помощью молекулярно-кинетической теории давление идеального газа на стенки сосуда. Для этой задачи модель идеального газа оказывается вполне удовлетворительной. Она приводит к результатам, которые подтверждаются опытом.

Давление газа в молекулярно-кинетической теории.

Пусть газ находится в закрытом сосуде. Манометр показывает давление газа р. Как возникает это давление?

Каждая молекула газа, ударяясь о стенку, в течение малого промежутка времени действует на неё с некоторой силой. В результате беспорядочных ударов о стенку давление быстро меняется со временем примерно так, как показано на рисунке 9.1. Однако действия, вызванные ударами отдельных молекул, настолько слабы, что манометром они не регистрируются. Манометр фиксирует среднюю по времени силу, действующую на каждую единицу площади поверхности его чувствительного элемента — мембраны. Несмотря на небольшие изменения давления, среднее значение давления р практически оказывается вполне определённой величиной, так как ударов о стенку очень много, а массы молекул очень малы.

Среднее давление имеет определённое значение как в газе, так и в жидкости. Но всегда происходят незначительные случайные отклонения от этого среднего значения. Чем меньше площадь поверхности тела, тем заметнее относительные изменения силы давления, действующей на данную площадь. Так, например, если участок поверхности тела имеет размер порядка нескольких диаметров молекулы, то действующая на неё сила давления меняется скачкообразно от нуля до некоторого значения при попадании молекулы на этот участок.

Среднее значение квадрата скорости молекул.

Для вычисления среднего давления надо знать значение средней скорости молекул (точнее, среднее значение квадрата скорости). Это не простой вопрос. Вы привыкли к тому, что скорость имеет каждая частица. Средняя же скорость молекул зависит от того, каковы скорости движения всех молекул.

Чем отличается определение средней скорости тела в механике от определения средней скорости молекул газа?

С самого начала нужно отказаться от попыток проследить за движением всех молекул, из которых состоит газ. Их слишком много, и движутся они очень сложно. Нам и не нужно знать, как движется каждая молекула. Мы должны выяснить, к какому результату приводит движение всех молекул газа.

Характер движения всей совокупности молекул газа известен из опыта. Молекулы участвуют в беспорядочном (тепловом) движении. Это означает, что скорость любой молекулы может оказаться как очень большой, так и очень малой. Направление движения молекул беспрестанно меняется при их столкновениях друг с другом.

Скорости отдельных молекул могут быть любыми, однако среднее значение модуля этих скоростей вполне определённое.

В дальнейшем нам понадобится среднее значение не самой скорости, а квадрата скорости — средняя квадратичная скорость. От этой величины зависит средняя кинетическая энергия молекул. А средняя кинетическая энергия молекул, как мы вскоре убедимся, имеет очень большое значение во всей молекулярно-кинетической теории. Обозначим модули скоростей отдельных молекул газа через υ1, υ2, υ3, . , υN. Среднее значение квадрата скорости определяется следующей формулой:

где N — число молекул в газе.

Но квадрат модуля любого вектора равен сумме квадратов его проекций на оси координат OX, OY, OZ.

Из курса механики известно, что при движении на плоскости υ 2 = υ 2 x + υ 2 y. В случае, когда тело движется в пространстве, квадрат скорости равен:

Средние значения величин υ 2 x, υ 2 y и υ 2 z можно определить с помощью формул, подобных формуле (9.1). Между средним значением и средними значениями квадратов проекций существует такое же соотношение, как соотношение (9.2):

Действительно, для каждой молекулы справедливо равенство (9.2). Сложив такие равенства для отдельных молекул и разделив обе части полученного уравнения на число молекул N, мы придём к формуле (9.3).

>Внимание! Так как направления трёх осей OX, OY и OZ вследствие беспорядочного движения молекул равноправны, средние значения квадратов проекций скорости равны друг другу:

Учитывая соотношение (9.4), подставим в формулу (9.3)

т. е. средний квадрат проекции скорости равен

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock detector