Сумма чисел фибоначчи до 1000

Дональд Кнут в своей книге "Искусство программирования" (т. 1, "Основные алгоритмы") предлагает решить следующую задачу.

Напишите программу, которая вычисляет и выдаёт на печать числа Фибоначчи от F1 до F1000 в десятичном виде.

В данной статье мы решим эту задачу с той лишь оговоркой, что выводить на печать тысячу чисел мы не будем, а ограничимся лишь выводом F1000. Читатель, при желании, сможет сам модернизировать приводимые нами программы таким образом, чтобы на печать выводились все найденные числа, а не только последнее.

Сама по себе задача нахождения чисел Фибоначчи настолько тривиальна, что, пожалуй, не заслуживает отдельной статьи. Однако, если язык программирования, на котором будет писаться программа, не поддерживает переменные целого типа произвольного размера (а именно таковым является язык C99, который мы собираемся использовать), то задача существенно усложняется.

В самом деле, для хранения числа F1000, как будет показано далее, размера поддерживаемых языком C99 стандартных типов целочисленных данных не хватит. Таким образом, задача, по сути, сводится к созданию целочисленного типа данных неограниченного размера и функций для работы с ним.

Впрочем, эту работу мы уже проделали ранее. В цикле статей, состоящем из первой и второй частей, мы создали тип big_int , предназначенный для хранения т. н. "больших чисел" и написали несколько связанных с ним функций, в частности, функцию sum() , позволяющую суммировать большие числа. Разумеется, мы воспользуемся этими готовыми наработками. По сути, вычисление F1000 можно рассматривать как некое испытание созданной нами ранее библиотеки в "боевых условиях".

Предварительные замечания

Вспомним, какие числа называются "числами Фибоначчи". Дональд Кнут в упомянутой выше книге определяет числа Фибоначчи как члены последовательности, определяемой следующим образом:

F 0 = 0 ; F 1 = 1 ; F n + 2 = F n + 1 + F n , n ≥ 0 .

По сути, приведённую рекуррентную формулу можно рассматривать как готовый алгоритм для последовательного вычисления чисел Фибоначчи.

Давайте найдём теперь приближённое значение числа F1000. Для этого нам понадобится ещё одна формула из книги Кнута:

F n ≈ ϕ n 5 , ϕ = 1 + 5 2 .

Данное приближённое равенство станет точным, если число, стоящее в правой его части, округлить до ближайшего целого. Имеем:

lg ϕ 1000 5 = 1000 lg 1 + 5 – lg 2 – 1 2 lg 5 ≈ 208 , 6381552 .

F 1000 ≈ 10 208 , 6381552 = 10 0 , 6381552 · 10 208 ≈ 4 , 346656 × 10 208 .

Итак, как мы видим, число F1000 является 209-значным. Разумеется, никакие встроенные целочисленные типы языка C99 не позволяют хранить числа таких размеров.

Далее будем действовать следующим образом. Для "разминки" напишем две программы, вычисляющие числа Фибоначчи приближённо и сохраняющие их в переменных типа double . Затем перепишем эти программы, используя для хранения этих чисел переменные типа big_int . Новые версии программ будут находить уже точные значения чисел Фибоначчи.

Во всех программах индекс последнего вычисляемого числа Фибоначчи (т. е. число 1000) будет задаваться с помощью макроса N , определяемого следующим образом:

Приближённые вычисления

Создадим массив типа double , состоящий из 1001 элемента и последовательно заполним его числами Фибоначчи, используя приведённую выше рекуррентную формулу, после чего выведем последний элемент массива на печать. Ниже приведён код программы.

Полагаю, что код настолько прост, что комментарии излишни. Выполнение программы приведёт к следующему выводу на консоль:

Как мы видим, вычисленное программой приближённое значение F1000 полностью совпало с приближённым значением, найденным по формуле.

Совсем не обязательно хранить все вычисленные значения чисел Фибоначчи. Достаточно в любой момент времени знать только два последних значения. Если они содержатся в двух переменных, то процесс получения очередного числа Фибоначчи будет выглядеть так: сумма этих значений присваивается той переменной, в которой хранилось до этого наименьшее из двух значений.

Ясно, что на каждой итерации цикла, в ходе которого последовательно вычисляются числа Фибоначчи, эти две переменные будут "меняться ролями". Обеспечить такое чередование ролей можно, выполняя те или иные действия, в зависимости от чётности или нечётности переменной цикла.

Ниже приведена новая версия программы, в которой для хранения чисел Фибоначчи вместо массива используются переменные a и b .

Заметим, что в ходе выполнения программы числа Фибоначчи с чётными индексами всегда будут помещаться в переменную b , а с нечётными — в переменную a . Результат работы этой программы полностью совпадает с результатом работы предыдущей.

Точные вычисления

Приступим к точному вычислению числа F1000. С этой целью перепишем предыдущие 2 программы с использованием типа big_int . Ссылки на две статьи с описанием этого типа и функций для работы с ним приведены в начале данной статьи. Весь программный код, разработанный в этих двух статьях, мы соберём в библиотеку, которую будем подключать к нашим программам с помощью заголовочного файла big_int.h.

Перечислим и кратко опишем функции для работы с big_int , которые мы будем использовать в наших программах.

  • dcreate() — принимает адрес строки, содержащей текстовое представление большого числа в десятичной форме. На основе этой строки формирует переменную типа big_int и возвращает её адрес. В случае ошибки возвращает ноль;
  • sum() — принимает адреса двух переменных типа big_int , складывает их и создаёт переменную того же типа, содержащую сумму. Функция возвращает адрес созданной переменной;
  • dprint() — принимает адрес переменной типа big_int , формирует строку, содержащую текстовое представление переменной в десятичном виде. Функция возвращает адрес созданной строки;
  • delete() — принимает адрес переменной типа big_int , освобождает память, занятую этой переменной.

Итак, модернизируем первую программу из предыдущего радела. Вот код новой версии:

Библиотека для работы с большими числами ориентирована на работу с переменными типа big_int через указатели. Поэтому мы создаём массив не самих переменных типа big_int , а указателей на них (см. строку 6). Далее в ходе выполнения программы этот массив заполняется адресами переменных, созданных динамически (строки 7-10).

Заметим, что в строках 14, 15 происходит утилизация динамической памяти, выделенной для хранения всех чисел Фибоначчи. Можно задаться вопросом: а стоило ли освобождать память непосредственно перед выходом из функции main() ? Ведь выход из main() означает завершение всей программы, после которого вся выделенная для неё память автоматически утилизируется операционной системой.

В данном случае, действительно, без этих строк можно было обойтись. Но я сделал своей привычкой всегда освобождать память, динамически выделенную ранее, после того, как необходимость в её использовании отпадает. Эта привычка обусловлена, если угодно, некоторыми внутренними эстетическими ощущениями. Только программа, не допускающая утечку памяти, может быть, в моём понимании, гармоничной и законченной.

Читайте также:  Фитнес браслет povit p 8134 приложение

В то же самое время, я не имею ничего против существования программ, в которых утечка памяти умышленно допускается. Действительно, бывают случаи, в которых освобождение памяти может быть нецелесообразным, например, тогда, когда оно существенно усложняет код. Кроме того, освобождение памяти может занять определённое время, что может сказаться на производительности программы.

В любом случае, создавая код, допускающий утечку, программист всегда должен отдавать себе отчёт в том, что он делает и быть уверенным, что утечка не приведёт к фатальным последствиям.

Но вернёмся к нашей программе. Её выполнение приводит к следующему выводу на консоль:

Итак, точное значение тысячного числа Фибоначчи получено! Как мы видим, первые его 7 цифр и количество знаков полностью согласуются с полученным нами ранее приблизительным значением.

Теперь переделаем вторую программу из предыдущего раздела:

Нам пришлось, помимо указателей a и b , ввести третий указатель — t , роль которого заключается во временном хранении содержимого той переменной, в которую записывается результат функции sum() , "затирающий" старое значение. После вызова данной функции уже не нужная нам переменная, чей адрес хранится в t , уничтожается. Таким образом, использование указателя t позволяет избежать утечки памяти.

Консольный вывод данной программы в точности совпадает с выводом предыдущей.

На этом всё. Исходный код программ, рассмотренных в этом разделе, можно скачать по приведённой ниже ссылке.

Надо написать программы на языке С++.

  • Попроси больше объяснений
  • Следить
  • Отметить нарушение

Anutka3105200 20.04.2016

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Проверено экспертом

#include
using namespace std;

int main() <
int f0=1;
int f1=1;
int s=1;
int f=1;
while (f s = 2583

Отрывок из книги математика Эдварда Шейнермана о нестандартной математике, укладке домино и закономерности числовой последовательности

Эта глава повествует о знаменитых числах Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 и т. д. Этот ряд был назван в честь Леонардо Пизанского, больше известного как Фибоначчи. Леонардо Пизанский (1170–1250) — один из первых крупных математиков средневековой Европы. Прозвище Фибоначчи означает «сын Боначчи». Автор «Книги абака», излагающей десятичную систему счисления.

Квадраты и домино

Начнем с укладки квадратов и домино. Вообразим длинную горизонтальную рамку размерами 1 × 10. Мы хотим полностью заполнить ее квадратами 1 × 1 и костяшками домино 1 × 2, не оставив ни единой щели. Вот картинка:

Вопрос: сколькими способами это можно сделать?

Для удобства обозначим число вариантов F10. Перебирать их все и потом пересчитывать — тяжелый труд, чреватый ошибками. Гораздо лучше упростить задачу. Не будем с места в карьер искать F10, начнем с F1. Это проще простого! Нам нужно заполнить рамку 1 × 1 квадратами 1 × 1 и костяшками домино 1 × 2. Домино не поместится, остается единственное решение: взять один квадрат. Другими словами, F1 = 1.

Теперь разберемся с F2. Размер рамки 1 × 2. Можно заполнить ее двумя квадратами или одной костяшкой домино. Таким образом, есть два варианта, и F2 = 2.

Дальше: сколькими способами можно заполнить рамку 1 × 3? Первый вариант: три квадрата. Два других варианта: одна костяшка домино (две не влезут) и квадрат слева или справа. Итак, F3 = 3. Еще один шаг: возьмем рамку 1 × 4. На рисунке показаны все варианты заполнения:

Мы нашли пять возможностей, но где гарантия, что мы ничего не упустили? Есть способ проверить себя. В левом конце рамки может быть или квадрат, или костяшка домино. В верхнем ряду на рисунке — варианты, когда слева квадрат, в нижнем ряду — когда слева домино.

Допустим, слева квадрат. Оставшуюся часть нужно заполнить квадратами и домино. Другими словами, нужно заполнить рамку 1 × 3. Это дает 3 варианта, так как F3 = 3. Если слева домино, размер оставшейся части 1 × 2, и заполнить ее можно двумя вариантами, так как F2 = 2.

Таким образом, у нас есть 3 + 2 = 5 вариантов, и мы удостоверились, что F4 = 5.

Теперь ваша очередь. Подумайте пару минут и найдите все варианты заполнения для рамки 1 × 5. Их немного. Решение — в конце главы. Можете отвлечься и подумать.

Вернемся к нашим квадратам. Хочется верить, что вы нашли 8 вариантов, так как есть 5 способов укладки, где слева квадрат, и еще 3 способа, где слева домино. Таким образом, F5 = 8.

Подытожим. Мы обозначили FN количество способов заполнения рамки 1 × n квадратами и костяшками домино. Нам необходимо найти F10. Вот что мы уже знаем:

Двигаемся дальше. Чему равно F6? Можно нарисовать все варианты, но это скучно. Лучше разобьем вопрос на две части. Сколькими способами можно заполнить рамку 1 × 6, если слева (a) квадрат и (b) костяшка домино? Хорошая новость: мы уже знаем ответ! В первом случае нам остается пять квадратов, а мы знаем, что F5 = 8. Во втором случае нужно заполнить четыре квадрата; нам известно, что F4 = 5. Таким образом, F5 + F4 = 13.

Чему равно F7? Исходя из тех же соображений, F7 =F6+F5=13+8=21. А как насчет F8? Очевидно, F8 = F7 + F6 = 21 + 13 = 34. И так далее. Мы обнаружили следующую взаимосвязь: Fn = Fn-1 + Fn-2.

Еще несколько шагов — и мы найдем искомое число F10. Правильный ответ — в конце главы.

Числа Фибоначчи

Числа Фибоначчи — это последовательность:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Она выстраивается по таким правилам:

― первые два числа 1 и 1;

― каждое следующее число получаем сложением двух предыдущих.

Будем обозначать n-ный элемент последовательности Fn, начиная с нуля: F0 = 1, F1 = 1, F2 = 2, F3 = 3, F4 = 5, … Очередной элемент мы вычисляем по формуле: Fn = Fn-1 + Fn-2.

Как мы видим, задача об укладке квадратов и домино привела нас к последовательности чисел Фибоначчи [ 1 ] В задаче о квадратах и домино мы выяснили: F1 = 1, а F2 = 2. Но числа Фибоначчи начинаются с F0 = 1. Как это согласуется с условиями задачи? Сколько существует способов заполнить на тех же условиях рамку 0 × 1? Длина квадрата и длина костяшки домино, как ни крути, больше нуля, потому есть искушение сказать, что ответ равен нулю, но это не так. Прямоугольник 0 × 1 уже заполнен, там нет щелей; нам не понадобится ни квадрат, ни костяшка домино. Таким образом, есть всего один способ действия: не брать ни квадрата, ни костяшки домино. Понимаете? В таком случае я вас поздравляю. У вас душа математика!

Читайте также:  Экспорт учетной записи outlook 2010

Сумма чисел Фибоначчи

Попробуем сложить первые несколько чисел Фибоначчи. Что мы можем сказать о сумме F0 + F1 +… + Fn для любого n? Давайте проделаем кое-какие вычисления и посмотрим, что получится. Обратите внимание на результаты сложения внизу. Видите ли вы закономерность? Повремените немного, прежде чем двигаться дальше: будет лучше, если вы найдете ответ самостоятельно, а не прочтете уже готовое решение.

Хочется верить, вы увидели, что результаты суммирования, если к ним приплюсовать по единице, тоже выстраиваются в последовательность чисел Фибоначчи. Например, сложение чисел от F0 до F5 дает: F0 + F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F7 — 1. Сложение чисел от F0 до F6 дает 33, что на единицу меньше F8 = 34. Мы можем записать формулу для неотрицательных целых чисел n: F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. (*)

Вероятно, лично вам достаточно будет увидеть, что формула [ * ] F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. . работает в дюжине случаев, чтобы вы поверили, что она верна, но математики жаждут доказательств. Мы рады представить вам два возможных доказательства того, что она верна для всех неотрицательных целых чисел n.

Первое называется доказательством по индукции, второе — комбинаторным доказательством.

Доказательство по индукции

Формула [ * ] F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. представляет собой бесконечно много формул в свернутом виде. Доказать, что [ * ] F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. верно для конкретного значения n, скажем для n = 6, — простая арифметическая задача. Достаточно будет записать числа от F0 до F6 и сложить их: F0 +F2 +…+F6 =1+1+2+3+5+8+13=33.

Несложно увидеть, что F8 = 34, поэтому формула действует. Перейдем к F7. Не будем тратить время и складывать все числа: мы уже знаем сумму вплоть до F6. Таким образом, (F0 +F1 +…+F6)+F7 =33+21=54. Как и раньше, все сходится: F9 = 55.

Если сейчас мы начнем проверять, работает ли формула для n = 8, наши силы окончательно иссякнут. Но все же посмотрим, что мы уже знаем и что хотим выяснить:

Воспользуемся предыдущим результатом: (F0 +F1 +…+F7)+F8 =(F9-1)+F8.

Мы, конечно, можем вычислить (F9-1) + F8 арифметически. Но так мы устанем еще больше. В то же время мы знаем, что F8 + F9 = F10. Таким образом, нам не нужно ничего высчитывать или заглядывать в таблицу чисел Фибоначчи:

(F0 + F1 +… + F7) + F8 = (F9-1) + F8 = (F8 + F9-1) = F10-1.

Мы удостоверились, что формула работает для n = 8, на основе того, что знали про n = 7.

В случае n = 9 мы точно так же опираемся на результат для n = 8 (убедитесь в этом самостоятельно). Разумеется, доказав верность [ * ] F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. для n, мы можем быть уверены, что [ * ] F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. верно и для n + 1.

Мы готовы дать полное доказательство. Как уже было сказано, [ * ] F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. представляет собой бесконечное количество формул для всех значений n от нуля до бесконечности. Посмотрим, как работает доказательство.

Вначале мы доказываем [ * ] F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. в простейшем случае, для n = 0. Мы просто проверяем, что F0 = F0+2 — 1. Так как F0 = 1, а F2 = 2, очевидным образом 1 = 2 — 1, а F0 = F2-1.

Дальше нам достаточно показать, что верность формулы для одного значения n (скажем, n = k) автоматически означает верность для n + 1 (в нашем примере n = k + 1). Нам лишь надо продемонстрировать, как устроено это «автоматически». Что нам нужно сделать?

Возьмем некоторое число k. Предположим, мы уже знаем, что F0+F1+…+Fk =Fk+2–1. Мы ищем величину F0 + F1 +… + Fk + Fk+1.

Мы уже знаем сумму чисел Фибоначчи вплоть до Fk, поэтому у нас получается:

Правая часть равна Fk+2 — 1 + Fk+1, и мы знаем, чему равна сумма следующих друг за другом чисел Фибоначчи:

Fk+2–1 + Fk+1 = (Fk+2 + Fk+1) — 1 = Fk+3– 1

Подставим в наше равенство:

Сейчас я объясню, что мы сделали. Если мы знаем, что [ * ] F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. верно, когда мы суммируем числа вплоть до Fk, тогда [ * ] F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. должно быть верно, если мы приплюсуем Fk+1.

— Формула [ * ] F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. верна для n = 0.

— Если формула [ * ] F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. верна для n, она верна и для n + 1.

Мы можем уверенно сказать, что [ * ] F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. верно для любых значений n. Верно ли [ * ] F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. для n = 4987? Это так, если выражение верно для n = 4986, что основано на верности выражения для n = 4985, и так далее до n = 0. Следовательно, формула [ * ] F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. верна для всех возможных значений. Этот метод доказательства известен под названием математическая индукция (или доказательство по индукции). Мы проверяем базовый случай и даем шаблон, по которому каждый следующий случай может быть доказан на основе предыдущего.

Комбинаторное доказательство

А вот совершенно другое доказательство тождества [ * ] F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. . Основной подход тут — воспользоваться тем фактом, что число Fn — это количество способов облицевать прямоугольник 1 × n квадратами и костяшками домино.

Напомню, что нам нужно доказать:

F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn+2- 1. (*)

Идея заключается в том, чтобы рассматривать обе части уравнения как решение задачи с облицовкой. Если мы докажем, что левая и правая часть — решение для одного и того же прямоугольника, они совпадут между собой. Эта техника носит название комбинаторного доказательства [ 2 ] Слово «комбинаторный» образовано от существительного «комбинаторика» — названия раздела математики, предметом которого является подсчет вариантов в задачах, схожих с облицовкой прямоугольника. Слово «комбинаторика», в свою очередь, образовано от слова «комбинации». .

На какой вопрос по комбинаторике уравнение [ * ] F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. дает два верных ответа? Эта головоломка похожа на те, что встречаются в шоу Jeopardy! [ 3 ] Популярная в США телевикторина. Аналоги Jeopardy! выходят в разных странах; в России это — «Своя игра». — Прим. ред. , где участники должны формулировать вопрос, заранее зная правильный ответ.

Читайте также:  Экран стал серым на компьютере

Правая часть выглядит проще, поэтому начнем с нее. Ответ: Fn+2– 1. Каков вопрос? Если бы ответ был равен просто Fn+2, мы с легкостью сформулировали бы вопрос: сколькими способами можно облицевать прямоугольник 1 × (n + 2) с помощью квадратов и костяшек домино? Это почти то, что нужно, но ответ меньше на единицу. Попробуем мягко поменять вопрос и уменьшить ответ. Уберем один вариант облицовки и пересчитаем оставшиеся. Сложность состоит в том, чтобы найти один вариант, который кардинально отличается от остальных. Есть ли такой?

Каждый способ облицовки подразумевает использование квадратов или домино. Только квадраты задействованы в единственном варианте, в прочих есть хотя бы одна костяшка домино. Возьмем это за основу нового вопроса.

Вопрос: Сколько существует вариантов облицовки квадратами и костяшками домино прямоугольной рамки 1 × (n + 2), включающих по меньшей мере одну костяшку домино?

Сейчас мы найдем два ответа на этот вопрос. Так как оба будут верны, между числами мы сможем уверенно поставить знак равенства.

Один из ответов мы уже обсуждали. Есть Fn+2 вариантов укладки. Только один из них подразумевает использование исключительно квадратов, без домино. Таким образом, ответ № 1 на наш вопрос таков: Fn+2– 1.

Второй ответ должен быть — я надеюсь — левой частью уравнения [ * ] F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. . Посмотрим, как это работает.

Нужно пересчитать варианты заполнения рамки, включающие хотя бы одну костяшку домино. Давайте подумаем, где будет расположена самая первая костяшка. Есть n + 2 позиций, и первая костяшка может располагаться в позициях от 1 до n + 1.

Рассмотрим случай n = 4. Мы ищем варианты заполнения рамки 1 × 6, задействующие хотя бы одну костяшку домино. Мы знаем ответ: F6 — 1 = 13 — 1 = 12, но нам необходимо получить его иным путем.

Первая костяшка домино может занимать следующие позиции:

Первая колонка демонстрирует случай, когда костяшка находится на первой позиции, вторая — когда костяшка на второй, и т. д.

Сколько вариантов в каждой колонке?

В первой колонке — пять вариантов. Если отбросить домино слева, мы получим ровно F4 = 5 вариантов для прямоугольника 1 × 4. Во второй колонке — три варианта. Отбросим домино и квадрат слева. Мы получим F3 = 3 варианта для прямоугольника 1 × 3. Аналогично для других колонок. Вот что мы обнаружили:

Таким образом, количество способов замостить квадратами и домино (хотя бы одной костяшкой) прямоугольную рамку 1 × 6 равно F4 + F3 + F2 + F1 + F0 = 12.

Рассмотрим общий случай. Нам дана рамка длиной n + 2. Сколько есть вариантов ее заполнения, при которых первая костяшка домино находится на некой позиции k? В этом случае первые k — 1 позиций заняты квадратами. Таким образом, в общей сложности занята k + 1 позиция [ 4 ] Число k может принимать значения от 1 до n + 1, но не больше, потому что иначе последняя костяшка домино высунется за пределы рамки. . Оставшиеся (n + 2) — (k + 1) = n — k + 1 можно заполнить любыми способами. Это дает Fn-k+1 вариантов. Построим диаграмму:

Если k меняется от 1 до n + 1, величина n — k + 1 меняется от 0 до n. Таким образом, количество вариантов заполнения нашей рамки с использованием хотя бы одной костяшки домино равно Fn + Fn-1 +… + F1 + F0.

Если поставить слагаемые в обратном порядке, мы получим левую часть выражения (*). Таким образом, мы нашли второй ответ на поставленный вопрос: F0 +F1 +…+Fn.

Итак, у нас есть два ответа на вопрос. Величины, полученные с помощью двух выведенных нами формул, совпадают, и тождество [ * ] F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. доказано.

Соотношение чисел Фибоначчи и золотое сечение

Сложение двух следующих друг за другом чисел Фибоначчи дает очередное число Фибоначчи. В этом разделе мы затронем вопрос поинтереснее: что будет, если мы поделим число Фибоначчи на предшествующее ему в ряду? Посчитаем соотношение Fk1. Для возрастающих значений k.

В таблице вы можете видеть соотношения от F1/F0 до F20/19.

Чем больше становятся числа Фибоначчи, тем ближе соотношение Fk+1/Fk к константе, примерно равной 1,61803. Это число — вы будете удивлены — достаточно известное, и если вы введете его в поисковую систему, вывалится уйма страниц о золотом сечении. Что это такое? Соотношение соседних чисел Фибоначчи не одинаково. Однако оно почти одинаково, если числа достаточно велики. Давайте найдем формулу для числа 1,61803 и для этого на время будем считать, что все соотношения одинаковы. Введем обозначение x:

x=Fk+1/ Fk=/ Fk+2/ Fk+1= Fk+3/ Fk+2=…

Это значит, что Fk+1 = xFk, Fk+2 = xFk+1 и т. д. Можно переформулировать:

Но мы же знаем, что Fk+2= Fk+1 + Fk. Таким образом, x2>FkFk = xFk + Fk.

Если мы поделим обе части на Fk и перегруппируем слагаемые, то получим квадратное уравнение: x2-x-1=0. Оно имеет два решения:

Соотношение должно быть положительным. И вот мы получили знакомое нам число. Обычно для обозначения золотого сечения используют греческую букву φ (фи):

Мы уже приметили, что соотношение соседних чисел Фибоначчи приближается (стремится) к φ. Это замечательно. Это дает нам еще один способ вычислять приблизительные значения чисел Фибоначчи. Последовательность чисел Фибоначчи — это ряд F0 F1, F2, F3, F4, F5… Если все соотношения Fk+1/Fk будут одинаковы, мы получим формулу:

Здесь с — еще одна константа. Сравним округленные значения Fn и φn для разных n:

Для больших значений n соотношение Fn/ φn≈0,723607. Это число равно в точности φ/корень5. Другими словами,

Обратите внимание: если округлить до ближайшего целого числа, мы получим в точности Fn.

Если вы не хотите утруждать себя округлениями до целого числа, то формула, названная названная в честь Жака Бине [ 5 ] Жак Бинe (1786–1856) — французский математик, механик и астроном. Формула для чисел Фибоначчи названа в честь Бине, хотя почти на сто лет раньше ее вывел Абрахам де Муавр (1667–1754). — Прим. пер. , даст вам точное значение:

Заполнение рамки 1 × 5

Нашу рамку можно заполнить квадратами и домино следующими способами:

Есть F4 = 5 вариантов, когда вначале стоит квадрат, и F3 = 3 варианта, когда вначале стоит костяшка домино. В общей сложности это дает F5 = F4 + F3 = 8 вариантов.

Величина F10 (ответ на следующий вопрос, касающийся укладки) равна 89.

Оцените статью
Добавить комментарий

Adblock
detector