No Image

Упорядоченное множество отличающиеся только порядком элементов называется

СОДЕРЖАНИЕ
99 просмотров
22 января 2020

Скачать:

Вложение Размер
Тест по теме « Элементы комбинаторики, случайная величина, её вероятность 24.68 КБ

Предварительный просмотр:

Тема « Элементы комбинаторики, случайная величина, её вероятность.

1.Упорядоченное множество, отличающееся только порядком элементов, называется

  1. перестановкой
  2. размещением
  3. сочетанием
  4. разностью

2.Упорядоченное подмножество из n элементов по m элементов, отличающиеся друг от друга либо самими элементами либо порядком их расположения, называется …

  1. сочетанием
  2. размещением
  3. перестановкой
  4. разностью

3. … из n элементов по m называется любое подмножество из m элементов, которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.

  1. перестановкой
  2. размещением
  3. сочетанием
  4. разностью

4.Событие, которое обязательно произойдет, называется …

  1. невозможным
  2. достоверным
  3. случайным
  4. достоверным и случайным

5.Событие называется …, если оно не может произойти в результате данного испытания.

  1. случайным
  2. невозможным
  3. достоверным
  4. достоверным и случайным

6.Событие А и называется …, если непоявление одного из них в результате данного испытания влечет появление другого.

  1. совместимым
  2. несовместимым
  3. противоположным
  4. несовместным и противоположным

7.Число перестановок определяется формулой

8.Число сочетаний определяется формулой

9.Вероятность достоверного события

10.Вероятность невозможного события равна

11.Отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний называется

  1. классической вероятностью
  2. относительной частотой
  3. физической частотой
  4. геометрической вероятностью

12.Вероятность появления события А определяется неравенством

13.Сумма вероятностей противоположных событий равна

14.Вычислить Р 4

«отлично» – 100% правильных ответов,

«хорошо»- 90% правильных ответов,

«удовлетворительно»- 50%-89% правильных ответов,

«неудовлетворительно»- менее 50% правильных ответов.

Время, которое отводится на выполнение теста-20 минут.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методическая разработка представляет собой презентацию в электронном виде.Данная методическая разработка содержит 26 слайдов с кратким содержанием теоретического материала к разделу Случайные величины.

Учебное пособие предназначено для студентов техникумов, изучающих теорию вероятностей.

Самостоятельные работы содержат задания по темам "Правило умножения. Дерево вариантов", "Размещения, перестановки, сочетания", "Случайные события и их вероятности".

Предлагается теория, разобран пример и даютсяф примеры для отработки навыков.

Практическая работа по математике ЕН.01 "Нахождение среднего квадратичного отклонения дисперсии дискретной случайной величины, заданной законом распределения".Данная практическая работа предназначена .

Данная разработка используется для подготовки и проведения урока по данной теме.

Контрольный тест представляет собой 6 вариантов заданий с выбором ответа. В одном варианте 14 заданий, из которых 6 на знание теории, остальные – задачи. Также в разработке представлен бланк ответов д.

Правило произведения. Если компоненту х1 строки (х1, х2. хк) можно выбрать n1 способами и после каждого такого выбора х1 компоненту х2 можно выбрать n2 – способами. После выбора х1 и х2 компоненту х3 можно выбрать n3 способами и т.д., наконец хк независимо от выбора всех предыдущих компонент можно выбрать nk способами. Тогда количество возможностей (комбинаций) образования строки (х1, х2. хк) равно:

. (1)

ПРИМЕР 1: Обед в университетской столовой состоит из трех блюд. Первое блюдо в меню может быть выбрано 5 способами, второе блюдо – 4, а третье блюдо – 3. Сколько дней студент может съедать новый обед, если любая комбинация блюд возможна, и один обед от другого должен отличаться хотя бы одним блюдом?

Правило суммы. Если множество Е1 содержит n1 элемент, множество Е2n2 элементов, . и множество Екnk элементов. И если эти множества попарно не пересекаются, то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов, содержащихся в каждом из этих множеств:

. (2)

Перестановки. Пусть Е ( n ) =<x1, x2. xn> – произвольное (неупорядоченное) n – элементное множество. Рассмотрим различные комбинации его упорядочивания. Получаемые при этом упорядоченные множества отличаются друг от друга только порядком следования входящих в них элементов, и называются перестановками из n – элементов. Число всех таких перестановок обозначается символом Pn и находится по формуле:

. (3)

ПРИМЕР 2: Пятеро гостей случайным образом рассаживаются за столом. Сколькими способами можно их рассадить так, чтобы хотя бы 2 гостя поменялись местами (изменился порядок)?

Размещения. Различные упорядоченные m – элементные подмножества данного неупорядоченного множества E ( n ) (m ( n ) (m ( n ) , которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения.

Сочетания же из n – элементов по m представляет собой m – элементные выборки, отличающиеся только самими элементами.

Размещения с повторениями. Любая строка длиной m, составленная из элементов множества Е ( n ) , называется размещением с повторением из n – элементов по m. Число всех размещений с повторениями обозначается символом и вычисляется по формуле:

. (6)

ПРИМЕР 5: Для автомобильных номеров используются 10 цифр и 28 букв. Каждый номер состоит из 3 букв и 4 цифр. Какое максимальное число машин может получить номера при такой системе нумерации?

РЕШЕНИЕ: Сначала осуществим выбор 4 цифр. Каждый такой комплект цифр представляет собой четырехэлементную выборку из 10 – элементного массива цифр, т.е. является размещением с повторениями из 10 элементов по 4. Следовательно, общее число таких элементов равно 10 4 . Исключим из выборки 00-00. Аналогично выбор трех букв из 28 осуществляется 28 3 числом способов. Т.к. номер каждой машины есть упорядоченная "пара", состоящая из комплекта цифр и комплекта букв, то по правилу произведения число всех номеров будет равно N = (10 4 -1)*28 3 = 219 498 048.

Пространство элементарных событий. Случайные события.

Под событием в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

А – появился герб при бросании монеты;

В – появление трех гербов при трехкратном бросании монеты;

С – попадание в цель при выстреле;

D – появление туза при вынимании карты из колоды; и т.д.

Рассматривая вышеперечисленные события, мы видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности: одни – большей, другие – меньшей. Причем, для некоторых событий мы сразу же можем решить, какое из них более, а какое менее возможно. Чтобы количественно сравнить между собой события по степени их возможности, очевидно нужно с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число мы называем вероятностью события.

Читайте также:  Что такое фитнес трекер браслет

Рассмотрим множество событий М, которые можно наблюдать в некотором эксперименте. Выделим, прежде всего, два специальных события – достоверное событиеU, которое обязательно происходит в эксперименте, и невозможное событиеV, которое не может произойти в эксперименте никогда.

Для каждого события А из М введем противоположное событие , которое состоит в том, что событие А не произошло.

Событие А + В (А В), заключающееся в том, что из двух событий А и В происходит по крайней мере одно (либо А, либо В, либо А и В вместе), называется суммой (или объединением) событий А и В.

Событие АВ (А В), заключающееся в том, что события А и В происходят одновременно, называется произведением (или пересечением) событий А и В.

Событие А В называется разностью событий А и В; оно заключается в том, что происходит А и не происходит В.

Предположим, что среди всех возможных событий А, которые в данном опыте по воле случая происходят или не происходят, можно выделить совокупность так называемых элементарных событий или элементарных переходов, обладающих следующими свойствами:

во-первых, все они взаимоисключают друг друга, т.е. являются непересекающимися;

во-вторых, в результате данного опыта обязательно происходит одно из этих элементарных событий;

в-третьих, каково бы ни было событие А, по наступившему элементарному исходу всегда можно судить о том, происходит или не происходит это событие.

Элементарные исходы обычно обозначаются греческой буквой , а их совокупность называется пространством элементарных событий.

ПРИМЕР 1: При бросании двух игральных костей элементарным исходом можно считать пару чисел =(a, b), где а – число очков на первой кости, b – число очков на второй кости. При этом (1 a, b 6).

ПРИМЕР 2: Сделано 5 выстрелов по мишени. Элементарным исходом данного опыта является: = а, где а – число (0 £ а £50).

Рассмотрим геометрическую интерпретацию возможных событий:

b) c) a) D = A È B; b) D = A È B; c) D = A È B;

г) А=А1 А2;

е) А=А2= .

Здесь каждой картинке (прямоугольнику) соответствует пространство элементарных событий .

Два события А и В несовместимы (или несовместны), если А В = Æ
(т.е. событие невозможно).

События Е1, Е2. Еn – образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и:

Е1 Е2 Е3 . Еn = Ек = Ек, т.е. из этих событий происходит одно и только одно.

Таким образом, пусть – пространство элементарных переходов рассматриваемого опыта или явления. Для каждого, связанного с этим опытом события А можно выделить совокупность тех элементарных переходов , наступление которых влечет за собой наступление события А. Обозначим множество (совокупность) этих элементарных переходов тем же символом А, что и соответствующее событие А.

Очевидно событие А наступает тогда и только тогда, когда наступает один из элементарных переходов , входящих в указанное множество А. Другими словами, событие А равно событию, которое состоит в том, что наступает какой либо элементарный переход , входящий в множество А ( А). Т.е. событие А можно отождествить с множеством А элементарных переходов .

Достоверное событие А, наступающее в результате любого из элементарных переходов , при таком отождествлении событий множеств совпадает с пространством : А = .

Невозможное событие А, не наступающее ни при каком элементарном переходе , совпадает с пустым множеством и обозначается А = Æ.

Вероятность

Испытаниемназывается эксперимент, который можно (хотя бы принципиально) провести в одинаковых условиях любое число раз. Простейший результат испытания называется элементарным событием или исходом. При испытании неизбежно наступает какой-то исход и только один.

Если событие может привести кn различным равновозможным исходам и если вm случаях появится признакА,то частота (вероятность) события А обозначается r(A) и равна отношению m к n, то есть

. (1)

Это так называемое частотное (комбинаторное) определение вероятности.

Событие А, для которого частота r(A) при достаточно больших n мало отличается от некоторого фиксированного числа, не зависящего от серии проводимых испытаний, называется статически устойчивым.

Вероятностью статически устойчивого случайного события А называется число Р(А), около которого группируются частоты этого события в длинных сериях независимых испытаний:

. (2)

Пример1. При подбрасыванием идеальной монеты вероятность появления герба в каждом отдельном испытании равна Р(А) = 12. Ниже в таблице приведены результаты длинных серий опытов.

Экспериментатор n m(А) rn(А)
Ж.Л.Л. Бюррон 0,5069
К. Пирсон 0,5016
К. Пирсон 0,5005

ПРИМЕР 2: Имеется колода тщательно перемешанных карт (36 листов). Наугад вытаскивается одна карта. Сколько, в среднем, надо провести опытов, чтобы этой картой был туз пиковый?

Решение. Так как в колоде только одна карта туз пиковый, то частота (вероятность) появления туза пикового равна 1/36. Вспомним, что r(A) = m / n. Отсюда n = m / r(A), в нашем случае m = 1, тогда n = 36.

Современное понятие вероятности

Введем пространство , элементы которого е1, е2, . назовем элементарными событиями. Определим в нем неотрицательную меру, называемую вероятностью со свойствами:

1. Р( ) = 1, т.е. вероятность того, что наблюдаемое событие принадлежит к числу тех, которые могут наблюдаться, равно единице.

2. Если множество элементарных событий А и В не имеют общих элементов , то , т.е. вероятность того, что событие принадлежит либо множеству А, либо множеству В, равно сумме вероятностей обнаружить событие отдельно в множестве А и множестве В.

Читайте также:  Струйные принтеры с непрерывной подачей чернил

Рассмотрим теперь следствие, которое служит примером использования этих аксиом. Пусть – пустое множество событий, иначе говоря, означает отсутствие событий. Тогда ( ) = и не имеет общих элементов с .

(3)

Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

Материалы текущего контроля знаний

по теме : «Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей»

специальность: 43.02.01 Организация обслуживания в общественном питании

Тестовое задание по теме «Комбинаторика»

1. Упорядоченное множество, отличающееся только порядком элементов, называется

2. Упорядоченное подмножество из n элементов по m элементов, отличающиеся друг от друга либо самими элементами либо порядком их расположения, называется …

3. … из n элементов по m называется любое подмножество из m элементов, которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.

4. Событие, которое обязательно произойдет, называется …

достоверным и случайным

5. Событие называется …, если оно не может произойти в результате данного испытания.

достоверным и случайным

6. Событие А и называется …, если непоявление одного из них в результате данного испытания влечет появление другого.

несовместным и противоположным

7. Число п ере становок определяется формулой

+ n!

8. Число сочетаний определяется формулой

10. Вычислить

11. Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исходов испытания принимает то или иное значение:

Не зависящее от случая

Зависящее от случая

Зависящее от переменной

Не зависящее от переменной

12. Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется:

Дискретной случайной величиной

г) Переменной величиной

Тестовое задание по теме «Элементы теории вероятностей»

1. Вероятность достоверного события

10. Вероятность невозможного события равна

2. Отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний называется

3. Отношение меры области, благоприятствующей появлению события, к мере всей области называется

4. Вероятность появления события А определяется неравенством

0 Сумма вероятностей противоположных событий равна

6. Вероятность Р А (В) называется

7. Формула называется

формулой полной вероятности

по теме «Элементы Комбинаторики»

а)

б)

в)

г)

д)

2. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным:

1) завтра будет хорошая погода;

2) в январе в городе пойдет снег;

3) в 12 часов в городе идет дождь, а через 24 часа будет светить солнце;

4) на день рождения вам подарят говорящего крокодила;

5) круглая отличница получит двойку;

6) камень, брошенный в воду утонет.

а)

б)

г)

д)

2) Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным:

1) вы выходите на улицу, а навстречу идет слон;

2) вас пригласят лететь на Луну;

3) черепаха научится говорить;

4) выпадет желтый снег;

5) вы не выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее;

6) после четверга будет пятница.

по теме « Классическое определение вероятности»

А1. Какова вероятность того, что задуманное двузначное число делится на 3 или делится на 2? Определите вид события.

А3. Из 10 первых натуральных чисел случайно выбираются 2 числа. Вычислите вероятности следующих событий:

а) одно из выбранных чисел – двойка; б) оба числа нечетные.

В4. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины?

В5. На каждой карточке написана одна из букв к, л, м, н, о, п. Четыре карточки наугад выкладывают одну за другой в ряд. Какова вероятность, что при выкладывании получится слово «клоп»?

С6. Найдите вероятность того, что случайным образом выбранное двузначное число при делении на 11 дает в остатке 10.

А1. Какова вероятность того, что первое из задуманных двузначных чисел делится на 2, а второе – делится на 5? Определите вид события.

А3. Из 10 первых натуральных чисел случайно выбираются 2 числа. Вычислите вероятности

а) одно из выбранных чисел – единица; б) оба числа четные.

В4. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 черные?

В5. На каждой карточке написана одна из букв р, с, т, у, л, х. Четыре карточки наугад выкладывают одну за другой в ряд. Какова вероятность, что при выкладывании получится слово «стул»?

С6. Найдите вероятность того, что случайным образом выбранное двузначное число при делении на 13 дает в остатке 5.

по теме «Вероятность события»

Из корзины, в которой находятся 4 белых и 7 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.

Определить вероятность появления «герба» при бросании монеты.

В корзине 20 шаров: 5 синих, 4 красных, остальные черные. Выбирают наудачу один шар. Определить, с какой вероятностью он будет цветным.

1. В одной корзине находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой корзины вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

2. Бросают две монеты. Определить, с какой вероятностью появится «герб» на обеих монетах.

3. Из корзины, в которой находятся 7 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется белым.

по теме «Элементы теории вероятностей»

В коробке 6 чайных чашек, 4 из них синего цвета. Наудачу отбирают 3 чашки. Найти вероятность того, что среди них будут 2 синие чашки.

2. В двух коробках лежат яблоки. В 1-ой – 50 штук, 4 из них с червоточиной; во 2-ой – 60 штук и 5 из них с червоточиной. Из коробок наудачу отбирают по яблоку. Найти вероятность того, что среди них окажется:

Читайте также:  Что лучше для игр ноут или комп

а) только одно яблоко с червоточиной;

б) хотя бы одно яблоко с червоточиной.

3. Фирма получает комплектующие от трех поставщиков А, В и С. Поставщик А поставляет 40% общего объема поставок, В – 35%, С – 25%. Из практики известно, что 1% поставляемых А деталей с браком, для В – 2%, для С -2,5%. Какова вероятность поступления бракованной детали на сборку и от какого поставщика она выше – А, В или С?

4. Средний процент нарушения работы телевизора в течение года равен 22%. Найти вероятность того, что из пяти проданных в течение дня телевизоров менее трех придется ремонтировать.

5. В здании института 6000 электроламп, вероятность включения каждой из которых равна 0, 7. Найти наивероятнейшее число включенных ламп и соответствующую вероятность. Какова вероятность того, что будет включено от 4400 до 4600 ламп?

6. Производители карманных калькуляторов знают из опыта работы, сто 1% произведенных калькуляторов имеет дефекты и их должны заменить по гарантии. Аудиторская фирма купила 500 калькуляторов. Какова вероятность того, что пять или более калькуляторов нужно заменить?

В группе 5 пловцов и 3 бегуна. Наудачу отбирают 5 спортсменов. Найти вероятность того, что среди них будут 3 пловца.

2. На полке стоят 15 книг, 7 из них по математике. Наудачу отбирают 2 книги. Найти вероятность того, что среди них по математике окажется:

в) хотя бы одна книга.

3. Покупатель посещает 1-ю булочную в два раза чаще, чем 2-ю и 3-ю. Вероятность того, что нужный сорт хлеба есть в булочной, для 1- й равна 0,6; для 2-й – 0,7 и для 3-й – 0,75. Покупатель купил хлеб. Что вероятнее: он купил его в 1- й, 2-й или 3- й булочной?

4. Вероятность прибытия поезда без опоздания равна 0,7. Найти вероятность того, что из шести поездов опоздают не более двух.

5. Средний процент отдельных дефектов в обуви, выпускаемой фабрикой, ра­вен 20. Найти наивероятнейшее число пар качественной обуви среди 200 пар поступившей в магазин обуви и вероятность того, что обуви с дефектом будет от 30 до 50 пар.

6. Полпроцента ксерокопий обычно испорчены. Найти вероятность того, что из 200 сделанных копий будет испорчено не более трех.

Совет директоров состоит из 3 бухгалтеров, 3 менеджеров и 2 инженеров. Планируется создать подкомитет из 4 его членов. Какова вероятность того, что в подкомитете будет 2 бухгалтера?

3. В отделе реализации компании 10 мужчин и 15 женщин. Наудачу отбирают 2 человека. Найти вероятность того, что среди них:

а) только одна женщина;

в) хотя бы один мужчина.

3. В 1-й партии микросхем 14 штук, во 2-й – 16 и в 3-й – 20 штук. Доля микросхем с браком, равна соответственно 2%, 1% и 1,5%. Выбранная наугад микросхема оказалась качественной. Что вероятнее: она из 1- й, 2- й или 3- й партии?

4. Сидоров попадает в цель 80 раз из 100. Какова вероятность того, что при четырех контрольных выстрелах он поразит цель не менее двух раз?

5. К магистрали сжатого воздуха подключено 100 пневмомолотков, каждый из которых работает в данный момент с вероятностью 0,4. Магистраль не перегружена, если число одновременно работающих молотков не превышает 50. Найти вероятность того, что магистраль в данный момент не перегружена.

6. При перевозке повреждается в среднем 2 лампы из тысячи. Найти вероятность того, что из двух тысяч полученных ламп будет повреждено менее четырех.

На полке 7 книг, 5 из них в жестком переплете. Наудачу отбирают 3 книги. Какова вероятность того, что 2 книги будут в жестком переплете?

2. Иванов попадает в цель 70 раз из 100 выстрелов, Петров – 80 раз из 100. Оба делают по выстрелу. Найти вероятность того, что цель будет поражена.

3. Над аэродромом в 35% случаев облачная погода. Вероятность взлета без задержек при хорошей погоде равна 0,9; при облачной – 0,6. Самолет взлетел вовремя. Сравнить вероятность того, что он сделал это при хорошей погоде и облачной.

4. Два равносильных шахматиста играют партии. Что вероятнее: выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти?

5. Вероятность того, что саженец сосны погибнет, равна 0,2. Найти наивероятнейшее число прижившихся саженцев среди 300 посаженных и соответствующую вероятность. Какова вероятность того, что погибнет от 40 до 70 саженцев?

6. Вероятность того, что на странице книги может оказаться опечатка, равна четверти процента. Проверяется из 800 страниц. Найти вероятность того, что с опечатками окажется больше четырех страниц.

по теме «Элементы математической статистики»

В лотерее 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 200 рублей и двадцать выигрышей по 50 рублей. Пусть Х – величина возможного выигрыша для человека, имеющего один билет. Составить закон распределения этой случайной величины Х.

Случайная величина Х задана законом распределения:

Согласно статистике, вероятность того, что двадцатипятилетний человек проживет еще год, равно 0,992. Компания предлагает застраховать жизнь на год на 1000 у.е. с уплатой 10 у.е. взноса. Определить, какую прибыль ожидает компания от страховки одного двадцатипятилетнего человека.

Случайная величина Х задана законом распределения:

Случайные величины X и Y заданы законом распределения. Найти математическое ожидание этих случайных величин и определить по таблицам, какая из данных величин более рассеяна. Подсчитать дисперсии D(X) и D(Y). Убедиться, что D(X)>D(Y).

Комментировать
99 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock detector